Test 1 - Ripasso per prova d'esame
(Simulazione d'esame - 30 minuti)
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Domanda 1
Si lancia 5 volte una moneta truccata che dà testa con probabilità p=2/3. La probabilità di ottenere testa esattamente 2 volte è:
Si tratta di un problema di prove ripetute (distribuzione binomiale), con probabilità di "un successo" uguale a p=2/3 (uscita della testa), n=5 e k=2. La probabilità di ottenere testa esattamente 2 volte nei cinque lanci è data da (ricordiamo che q=1-p):
\( p_{k,n} = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = p_{2,5} = \binom{5}{2} p^2 (1-p)^3 = 10 p^2 (1-p)^3 \).
Sostituendo p=2/3 otteniamo:
\( 10 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243} \)
Domanda 2
Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz è dato il piano \( \pi: 3x - 2y + 5 = 0 \).
Quali sono le coordinate del punto H, proiezione ortogonale di P = (4, 2, 1) sul piano π?
Vettore normale al piano:
\( \vec{n} = (3, -2, 0) \)
Retta per P ortogonale al piano:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t \\ y = 2 - 2t \\ z = 1 \end{cases} \]
Intersezione con il piano:
\( 3(4+3t) - 2(2-2t) + 5 = 0 \)
\( 13t + 13 = 0 \Rightarrow t = -1 \)
Punto H:
\( H = (1, 4, 1) \)
Domanda 3
Una funzione polinomiale di quarto grado \(y = p(x)\) soddisfa le seguenti proprietà:
1) il suo grafico è tangente all'asse x nell'origine
2) passa per il punto (1,0)
3) ha un punto stazionario in (2, -2)
Qual è l'equazione del polinomio?
Polinomio generale:
\( y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)
Derivata:
\( y' = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d \)
Condizioni:
1) \( y(0)=0 \Rightarrow e=0 \)
2) \( y'(0)=0 \Rightarrow d=0 \)
3) \( y(1)=0 \Rightarrow a+b+c=0 \)
4) \( y(2)=-2 \Rightarrow 16a+8b+4c=-2 \)
5) \( y'(2)=0 \Rightarrow 32a+12b+4c=0 \)
Sistema:
\[ \begin{cases} a + b + c = 0 \\ 8a + 4b + 2c = -1 \\ 8a + 3b + c = 0 \end{cases} \]
Soluzione:
\( a=1,\; b=-\frac{7}{2},\; c=\frac{5}{2},\; d=0,\; e=0 \)
Equazione finale:
\( y = x^4 - \frac{7}{2}x^3 + \frac{5}{2}x^2 \)
Domanda 4
I valori dei parametri reali a e b della funzione \( f(x)=\frac{ax^2+bx+3}{2x^2+5x-1} \) tali che essa abbia:
- la retta y = 2 come asintoto orizzontale
- un punto stazionario in x = 1
sono:
1. Asintoto orizzontale:
\( \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4 \)
2. Punto stazionario in x = 1:
imponendo \( f'(1)=0 \) si ottiene \( b = -5 \)
Risultato finale:
\( a = 4,\; b = -5 \)
Domanda 5
Determinare il valore del parametro reale k > 1 in modo che il valor medio della funzione:
\( f(x) = \ln(x^3) + \frac{3x - 3}{x} \)
sull'intervallo [1, k] sia uguale a \( 1 - \ln\left(\frac{5}{2}\right) \).
Il valore di k è:
1. Semplificazione della funzione:
\( f(x) = \ln(x^3) + \frac{3x-3}{x} = 3\ln x + 3 - \frac{3}{x} \)
2. Calcolo dell'integrale \( \int_1^k f(x) \,dx \):
Integriamo termine a termine:
\( \int 3\ln x \,dx = 3(x\ln x - x) \)
\( \int 3 \,dx = 3x \)
\( \int -\frac{3}{x} \,dx = -3\ln x \)
Sommando: \( [3x\ln x - 3x + 3x - 3\ln x]_1^k = [3x\ln x - 3\ln x]_1^k \)
Valutando agli estremi: \( 3(k-1)\ln k - 3(1-1)\ln 1 = 3(k-1)\ln k \)
3. Valor medio:
\( \frac{1}{k-1} \cdot 3(k-1)\ln k = 3\ln k \)
4. Uguaglianza e Risoluzione:
\( 3\ln k = 1 - \ln\left(\frac{5}{2}\right) \)
\( \ln k = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\ln\left(\frac{5}{2}\right) \)
\( k = e^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\ln\left(\frac{5}{2}\right)} \)
Domanda 6
Determinare l'area massima di un rettangolo inscritto in una semicirconferenza di raggio 5 cm, con la base sul diametro.
\( y = \sqrt{25 - x^2} \)
2. Area del rettangolo:
\( A(x) = 2x\sqrt{25-x^2} \)
3. Massimizzazione:
Studiamo \( z(x) = A(x)^2 = 100x^2 - 4x^4 \)
4. Derivata:
\( z'(x) = 8x(25 - 2x^2) \)
5. Massimo:
\( x = \frac{5\sqrt{2}}{2} \)
6. Area massima:
\( A_{max} = 25 \text{ cm}^2 \)
Domanda 7
Quanto vale il seguente limite?
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos(3x)) \ln(1 + 4x)}{x \sin^2(2x)} \]
1. Equivalenze notevoli:
\( 1 - \cos(ax) \sim \frac{a^2x^2}{2} \), \( \ln(1+ax) \sim ax \), \( \sin(ax) \sim ax \)
2. Sostituzione:
\[ \frac{\left(\frac{(3x)^2}{2}\right)\cdot 4x}{x \cdot (2x)^2} \]
3. Semplificazione:
\( = \frac{18x^3}{8x^3} = \frac{9}{4} \)
4. Risultato finale:
\( \frac{9}{4} \)
Domanda 8
Data la funzione \( f(x) = e^{2x} - 3x \), dopo aver verificato che soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [0, 1], determinare il punto \( c \) la cui esistenza è garantita dal teorema.
1. Ipotesi del teorema:
funzione continua in [0,1] e derivabile in (0,1)
2. Valori agli estremi:
\( f(0)=1,\quad f(1)=e^2-3 \)
3. Rapporto incrementale:
\( e^2 - 4 \)
4. Equazione:
\( 2e^{2c} - 3 = e^2 - 4 \)
5. Risoluzione:
\( e^{2c} = \frac{e^2 - 1}{2} \)
6. Risultato:
\( c = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) \)
Domanda 9
Il seguente integrale \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x \, dx \] vale:
1. Sostituzione:
\( t = \sin x \Rightarrow dt = \cos x\,dx \)
2. Riscrittura:
\( \cos^2 x = 1 - t^2 \)
3. Nuovo integrale:
\( \int_0^1 t^2(1-t^2)\,dt \)
4. Calcolo:
\( \left[\frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5}\right]_0^1 \)
5. Risultato:
\( \frac{2}{15} \)
Domanda 10
Il valore del seguente integrale \[ \int_{-1}^{0} \frac{x+3}{x^2+4x+5}\, dx \] è:
1. Completiamo il quadrato:
\( x^2+4x+5 = (x+2)^2+1 \)
2. Sostituzione:
\( u = x+2 \Rightarrow du = dx \)
3. Decomposizione:
\( \int \left(\frac{u}{u^2+1} + \frac{1}{u^2+1}\right) du \)
4. Integrazione:
\( \frac{1}{2}\ln(u^2+1) + \arctan u \)
5. Risultato finale:
\( \frac{1}{2}\ln\left(\frac{5}{2}\right)+\arctan(2)-\frac{\pi}{4} \)