Soluzione quesito 1:

1. Richiamo del Teorema di Cauchy

Il Teorema di Cauchy afferma che se due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\):

• sono continue nell'intervallo chiuso \([a, b]\),
• sono derivabili nell'intervallo aperto \((a, b)\),
• \(g'(x) \neq 0\) per ogni \(x \in (a, b)\),

allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \]

2. Verifica delle ipotesi

Ipotesi 1 - Continuità in \([0, 1]\):

• \(f(x) = \ln(x+1)\) è continua in \([0, 1]\) poiché \(x+1 > 0\) per ogni \(x \in [0, 1]\). ✓
• \(g(x) = \arctan(x)\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\), quindi in particolare in \([0, 1]\). ✓

Ipotesi 2 - Derivabilità in \((0, 1)\):

• \(f(x) = \ln(x+1)\) è derivabile in \((0, 1)\). ✓
• \(g(x) = \arctan(x)\) è derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), quindi in particolare in \((0, 1)\). ✓

Ipotesi 3 - \(g'(x) \neq 0\) in \((0, 1)\):

Calcoliamo \(g'(x) = \frac{1}{1+x^2}\).

Per ogni \(x \in (0, 1)\), risulta \(1 + x^2 > 0\), quindi \(g'(x) = \frac{1}{1+x^2} > 0\). ✓

Nota:

Non può essere \(g(1) = g(0)\), perché altrimenti \(g(x)\) soddisferebbe il Teorema di Rolle in [0;1], quindi dovrebbe esistere un punto \(c\) interno all'intervallo in cui \(g'(c)=0,\) il che è impossibile perché per ipotesi \(g'(x) \neq 0\) per ogni \(x \in (a, b)\).

Verifica diretta:

\(g(1) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\) e \(g(0) = \arctan(0) = 0\), quindi \(g(1) \neq g(0)\). ✓

Conclusione: Tutte le ipotesi del Teorema di Cauchy sono soddisfatte.

3. Calcolo del rapporto degli incrementi

Calcoliamo i valori delle funzioni agli estremi:

\[ f(0) = \ln(0+1) = \ln(1) = 0 \] \[ f(1) = \ln(1+1) = \ln(2) \] \[ g(0) = \arctan(0) = 0 \] \[ g(1) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \]

Il rapporto degli incrementi è:

\[ \frac{f(1) - f(0)}{g(1) - g(0)} = \frac{\ln(2) - 0}{\frac{\pi}{4} - 0} = \frac{\ln(2)}{\frac{\pi}{4}} = \frac{4\ln(2)}{\pi} \]

4. Calcolo delle derivate

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\ln(x+1) = \frac{1}{x+1} \] \[ g'(x) = \frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2} \]

5. Determinazione del punto c

Dobbiamo risolvere l'equazione:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{4\ln(2)}{\pi} \]

Sostituendo le derivate:

\[ \frac{\frac{1}{c+1}}{\frac{1}{1+c^2}} = \frac{4\ln(2)}{\pi} \]

Semplificando:

\[ \frac{1+c^2}{c+1} = \frac{4\ln(2)}{\pi} \]

Moltiplichiamo entrambi i membri per \(c+1\):

\[ 1+c^2 = \frac{4\ln(2)}{\pi}(c+1) \]

Sviluppando:

\[ c^2 + 1 = \frac{4\ln(2)}{\pi}c + \frac{4\ln(2)}{\pi} \]

Riordinando:

\[ c^2 - \frac{4\ln(2)}{\pi}c + 1 - \frac{4\ln(2)}{\pi} = 0 \]

6. Risoluzione dell'equazione di secondo grado

Poniamo \(k = \frac{4\ln(2)}{\pi} \approx \frac{4 \cdot 0.693}{3.142} \approx 0.8826\).

L'equazione diventa:

\[ c^2 - kc + (1 - k) = 0 \]

Applicando la formula risolutiva:

\[ c = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 4(1-k)}}{2} = \frac{k \pm \sqrt{k^2 + 4k - 4}}{2} \]

Con \(k \approx 0.8826\):

\[ k^2 + 4k - 4 \approx 0.779 + 3.530 - 4 = 0.309 \] \[ \sqrt{0.309} \approx 0.556 \]

Le due soluzioni sono:

\[ c_1 \approx \frac{0.8826 + 0.556}{2} \approx 0.72 \] \[ c_2 \approx \frac{0.8826 - 0.556}{2} \approx 0.16 \]

Entrambe le soluzioni appartengono a \((0, 1)\).

Risultato finale:

Esistono due punti che soddisfano la tesi del Teorema di Cauchy: \[ c_1 \approx 0.72 \] \[ c_2 \approx 0.16 \]

In questo punti, il rapporto tra le derivate di \(f\) e \(g\) è uguale al rapporto tra gli incrementi totali delle due funzioni nell'intervallo \([0, 1]\).

Soluzione:

Per avere tangenti parallele in un punto, deve risultare:

\[ f'(x) = g'(x) \]

in almeno un punto dell’intervallo \((0, \pi/4)\). Cioè deve esistere almeno un punto \( c \in (0, \pi/4) \) tale che:

\[ f'(c) = g'(c) \]

1. Verifica delle ipotesi del Teorema di Cauchy

Le funzioni \( f \) e \( g \) sono continue in [0, π/4] e derivabili in (0, π/4).

Calcoliamo le derivate:

\( f(x) = \sin x + 2x \cos x + 1 \)

\[ f'(x) = \cos x + 2 \cos x - 2x \sin x = 3\cos x - 2x \sin x \]

\( g(x) = 2x \sin x + \cos x + \tan x \)

\[ g'(x) = 2\sin x + 2x \cos x - \sin x + 1 + \tan^2 x = \sin x + 2x \cos x + 1 + \tan^2 x \]

Su tutto l’intervallo (0, π/4) risulta:

• \( \sin x > 0 \)
• \( 2x \cos x > 0 \)
• \( 1 + \tan^2 x > 1 \)

Dunque:

\[ g'(x) = \sin x + 2x \cos x + 1 + \tan^2 x > 0 \quad \text{per ogni } x \in (0, \pi/4) \]

per cui g′ non si annulla mai nell’intervallo aperto.

Sono quindi verificate tutte le ipotesi del Teorema di Cauchy in \([0, \pi/4]\).

2. Applicazione del Teorema di Cauchy

Per il teorema, esiste almeno un punto \( c \in (0, \pi/4) \) tale che:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(\pi/4) - f(0)}{g(\pi/4) - g(0)} \]

3. Calcolo dei valori agli estremi

\[ f(0) = \sin 0 + 0 + 1 = 1 \]

\[ f(\pi/4) = \sin(\pi/4) + \frac{\pi}{2}\cos(\pi/4) + 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \]

\[ g(0) = 0 + \cos 0 + 0 = 1 \]

\[ g(\pi/4) = \frac{\pi}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \]

Quindi:

\[ \frac{f(\pi/4) - f(0)}{g(\pi/4) - g(0)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\pi}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \]

Da cui segue:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = 1 \quad \Rightarrow \quad f'(c) = g'(c) \]

cioè il punto cercato esiste. c.v.d.

Soluzione quesito 3:

1. Derivate delle funzioni

\[ f'(x) = 2kx + 1, \quad g'(x) = 2x \]

2. Calcolo del rapporto degli incrementi

\[ f(1)-f(0) = k + 1, \quad g(1)-g(0) = 1 \] \[ \frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)} = k + 1 \]

3. Condizione del Teorema di Cauchy

Il Teorema di Cauchy richiede che:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = k + 1 \]

Sostituendo le derivate:

\[ \frac{2kc + 1}{2c} = k + 1 \]

Moltiplicando entrambi i membri per \(2c\):

\[ 2kc + 1 = 2c(k+1) \] \[ 2kc + 1 = 2kc + 2c \] \[ 1 = 2c \] \[ c = \frac{1}{2} \]

4. Conclusione

Il punto \(c = \frac{1}{2}\) che soddisfa la tesi appartiene all'intervallo aperto \((0, 1)\).

Poiché \(g'(x) = 2x\) è diverso da zero per ogni \(x \in (0, 1)\), le ipotesi del Teorema di Cauchy sono soddisfatte **indipendentemente dal valore del parametro \(k\)**.

• Il punto che soddisfa la tesi è \(c = \frac{1}{2}\).
• Il valore del parametro \(k\) può essere qualsiasi numero reale: \(k \in \mathbb{R}\).

Soluzione quesito 4:

1. Verifica della continuità

La funzione \(f(x) = x^2\) è continua in \([0,2]\). ✓

La funzione \(g(x)\) è definita a tratti. Verifichiamo il raccordo in \(x = 1\):

\(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} g(x) = 1 + 1 = 2\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} g(x) = 2\cdot 1 - 1 = 1\)

Poiché \(\lim_{x \to 1^-} g(x) \neq \lim_{x \to 1^+} g(x)\), la funzione \(g(x)\) non è continua in \(x = 1\). ❌

2. Verifica della derivabilità

Anche senza calcolare formalmente la derivata, sappiamo che se la continuità fallisce, la derivabilità in quel punto non è definita. Pertanto, le ipotesi del teorema non possono essere soddisfatte.

3. Conclusione

Poiché \(g(x)\) non è continua su tutto l’intervallo \([0,2]\), le ipotesi del Teorema di Cauchy non sono soddisfatte.

Di conseguenza, non esiste alcun punto \(c\) garantito dal teorema in \([0,2]\).

Soluzione quesito 5:

1. Verifica della continuità

La funzione \(f(x) = x^2\) è continua in \([0,2]\). ✓

La funzione \(g(x)\) è definita a tratti. Verifichiamo il raccordo in \(x = 1\):

\(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} g(x) = 1\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} g(x) = 1^2 - 1 + 1 = 1\)

Poiché \(\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x)=g(1)\), la funzione \(g(x)\) è continua in \(x = 1\) ✓

2. Verifica della derivabilità

Deriviamo i due rami di \(g(x)\):

\[ g'(x) = \begin{cases} 1 & 0 \le x < 1 \\[1mm] 2x - 1 & 1 < x \le 2 \end{cases} \]

Verifica derivabilità in \(x = 1\):

\[ g'_-(1) = 1, \quad g'_+(1) = 2\cdot 1 - 1 = 1 \]

Poiché le derivate laterali coincidono, \(g(x)\) è derivabile in \(x=1\) ✓

3. Verifica di \(g'(x) \neq 0\)

Nell'intervallo \((0,2)\):

• Per \(0 < x < 1\), \(g'(x) = 1 \neq 0\) ✓
• Per \(1 < x < 2\), \(g'(x) = 2x - 1 > 0\) ✓
• Per \(x=1, g'(x)=1 \neq 0 \) ✓

4. Calcolo del rapporto incrementale

Incrementi:

\[ f(2) - f(0) = 4 - 0 = 4, \quad g(2) - g(0) = (2^2 - 2 + 1) - 0 = 3 \] \[ \frac{f(2) - f(0)}{g(2) - g(0)} = \frac{4}{3} \]

5. Determinazione del punto \(c\)

Teorema di Cauchy: \(\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{4}{3}\)

Calcoliamo \(f'(x) = 2x\).

Consideriamo i due casi di \(c\):

• Se \(0 < c \le 1\): \(\frac{2c}{1} = 4/3 \Rightarrow c = 2/3\) ✓
• Se \(1 < c < 2\): \(\frac{2c}{2c - 1} = 4/3 \Rightarrow 2c = 8c/3 - 4/3 \Rightarrow c = 2\) ✗ (non interno a (0,2))

6. Conclusione

Le funzioni soddisfano tutte le ipotesi del Teorema di Cauchy nell'intervallo \([0,2]\). L'unico punto interno che soddisfa la tesi del teorema è:

\[ c = \frac{2}{3} \]

In questo punto, il rapporto tra le derivate di \(f\) e \(g\) è uguale al rapporto tra gli incrementi totali delle due funzioni.

Soluzione quesito 6:

1. Analisi della domanda

Il Teorema di Cauchy afferma che, per due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) continue su \([a,b]\), derivabili su \((a,b)\) e con \(g'(x) \neq 0,\) esiste almeno un punto \(c \in (a,b)\) tale che:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \]

Il Teorema di Lagrange (valor medio) afferma che, per una funzione \(f(x)\) continua su \([a,b]\) e derivabile su \((a,b)\), esiste un punto \(c \in (a,b)\) tale che:

\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

2. Verifica assumendo \(g(x) = x\)

Consideriamo \(g(x) = x\). Allora:

\[ g'(x) = 1 \neq 0 \quad \text{per ogni } x \in (a,b) \]

Inoltre, \(g(x)\) è continua su \([a,b]\) e derivabile su \((a,b)\). ✓

Sostituendo \(g(x) = x\) nella formula del Teorema di Cauchy otteniamo:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \quad \Rightarrow \quad \frac{f'(c)}{1} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \quad \Rightarrow \quad f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Questo è esattamente il Teorema di Lagrange.

3. Conclusione

Quindi, il Teorema di Lagrange è un caso particolare del Teorema di Cauchy, ottenuto scegliendo \(g(x) = x\). Non è vero il contrario: il Teorema di Cauchy non può essere ricondotto al Teorema di Lagrange, perché Cauchy riguarda due funzioni generiche e Lagrange una sola.

Soluzione quesito 7:

1. Interpretazione del problema

Sia s(t) la distanza percorsa al tempo t e c(t) il carburante consumato. Il problema chiede di trovare almeno un istante t_0 in cui:

rapporto velocità/consumo istantaneo = rapporto distanza totale/carburante totale

In simboli:

Questo significa che, in quel preciso istante, l’auto percorre esattamente lo stesso numero di km per litro che corrisponde alla media sull’intero viaggio.

2. Applicazione del Teorema di Cauchy

Definiamo le funzioni:

• f(t) = s(t)
• g(t) = c(t)

Le funzioni sono continue su [0,2] e derivabili su (0,2), con g'(t) ≠ 0 in tutto l’intervallo. Quindi tutte le ipotesi del Teorema di Cauchy sono soddisfatte.

Per Cauchy, esiste almeno un t = c ∈ (0,2) tale che:

\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(2)-f(0)}{g(2)-g(0)} = \frac{150 - 0}{9 - 5} = \frac{150}{4} = 37.5 \]

In quell’istante, il rapporto tra la velocità istantanea e il consumo istantaneo coincide con il rapporto medio sul viaggio.

3. Interpretazione del risultato

• Il rapporto (velocità istantanea)/(consumo istantaneo) coincide con il rapporto medio totale, cioè (spazio totale percorso)/(consume totale carburante), che indica il consumo medio in km/litro.

Soluzione quesito 8:

1. Ipotesi del Teorema di Cauchy e l'ipotesi \(\boldsymbol{g'(x) \neq 0}\)

Il Teorema di Cauchy richiede tre ipotesi fondamentali per le funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) nell'intervallo \([a, b]\):

1. Continuità in \([a, b]\).
2. Derivabilità in \((a, b)\).
3. L'ipotesi cruciale: \(g'(x) \neq 0\) per ogni \(x \in (a, b)\).

È proprio l'ipotesi 3, unita all'applicazione del Teorema di Rolle, a rendere superflua la condizione \(g(b) - g(a) \neq 0\).

2. Applicazione del Teorema di Rolle a \(\boldsymbol{g(x)}\)

Consideriamo la funzione \(g(x)\) nell'intervallo \([a, b]\). Supponiamo per assurdo il denominatore nella tesi sia nullo, ovvero:

\[ g(b) - g(a) = 0 \quad \text{o equivalentemente} \quad g(a) = g(b) \]

Sotto questa ipotesi (\(g(a) = g(b)\)), e poiché \(g(x)\) soddisfa le prime due ipotesi di Cauchy (continuità in \([a, b]\) e derivabilità in \((a, b)\)), la funzione \(g(x)\) soddisferebbe tutte le condizioni del Teorema di Rolle.

Il Teorema di Rolle ci assicura che esiste almeno un punto \(\boldsymbol{c \in (a, b)}\) tale che:

\[ g'(c) = 0 \]

3. La Contradizione

Il risultato \(g'(c) = 0\) per qualche \(c \in (a, b)\) è in contraddizione con l'ipotesi 3 del Teorema di Cauchy, che esclude l'annullarsi della derivata di \(g\):

\[ g'(x) \neq 0 \quad \forall x \in (a, b) \]

4. Conclusione

Poiché l'assunzione \(g(b) - g(a) = 0\) porta a una contraddizione con le ipotesi del teorema, ne deduciamo che tale assunzione deve essere falsa. Pertanto, la condizione \(g(b) - g(a) \neq 0\) è una conseguenza necessaria delle ipotesi stesse e non deve essere inclusa nell'enunciato. ∎