Questionario sul Teorema di De L'Hospital
Risolvi da solo i singoli quesiti e controlla la soluzione premendo il tasto corrispondente.
Risolvi da solo i singoli quesiti e controlla la soluzione premendo il tasto corrispondente.
Determina i valori dei parametri reali \(a\) e \(b\) affinché:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - (ax^3 + bx)}{x^3} = 1 \]Soluzione quesito 1:
Osserviamo che il limite si presenta nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\) e che le funzioni al numeratore e al denominatore sono continue e derivabili in un intorno dello zero (zero escluso).
Inoltre, la derivata del denominatore, \(3x^2\), si annulla solo per \(x = 0\), quindi è diversa da zero in un intorno dello zero, zero escluso (come richiede il Teorema di De L'Hospital).
Calcoliamo il limite del rapporto delle derivate:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 3ax^2 - b}{3x^2} \]Riscriviamo il numeratore:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + 1 - 3ax^2 - b}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \left[\frac{\cos x - 1}{3x^2} + \frac{1 - b - 3ax^2}{3x^2}\right] \]N.B.: Il limite notevole \(\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}\) per \(x \to 0\), quindi \(\frac{\cos x - 1}{3x^2} \to -\frac{1}{6}\).
Quindi:
\[ -\frac{1}{6} + \lim_{x \to 0} \frac{1 - b - 3ax^2}{3x^2} = 1 \]Affinché questo limite sia uguale a 1, deve essere:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - b - 3ax^2}{3x^2} = \frac{7}{6} \]Questo avviene se:
Il limite può essere calcolato applicando ancora il Teorema di De L'Hospital.
Prima osservazione:
Applicando il teorema una prima volta si arriva al limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 3ax^2 - b}{3x^2} \]Tale limite, se \(b \neq 1\), è \(\infty\) (si ha la forma \(\frac{1-b}{0}\), che con \(b \neq 1\) è \(\infty\)). Dovremmo quindi concludere che il limite richiesto non è 1 ma \(\infty\).
Per poter essere 1 il limite, deve quindi essere necessariamente \(b = 1\).
Seconda applicazione:
Con \(b = 1\) ci troviamo di fronte al seguente limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 3ax^2 - 1}{3x^2} \]che si presenta ancora nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\).
Applichiamo ancora il Teorema di De L'Hospital:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x - 6ax}{6x} \quad [F.I. \, \frac{0}{0}] \]Terza applicazione:
Con un'ultima applicazione del Teorema di De L'Hospital:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x - 6a}{6} = 1 \]Quindi:
\[ \frac{-1 - 6a}{6} = 1 \] \[ -1 - 6a = 6 \] \[ -6a = 7 \] \[ a = -\frac{7}{6} \]Risultato finale:
Il limite richiesto è uguale a 1 se e solo se:
\[ a = -\frac{7}{6} \quad \text{e} \quad b = 1 \]Calcola il seguente limite:
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\sin 3x)}{\ln(\sin x)} \]Soluzione quesito 2:
Il limite si presenta nella forma indeterminata \(\frac{-\infty}{-\infty}\).
Infatti, per \(x \to 0^+\):
Poniamo:
\[ f(x) = \ln(\sin 3x) \quad \text{e} \quad g(x) = \ln(\sin x) \]In un intorno destro di \(x = 0\) le due funzioni sono continue e derivabili.
Valutiamo la derivata del denominatore:
\[ g'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} \]che non si annulla in un intorno destro di \(x = 0\) (poiché \(\cos x > 0\) e \(\sin x > 0\) per \(0 < x < \frac{\pi}{2}\)).
Possiamo quindi applicare la regola di De L'Hospital.
Calcoliamo il limite del rapporto delle derivate:
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{3\cos 3x}{\sin 3x}}{\frac{\cos x}{\sin x}} \]Semplifichiamo:
\[ = \lim_{x \to 0^+} \frac{3\cos 3x}{\sin 3x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \]Riscriviamo come:
\[ = \lim_{x \to 0^+} 3 \cdot \frac{\cos 3x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin 3x} \]Per \(x \to 0^+\):
Ricordiamo che \(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\), quindi:
\[ \frac{\sin x}{\sin 3x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \]Per \(x \to 0^+\):
\[ \frac{\sin x}{x} \to 1 \quad \text{e} \quad \frac{3x}{\sin 3x} \to 1 \]Quindi:
\[ \frac{\sin x}{\sin 3x} \to 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \]Pertanto:
\[ \lim_{x \to 0^+} 3 \cdot \frac{\cos 3x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin 3x} = 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} = 1 \]Risultato finale:
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\sin 3x)}{\ln(\sin x)} = 1 \]Applicando il Teorema di De L'Hospital, dopo averne verificato le ipotesi, determina il valore del parametro \(a\) affinché:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^3 - 2ax} = -\frac{1}{2} \]Risolvi l'esercizio ANCHE senza ricorrere al Teorema di De L'Hospital.
Soluzione quesito 3:
Per \(x \to 0\):
Abbiamo la forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). ✓
Le funzioni al numeratore e denominatore sono continue e derivabili in un intorno di 0 (0 escluso). ✓
La derivata del denominatore è \(3x^2 - 2a\), che per \(x = 0\) vale \(-2a\). Se \(a \neq 0\), questa derivata non si annulla in \(x = 0\). ✓
Deriviamo numeratore e denominatore:
\[ (e^x - 1)' = e^x \] \[ (x^3 - 2ax)' = 3x^2 - 2a \]Quindi:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^3 - 2ax} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{3x^2 - 2a} \]Sostituendo \(x = 0\):
\[ \frac{e^0}{3 \cdot 0 - 2a} = \frac{1}{-2a} \]Affinché questo sia uguale a \(-\frac{1}{2}\):
\[ \frac{1}{-2a} = -\frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{2a} = \frac{1}{2} \] \[ 2a = 2 \] \[ a = 1 \]Con \(a = 1\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^3 - 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{3x^2 - 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \quad \checkmark \]Ricordiamo il limite notevole:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]Quindi: \(e^x - 1 \sim x\) per \(x \to 0\).
Riscriviamo il limite usando questa equivalenza:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^3 - 2ax} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x^3 - 2ax} \]Semplifichiamo:
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{1}{x^2 - 2a} \]Sapendo che \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\):
\[ = 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 - 2a} = \frac{1}{0 - 2a} = \frac{1}{-2a} \]Affinché il limite sia uguale a \(-\frac{1}{2}\):
\[ \frac{1}{-2a} = -\frac{1}{2} \] \[ a = 1 \]Risultato finale:
Con entrambi i metodi si ottiene:
\[ a = 1 \]Il valore del parametro affinché il limite sia uguale a \(-\frac{1}{2}\) è \(a = 1\).
Calcola il seguente limite SENZA utilizzare la regola di De l'Hospital:
\[ \lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x)}{e^{\pi} - e^x} \]Successivamente, verifica il risultato utilizzando la regola di De l'Hospital, controllandone l'applicabilità.
Soluzione quesito 4:
Sostituendo \(x = \pi\), otteniamo la forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Per risolvere senza De l'Hospital, usiamo la sostituzione \(y = x - \pi\), da cui \(x = y + \pi\) e \(y \to 0\).
\[ \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y+\pi)}{e^{\pi} - e^{y+\pi}} = \lim_{y \to 0} \frac{-\sin(y)}{e^{\pi}(1 - e^y)} \]Riscriviamo l’espressione per sfruttare i limiti fondamentali \(\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y}=1\) e \(\lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y}=1\):
\[ \frac{-1}{e^{\pi}} \cdot \lim_{y \to 0} \left[ \frac{\sin(y)}{y} \cdot \frac{y}{-(e^y - 1)} \right] \]Poiché \(\frac{\sin(y)}{y} \to 1\) e \(\frac{y}{e^y - 1} \to 1\), otteniamo:
\[ \frac{-1}{e^{\pi}} \cdot (-1) = \mathbf{\frac{1}{e^{\pi}}} \]La forma è \(\frac{0}{0}\), le funzioni al numeratore e al denomonatore sono sempre continue e derivabili e la derivata del denominatore non si annulla mai. Quindi la regola è applicabile.
Il risultato è confermato.
Un tuo compagno sostiene di poter calcolare il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]applicando direttamente la regola di De l'Hospital, ottenendo:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1. \]Spiega se la sua dimostrazione è valida, motivando rigorosamente.
Soluzione quesito 5:
Per applicare la regola di De l'Hospital è necessario che numeratore e denominatore siano derivabili in un intorno del punto in cui si calcola il limite.
Per applicare la regola di De l'Hospital è necessario sapere che la derivata di sin(x) è cos(x). Ma la derivata di sin(x) si calcola utilizzando il limite notevole lim(h→0) sin(h)/h = 1.
Usando la definizione di derivata:
D(sin(x)) = lim(h→0) [sin(x+h) − sin(x)] / h
Sfruttando la formula di addizione:
sin(x+h) − sin(x) = sin(x)(cos(h)−1) + cos(x)sin(h)
Dividendo per h e passando al limite, usando lim(h→0)(sin(h)/h) = 1 e lim(h→0)((cos(h)−1)/h) = 0, si ottiene D(sin(x)) = cos(x).
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1. \]Ma questo è esattamente il limite che si vuole calcolare! Dunque, usare De l'Hospital significherebbe assumere come già noto proprio il risultato che si vuole dimostrare.
La dimostrazione non è valida, perché si basa su una proprietà (la derivata di \(\sin x\) ) che a sua volta dipende dal limite che si sta cercando di calcolare. Sarebbe quindi un circolo vizioso.
Il limite in questione è un limite notevole che si dimostra con l'ausilio della geometria e della trigonometria.
Determina, utilizzando la Regola di De L'Hospital (di cui devi verificare l'applicabilità), il numero reale \(a\) in modo che il valore di:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^a} \]sia un numero reale non nullo.
Soluzione quesito 6:
Osserviamo che, per avere un valore non nullo, deve essere \(a > 0\), pertanto il limite si presenta nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\).
Le ipotesi sono facilmente verificabili:
Calcoliamo il limite del rapporto delle derivate:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^a} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{ax^{a-1}} \]Moltiplichiamo e dividiamo per \((\cos x + 1)\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - 1)(\cos x + 1)}{ax^{a-1}(\cos x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{ax^{a-1}(\cos x + 1)} \]Usando l'identità \(\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x\):
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2 x}{ax^{a-1}(\cos x + 1)} \]Separando i fattori:
\[ = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{a(\cos x + 1)} \cdot \frac{\sin^2 x}{x^{a-1}} \]Per \(x \to 0\): \(\cos x \to 1\), quindi:
\[ = \frac{-1}{2a} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^{a-1}} \]Riscriviamo usando il limite notevole \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^{a-1}} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot x^{2-(a-1)} = 1^2 \cdot \lim_{x \to 0} x^{3-a} \]Questo limite è finito e non nullo se e solo se:
\[ 3 - a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \]In tal caso:
\[ \lim_{x \to 0} x^{3-a} = \lim_{x \to 0} x^0 = 1 \]Con \(a = 3\), il limite vale:
\[ \frac{-1}{2a} \cdot 1 = \frac{-1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6} \]Risultato finale:
Il valore di \(a\) affinché il limite sia un numero reale non nullo è:
\[ a = 3 \]e in tal caso il limite vale:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6} \]Dopo averne verificato l'applicabilità, calcola il seguente limite utilizzando la regola di De l'Hospital:
Calcola poi lo stesso limite senza utilizzare la regola di De l'Hospital.
Soluzione quesito 7:
Per applicare la regola di De l'Hospital occorre verificare che siano soddisfatte tre condizioni fondamentali:
1. Forma indeterminata
Sostituendo x = 6 si ottiene:
Il limite presenta quindi la forma indeterminata 0/0.
2. Derivabilità delle funzioni
Il numeratore contiene una radice di una funzione lineare, quindi è derivabile per ogni x tale che 5x+6 sia positivo, in particolare in un intorno di x = 6. Il denominatore è un polinomio, dunque derivabile per ogni x reale.
3. La derivata del denominatore
La derivata del denominatore è g'(x) = 2x − 8, che non si annulla in un intorno di x = 6. Pertanto la regola è applicabile.
Conclusione: tutte le ipotesi della regola di De l'Hospital sono soddisfatte.
Deriviamo numeratore e denominatore:
Applicando la regola:
\[ \lim_{x \to 6} \frac{-\frac{5}{2\sqrt{5x+6}}}{2x-8} = \frac{-\frac{5}{2\cdot 6}}{12 - 8} = \frac{-\frac{5}{12}}{4} = -\frac{5}{48}. \]Il limite presenta la forma indeterminata \([0/0]\). Razionalizziamo il numeratore:
Simplifichiamo il numeratore:
Scomponiamo il denominatore:
Sostituendo:
Ora possiamo sostituire \(x = 6\):
Il limite vale:
e il risultato coincide nei due metodi.
Servendoti della Regola di de L'Hospital (di cui devi verificare esplicitamente le condizioni di applicabilità), determina il valore del parametro reale positivo \(a\) in modo che il limite della funzione sia uguale a \(\frac{1}{2}\) quando \(x\) tende a \(0\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} \]Soluzione quesito 8:
Poniamo \(f(x) = e^{ax} - 1 - x\) (numeratore) e \(g(x) = x^2\) (denominatore).
Tutte le ipotesi sono soddisfatte, possiamo applicare la regola.
Calcoliamo il limite del rapporto delle derivate:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} (e^{ax} - 1 - x)}{\frac{d}{dx} (x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a e^{ax} - 1}{2x} \]Valutiamo il nuovo limite per \(x \to 0\). Il denominatore tende a \(0\). Affinché il limite finale sia un valore finito (\(\frac{1}{2}\)), anche il numeratore deve tendere a \(0\), portandoci nuovamente alla forma \(\frac{0}{0}\):
\[ \lim_{x \to 0} (a e^{ax} - 1) = a e^{0} - 1 = a - 1 \]Imponendo l'annullamento del numeratore:
\[ a - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{a = 1} \]Verifica 2: Posto \(a=1\), il limite è ancora nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{2x} \quad \left( \frac{0}{0} \right) \]Con \(a=1\), applichiamo la regola una seconda volta (le ipotesi restano valide per \(f'(x)\) e \(g'(x)\)):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} (e^{x} - 1)}{\frac{d}{dx} (2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{2} \]Sostituendo \(x=0\) nel limite finale:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{2} = \frac{e^{0}}{2} = \frac{1}{2} \]Poiché il risultato ottenuto è \(\frac{1}{2}\) e \(a=1\) è un valore reale positivo, la soluzione è:
\[ \mathbf{a = 1} \]