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Test sul Teorema di Cauchy

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1. Date le funzioni \(f(x) = x^2\) e \(g(x) = x^2 + 2x - 5\) nell'intervallo \([1, 3]\), qual è il valore di \(c\) che soddisfa il Teorema di Cauchy?

Il Teorema di Cauchy afferma che se due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) sono:

  1. Entrambe continue sull'intervallo chiuso \([a, b]\).
  2. Entrambe derivabili sull'intervallo aperto \((a, b)\).
  3. \(g'(x) \neq 0\) per ogni \(x \in (a, b)\).

Allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\).

Date \(f(x) = x^2\) e \(g(x) = x^2 + 2x - 5\) nell'intervallo \([1, 3]\):

  1. Sono entrambe polinomiali, quindi continue su \([1, 3]\).
  2. Sono entrambe polinomiali, quindi derivabili su \((1, 3)\).
  3. Calcoliamo le derivate: \(f'(x) = 2x\) e \(g'(x) = 2x + 2\). Per \(x \in (1, 3)\), \(2x+2\) è sempre positivo (minimo \(2(1)+2 = 4\)) e quindi diverso da zero. Così, \(g'(x) \neq 0\) è soddisfatta.

Le condizioni sono soddisfatte. Calcoliamo i valori necessari:

\(f(a) = f(1) = 1^2 = 1\)

\(f(b) = f(3) = 3^2 = 9\)

\(g(a) = g(1) = 1^2 + 2(1) - 5 = 1 + 2 - 5 = -2\)

\(g(b) = g(3) = 3^2 + 2(3) - 5 = 9 + 6 - 5 = 10\)

Calcoliamo il rapporto dei rapporti incrementali:

\(\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{9 - 1}{10 - (-2)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)

Ora calcoliamo il rapporto delle derivate:

\(\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{2c}{2c + 2} = \frac{c}{c + 1}\)

Poniamo i due rapporti uguali:

\(\frac{c}{c + 1} = \frac{2}{3}\)

\(3c = 2(c + 1)\)

\(3c = 2c + 2\)

\(c = 2\)

Il valore **\(c = 2\)** si trova nell'intervallo aperto \((1, 3)\). Dunque, la risposta corretta è **B**.

2. Date \(f(x) = e^x\) e \(g(x) = x\) nell'intervallo \([0, 1]\), qual è il valore di \(c\) che soddisfa il Teorema di Cauchy?

Date \(f(x) = e^x\) e \(g(x) = x\) nell'intervallo \([0, 1]\):

  1. Sono entrambe continue su \([0, 1]\).
  2. Sono entrambe derivabili su \((0, 1)\).
  3. Calcoliamo le derivate: \(f'(x) = e^x\) e \(g'(x) = 1\). Poiché \(g'(x) = 1\), è sempre \(\neq 0\) su \((0, 1)\).

Le condizioni sono soddisfatte. Calcoliamo i valori necessari:

\(f(a) = f(0) = e^0 = 1\)

\(f(b) = f(1) = e^1 = e\)

\(g(a) = g(0) = 0\)

\(g(b) = g(1) = 1\)

Calcoliamo il rapporto dei rapporti incrementali:

\(\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{e - 1}{1 - 0} = e - 1\)

Ora calcoliamo il rapporto delle derivate:

\(\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{e^c}{1} = e^c\)

Poniamo i due rapporti uguali:

\(e^c = e - 1\)

\(c = \ln(e - 1)\)

Poiché \(e \approx 2.718\), \(e-1 \approx 1.718\). Il logaritmo naturale di un numero tra 1 e 2 è compreso tra 0 e 1. Quindi \(c = \ln(e-1)\) si trova nell'intervallo aperto \((0, 1)\). Pertanto, la risposta corretta è B.

3. Quale delle seguenti condizioni NON è necessaria per l'applicazione del Teorema di Cauchy?

Le condizioni necessarie per il Teorema di Cauchy sono:

  1. Continuità di \(f(x)\) e \(g(x)\) sull'intervallo chiuso \([a, b]\). (Opzione A è necessaria)
  2. Derivabilità di \(f(x)\) e \(g(x)\) sull'intervallo aperto \((a, b)\). (Opzione B è necessaria)
  3. La derivata di \(g(x)\), cioè \(g'(x)\), deve essere diversa da zero per ogni \(x\) nell'intervallo aperto \((a, b)\). (Opzione C è necessaria)

L'opzione D, ovvero \(f(a) = f(b)\) e \(g(a) = g(b)\), non è una condizione richiesta per il Teorema di Cauchy. Se \(f(a) = f(b)\) e \(g(a) = g(b)\) (e \(g'(x) \neq 0\)), allora il teorema implicherebbe che \(\frac{f'(c)}{g'(c)} = 0\), il che significa \(f'(c) = 0\). Questa situazione ci riporterebbe al Teorema di Rolle (se \(g(x)\) fosse semplicemente \(x\)), ma non è una condizione generale per Cauchy.

La risposta corretta è D.

4. Se il Teorema di Cauchy è applicabile per \(f(x)\) e \(g(x)\) nell'intervallo \([a, b]\), e si scopre che \(g'(c) = 0\) per qualche \(c \in (a, b)\), cosa implica?

Una delle condizioni fondamentali per l'applicazione del Teorema di Cauchy è che \(g'(x) \neq 0\) per ogni \(x \in (a, b)\).

Se si scopre che \(g'(c) = 0\) per qualche \(c \in (a, b)\), significa che questa condizione non è soddisfatta per l'intervallo dato. Pertanto, il Teorema di Cauchy non è applicabile nell'intervallo \([a, b]\).

La condizione \(g'(x) \neq 0\) è cruciale perché il teorema coinvolge un rapporto in cui \(g'(c)\) è al denominatore, e dividere per zero non è definito. Inoltre, se \(g'(x)\) si annullasse, significherebbe che \(g(a) = g(b)\) (per il teorema di Rolle applicato a \(g\)), e in quel caso anche \(f(a)\) dovrebbe essere uguale a \(f(b)\) per avere una forma indeterminata o il teorema non sarebbe valido in generale con le condizioni date.

La risposta corretta è C.

5. Il Teorema di Cauchy è una generalizzazione di quale altro teorema fondamentale del calcolo differenziale?

Il Teorema di Cauchy è noto anche come Teorema del valor medio generalizzato. Esso generalizza il **Teorema di Lagrange**.

Per dimostrare questa relazione, basta porre \(g(x) = x\) nel Teorema di Cauchy. In questo caso, \(g'(x) = 1\), quindi la condizione \(g'(x) \neq 0\) è soddisfatta. La formula del Teorema di Cauchy diventa:

\(\frac{f'(c)}{1} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)

Che è esattamente la formula del Teorema di Lagrange: \(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\).

Pertanto, il Teorema di Lagrange è un caso particolare del Teorema di Cauchy.

Analizziamo le altre opzioni:

  • A) Il Teorema di Weierstrass riguarda l'esistenza di massimi e minimi assoluti.
  • B) Il **Teorema di Fermat** (sui punti stazionari) afferma che se una funzione ha un estremo locale in un punto e in quel punto è derivabile, allora la sua derivata è zero. Non è una generalizzazione di Cauchy.
  • C) Il Teorema fondamentale del calcolo integrale collega derivazione e integrazione.

La risposta corretta è D.

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