Test sui Teoremi di De L'Hôpital

Per calcolare il limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}\), verifichiamo prima la forma indeterminata. Sostituendo \(x=0\), otteniamo \(\frac{e^0 - 1 - 0}{0^2} = \frac{1 - 1 - 0}{0} = \frac{0}{0}\), che è una forma indeterminata. Le funzioni \(f(x) = e^x - 1 - x\) e \(g(x) = x^2\) sono entrambe derivabili in un intorno di \(0\), e \(g'(x) = 2x \neq 0\) per \(x \neq 0\) in tale intorno. Tutte le **ipotesi del Teorema di de L'Hôpital sono verificate**. Possiamo quindi applicare il teorema.

Prima applicazione di de L'Hôpital:

• Derivata del numeratore \(f(x) = e^x - 1 - x\) è \(f'(x) = e^x - 1\).
• Derivata del denominatore \(g(x) = x^2\) è \(g'(x) = 2x\).

Il nuovo limite è \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}\). Sostituendo \(x=0\), otteniamo ancora \(\frac{e^0 - 1}{2 \cdot 0} = \frac{0}{0}\). Le funzioni sono derivabili e il denominatore \(2x \neq 0\) per \(x \neq 0\). Le **ipotesi sono nuovamente verificate**. Dobbiamo applicare de L'Hôpital una seconda volta.

Seconda applicazione di de L'Hôpital:

• Derivata del nuovo numeratore \(f'(x) = e^x - 1\) è \(f''(x) = e^x\).
• Derivata del nuovo denominatore \(g'(x) = 2x\) è \(g''(x) = 2\).

Il nuovo limite è \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2}\). Sostituendo \(x=0\), otteniamo \(\frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}\).

Quindi, \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}\).

La risposta corretta è B.

Il Teorema di de L'Hôpital è direttamente applicabile solo alle forme indeterminate del tipo \(\frac{0}{0}\) e \(\frac{\infty}{\infty}\). Per applicarlo, le funzioni devono essere derivabili in un intorno del punto del limite (escluso al più il punto stesso) e la derivata del denominatore non deve annullarsi in tale intorno.

Le altre forme indeterminate (\(0 \cdot \infty\), \(\infty - \infty\), \(1^\infty\), \(0^0\), \(\infty^0\)) devono essere prima manipolate algebricamente per ricondursi a una delle due forme dirette (\(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\)).

La risposta corretta è C.

Per calcolare \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}\), verifichiamo la forma indeterminata. Sostituendo \(x \to +\infty\), otteniamo \(\frac{e^{+\infty}}{(+\infty)^2} = \frac{+\infty}{+\infty}\), che è una forma indeterminata. Le funzioni \(f(x) = e^x\) e \(g(x) = x^2\) sono entrambe derivabili e \(g'(x) = 2x \neq 0\) per \(x \to +\infty\). Tutte le **ipotesi del Teorema di de L'Hôpital sono verificate**. Possiamo quindi applicare il teorema.

Prima applicazione di de L'Hôpital:

• Derivata del numeratore \(f(x) = e^x\) è \(f'(x) = e^x\).
• Derivata del denominatore \(g(x) = x^2\) è \(g'(x) = 2x\).

Il nuovo limite è \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2x}\). Sostituendo \(x \to +\infty\), otteniamo ancora \(\frac{+\infty}{+\infty}\). Anche qui, le funzioni sono derivabili e il denominatore \(2x \neq 0\) per \(x \to +\infty\). Le **ipotesi sono nuovamente verificate**. Dobbiamo applicare de L'Hôpital una seconda volta.

Seconda applicazione di de L'Hôpital:

• Derivata del nuovo numeratore \(f'(x) = e^x\) è \(f''(x) = e^x\).
• Derivata del nuovo denominatore \(g'(x) = 2x\) è \(g''(x) = 2\).

Il nuovo limite è \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2}\). Sostituendo \(x \to +\infty\), otteniamo \(\frac{+\infty}{2} = +\infty\).

Quindi, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty\).

La risposta corretta è C.

Le condizioni per l'applicazione del Teorema di de L'Hôpital per \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) sono:

1. \(\lim_{x \to a} f(x) = 0\) e \(\lim_{x \to a} g(x) = 0\) (forma \(\frac{0}{0}\)), O \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\) e \(\lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty\) (forma \(\frac{\infty}{\infty}\)).
2. \(f(x)\) e \(g(x)\) devono essere derivabili in un intorno di \(a\), escluso al più \(a\).
3. La condizione fondamentale sulle derivate è che \(g'(x)\) deve essere **diversa da zero** in un intorno di \(a\), escluso al più \(a\). Questo assicura che il denominatore del rapporto delle derivate non sia nullo, permettendo l'applicazione del teorema. Tutte queste **ipotesi devono essere verificate** affinché il teorema sia applicabile.

Le altre opzioni non rappresentano condizioni fondamentali del teorema:

• A) Non è necessario che le derivate siano uguali.
• B) Non è strettamente richiesta la continuità di \(g'(x)\) (anche se spesso lo sono nelle applicazioni pratiche).
• D) Le funzioni devono essere derivabili, non costanti.

La risposta corretta è C.

Il limite \(\lim_{x \to 0^+} x \ln(x)\) si presenta nella forma indeterminata \(0 \cdot (-\infty)\). Per applicare de L'Hôpital, dobbiamo trasformarla in una forma \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\).

Possiamo riscrivere l'espressione come una frazione:

\(x \ln(x) = \frac{\ln(x)}{1/x}\)

Ora, calcoliamo il limite di questa nuova espressione per \(x \to 0^+\):

• Numeratore: \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\)
• Denominatore: \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\)

Abbiamo la forma indeterminata \(\frac{-\infty}{+\infty}\). Le funzioni \(f(x) = \ln(x)\) e \(g(x) = 1/x\) sono derivabili per \(x > 0\), e \(g'(x) = -1/x^2 \neq 0\) per \(x \to 0^+\). Tutte le **ipotesi del Teorema di de L'Hôpital sono verificate**. Possiamo quindi applicare il teorema.

Applichiamo de L'Hôpital derivando numeratore e denominatore:

• Derivata del numeratore \(f(x) = \ln(x)\) è \(f'(x) = \frac{1}{x}\).
• Derivata del denominatore \(g(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}\) è \(g'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\).

Ora calcoliamo il limite del rapporto delle derivate:

\(\lim_{x \to 0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\)

Semplifichiamo l'espressione:

\(\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{x^2}{1}\right) = -x\)

Infine, calcoliamo il limite di \(-x\) per \(x \to 0^+\):

\(\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0\)

Il limite tende a **0**. Poiché stiamo considerando \(x \to 0^+\) (ovvero \(x\) si avvicina a zero da valori positivi), il termine \(-x\) tenderà a \(0\) da valori negativi (ad esempio, se \(x = 0.01\), \(-x = -0.01\)). Quindi il risultato è **\(0^-\)**.

La risposta corretta è B.