Test sul Teorema di Lagrange

Il Teorema di Lagrange afferma che se una funzione \(f(x)\) è:

1. Continua sull'intervallo chiuso \([a, b]\).
2. Derivabile sull'intervallo aperto \((a, b)\).

Allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\).

Data la funzione \(f(x) = x^2\) nell'intervallo \([1, 3]\):

1. È una funzione polinomiale, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\), e in particolare sull'intervallo \([1, 3]\).
2. È una funzione polinomiale, quindi è derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), e in particolare sull'intervallo \((1, 3)\).

Le condizioni sono soddisfatte. Calcoliamo i valori necessari:

\(f(a) = f(1) = 1^2 = 1\)

\(f(b) = f(3) = 3^2 = 9\)

\(b - a = 3 - 1 = 2\)

Calcoliamo il rapporto incrementale medio:

\(\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

Ora calcoliamo la derivata di \(f(x)\):

\(f'(x) = 2x\)

Poniamo \(f'(c) = 4\):

\(2c = 4\)

\(c = 2\)

Il valore \(c = 2\) si trova nell'intervallo aperto \((1, 3)\). Pertanto, la risposta corretta è B.

Il Teorema di Lagrange richiede che la funzione sia continua sull'intervallo chiuso e derivabile sull'intervallo aperto.

• A) \(f(x) = \sin(x)\): È continua e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), quindi applicabile.
• B) \(f(x) = e^x\): È continua e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), quindi applicabile.
• C) \(f(x) = |x|\): È continua su \([-1, 1]\), ma **non è derivabile in \(x=0\)**, che si trova nell'intervallo aperto \((-1, 1)\). Pertanto, il Teorema di Lagrange NON è applicabile.
• D) \(f(x) = x^3\): È continua e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), quindi applicabile.

La risposta corretta è C) \(f(x) = |x|\).

Il Teorema di Lagrange afferma che esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\).

• Il termine \(f'(c)\) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto \((c, f(c))\).
• Il termine \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) rappresenta il coefficiente angolare della retta secante che congiunge i punti \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\).

Pertanto, l'interpretazione geometrica del Teorema di Lagrange è che esiste almeno un punto \(c\) all'interno dell'intervallo \((a, b)\) in cui la retta tangente al grafico della funzione è parallela alla retta secante che passa per gli estremi dell'intervallo \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\).

Le altre opzioni non sono dirette interpretazioni del Teorema di Lagrange:

• A) "Esiste un punto in cui la tangente è orizzontale" è l'interpretazione geometrica del Teorema di Rolle.
• C) e D) non sono dirette interpretazioni del Teorema di Lagrange.

La risposta corretta è B.

Per applicare il Teorema di Lagrange, la funzione deve essere:

1. Continua sull'intervallo chiuso \([a, b]\).
2. Derivabile sull'intervallo aperto \((a, b)\).

Data la funzione \(f(x) = \sqrt{x}\) nell'intervallo \([0, 4]\):

1. **Continuità:** La funzione \(f(x) = \sqrt{x}\) è continua per \(x \geq 0\), quindi è continua sull'intervallo chiuso \([0, 4]\).
2. **Derivabilità:** La derivata di \(f(x)\) è \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Questa derivata è definita per tutti i \(x > 0\), quindi la funzione è derivabile sull'intervallo aperto \((0, 4)\).

Le condizioni del Teorema di Lagrange sono soddisfatte. Ora calcoliamo il valore di \(c\):

Calcoliamo il rapporto incrementale medio:

\(\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{0}}{4} = \frac{2 - 0}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Poniamo \(f'(c) = \frac{1}{2}\):

\(\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{2}\)

\(2\sqrt{c} = 2\)

\(\sqrt{c} = 1\)

\(c = 1^2\)

\(c = 1\)

Il valore \(c = 1\) si trova nell'intervallo aperto \((0, 4)\). Pertanto, la risposta corretta è A.

Il Teorema di Lagrange richiede:

1. Continuità su \([a, b]\).
2. Derivabilità su \((a, b)\).

Il Teorema di Rolle richiede le stesse due condizioni, più una terza:

3. \(f(a) = f(b)\).

Se una funzione soddisfa le condizioni del Teorema di Lagrange e in più \(f(a) = f(b)\), allora soddisfa anche tutte le condizioni del Teorema di Rolle. Infatti, il Teorema di Rolle può essere visto come un caso speciale del Teorema di Lagrange, in cui il rapporto incrementale \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) diventa zero (poiché \(f(a) = f(b)\)), implicando che \(f'(c) = 0\).

Analizziamo le altre opzioni:

• A) Il **Teorema degli zeri** (o di Bolzano) afferma che se una funzione continua su un intervallo \([a, b]\) assume valori di segno opposto agli estremi (\(f(a) \cdot f(b) < 0\)), allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) in cui \(f(c) = 0\). Questo teorema non è direttamente applicabile o implicato dalla condizione \(f(a) = f(b)\) nel contesto del Teorema di Lagrange.
• C) Il Teorema di De L'Hopital è una regola per calcolare i limiti di forme indeterminate.
• D) Il Teorema di Cauchy è una generalizzazione del Teorema di Lagrange (involge due funzioni), ma non è quello che si applica "in più" in questo caso specifico di \(f(a)=f(b)\).

La risposta corretta è B.