Test sul Teorema di Rolle

Per applicare il Teorema di Rolle, la funzione deve essere:

1. Continua sull'intervallo chiuso \([a, b]\).
2. Derivabile sull'intervallo aperto \((a, b)\).
3. \(f(a) = f(b)\).

Data la funzione \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) nell'intervallo \([1, 3]\):

1. È una funzione polinomiale, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\), e in particolare sull'intervallo \([1, 3]\).
2. È una funzione polinomiale, quindi è derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), e in particolare sull'intervallo \((1, 3)\).
3. Verifichiamo la condizione \(f(a) = f(b)\):
   \(f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0\)
   \(f(3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0\)
   Poiché \(f(1) = f(3) = 0\), la terza condizione è soddisfatta.

Il Teorema di Rolle è applicabile. Ora troviamo \(c\) tale che \(f'(c) = 0\):

\(f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 3) = 2x - 4\)

Poniamo \(f'(x) = 0\):

\(2x - 4 = 0\)

\(2x = 4\)

\(x = 2\)

Il valore \(c = 2\) si trova nell'intervallo aperto \((1, 3)\). Pertanto, c'è una sola soluzione \(c\) che soddisfa il Teorema di Rolle in questo intervallo.

Per la funzione \(f(x) = |x|\) nell'intervallo \([-1, 1]\):

1. Continuità: La funzione \(f(x) = |x|\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\), quindi è continua anche sull'intervallo chiuso \([-1, 1]\).
2. Derivabilità: La funzione \(f(x) = |x|\) non è derivabile in \(x = 0\) (punto angoloso). Poiché \(x = 0\) si trova nell'intervallo aperto \((-1, 1)\), la condizione di derivabilità sull'intervallo aperto non è soddisfatta.
3. Condizione \(f(a) = f(b)\): \(f(-1) = |-1| = 1\) e \(f(1) = |1| = 1\). Quindi \(f(-1) = f(1)\) è soddisfatta.

Anche se le condizioni 1 e 3 sono soddisfatte, la condizione 2 non lo è. Pertanto, il Teorema di Rolle **non è applicabile** a questa funzione nell'intervallo dato a causa della mancata derivabilità in \(x=0\).

Per la funzione \(f(x) = \cos(x)\), dobbiamo verificare le tre condizioni del Teorema di Rolle in ciascun intervallo:

1. La funzione \(f(x) = \cos(x)\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\), quindi è continua in tutti gli intervalli dati.
2. La funzione \(f(x) = \cos(x)\) è derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), quindi è derivabile in tutti gli intervalli aperti dati.
3. Dobbiamo verificare la condizione \(f(a) = f(b)\) per ogni intervallo:

• A) \([0, \pi/2]\):
  \(f(0) = \cos(0) = 1\)
  \(f(\pi/2) = \cos(\pi/2) = 0\)
  \(f(0) \neq f(\pi/2)\). Il Teorema di Rolle non è applicabile.
• B) \([0, \pi]\):
  \(f(0) = \cos(0) = 1\)
  \(f(\pi) = \cos(\pi) = -1\)
  \(f(0) \neq f(\pi)\). Il Teorema di Rolle non è applicabile.
• C) \([\pi, 2\pi]\):
  \(f(\pi) = \cos(\pi) = -1\)
  \(f(2\pi) = \cos(2\pi) = 1\)
  \(f(\pi) \neq f(2\pi)\). Il Teorema di Rolle non è applicabile.
• D) \([-\pi/2, \pi/2]\):
  \(f(-\pi/2) = \cos(-\pi/2) = 0\)
  \(f(\pi/2) = \cos(\pi/2) = 0\)
  \(f(-\pi/2) = f(\pi/2)\). Il Teorema di Rolle **è applicabile**.
  Per trovare \(c\), deriviamo \(f(x)\): \(f'(x) = -\sin(x)\).
  Poniamo \(f'(x) = 0 \Rightarrow -\sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x) = 0\).
  Nell'intervallo \((-\pi/2, \pi/2)\), l'unica soluzione per \(\sin(x) = 0\) è \(x = 0\).

In base all'analisi, il Teorema di Rolle è applicabile solo nell'intervallo **D) \([-\pi/2, \pi/2]\)**.

Il Teorema di Rolle afferma che se una funzione \(f(x)\) è:

1. Continua su un intervallo chiuso \([a, b]\).
2. Derivabile su un intervallo aperto \((a, b)\).
3. \(f(a) = f(b)\).

Allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Le altre opzioni non sono direttamente implicate dal Teorema di Rolle:

• A) La funzione non è necessariamente crescente.
• B) La funzione non è necessariamente decrescente.
• D) La funzione non ha necessariamente un massimo assoluto in \(a\) (potrebbe essere un minimo, o il punto di massimo/minimo potrebbe essere all'interno dell'intervallo).

Per determinare se il Teorema di Rolle è applicabile, dobbiamo verificare tre condizioni:

1. La funzione \( f(x) \) è **continua** nell'intervallo chiuso \( [a, b] \).
2. La funzione \( f(x) \) è **derivabile** nell'intervallo aperto \( (a, b) \).
3. Si ha che \( f(a) = f(b) \).

Analizziamo la funzione \( f(x)= \left|\frac{3-2x}{x-3}\right| \).

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Analisi dei punti critici

La funzione presenta due punti di interesse critici per l'applicabilità del Teorema di Rolle:

1. **Punto di non derivabilità: \(x=1.5\)**

   La funzione è del tipo \(|g(x)|\). Un punto angoloso si verifica dove \(g(x)=0\) e \(g'(x) \neq 0\).

   Troviamo dove \(g(x) = \frac{3-2x}{x-3} = 0\):

   \[ 3-2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} = 1.5 \]

   Calcoliamo la derivata di \(g(x)\):

   \[ g'(x) = \frac{-2(x-3) - (3-2x)(1)}{(x-3)^2} = \frac{-2x+6-3+2x}{(x-3)^2} = \frac{3}{(x-3)^2} \]

   Valutiamo \(g'(x)\) in \(x=1.5\):

   \[ g'(1.5) = \frac{3}{(1.5-3)^2} = \frac{3}{(-1.5)^2} = \frac{3}{2.25} = \frac{4}{3} \]

   Poiché \(g'(1.5) \neq 0\), la funzione \(f(x)\) ha un **punto angoloso** in \(x=1.5\). Dunque, se l'intervallo \((a,b)\) contiene \(x=1.5\), la funzione **non è derivabile** in quel punto. *(Esempio: per l'opzione A) \([0, 2]\), l'intervallo contiene \(x=1.5\), quindi la funzione non è derivabile.)*

2. **Punto di non continuità: \(x=3\)**

   Il denominatore \(x-3\) si annulla per \(x=3\). La funzione non è definita in questo punto e presenta un **asintoto verticale**. Dunque, se l'intervallo \([a,b]\) contiene \(x=3\), la funzione **non è continua** su \([a,b]\). *(Esempio: per l'opzione B) \([2.5, 3.5]\), l'intervallo contiene \(x=3\), quindi la funzione non è continua.)*

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Analisi della condizione \(f(a)=f(b)\) nei vari sottointervalli

Ora, consideriamo gli intervalli che non contengono né \(x=1.5\) né \(x=3\). In questi intervalli, la funzione è sia continua che derivabile. Dobbiamo però verificare la terza e ultima condizione del Teorema di Rolle: \(f(a) = f(b)\).

Per farlo, analizziamo il comportamento della funzione e il segno della sua derivata \(f'(x)\) nei diversi intervalli in cui è continua e derivabile.

La funzione \(f(x)\) è definita a tratti come:

\[ f(x) = \begin{cases} -\frac{3-2x}{x-3} = \frac{2x-3}{x-3} & \text{se } \frac{3-2x}{x-3} < 0 \quad (\text{cioè } x < 1.5 \text{ o } x > 3) \\ \frac{3-2x}{x-3} & \text{se } \frac{3-2x}{x-3} \geq 0 \quad (\text{cioè } 1.5 \leq x < 3) \end{cases} \] Grafico della funzione:

Calcoliamo la derivata di \(f(x)\) per ciascun caso (escludendo i punti di non derivabilità/continuità):

1. **Se l'intervallo \([a,b]\) è contenuto in \(x < 1.5\)** (es. \([0, 1]\))

   In questo intervallo, \(f(x) = \frac{2x-3}{x-3}\).

   La derivata è: \(f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x-3)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x+3}{(x-3)^2} = \frac{-3}{(x-3)^2}\).

   Poiché \(f'(x) = \frac{-3}{(x-3)^2}\) è **sempre negativa** (il numeratore è negativo e il denominatore è un quadrato, quindi positivo), la funzione \(f(x)\) è **strettamente decrescente** per \(x < 1.5\). Di conseguenza, non può verificarsi \(f(a)=f(b)\) se \(a \neq b\).

2. **Se l'intervallo \([a,b]\) è compreso tra \(1.5 < x < 3\)** (es. \([2, 2.5]\))

   In questo intervallo, \(f(x) = \frac{3-2x}{x-3}\).

   La derivata è: \(f'(x) = \frac{-2(x-3) - (3-2x)(1)}{(x-3)^2} = \frac{-2x+6-3+2x}{(x-3)^2} = \frac{3}{(x-3)^2}\).

   Poiché \(f'(x) = \frac{3}{(x-3)^2}\) è **sempre positiva** (il numeratore è positivo e il denominatore è un quadrato, quindi positivo), la funzione \(f(x)\) è **strettamente crescente** per \(1.5 < x < 3\). Di conseguenza, non può verificarsi \(f(a)=f(b)\) se \(a \neq b\).

3. **Se l'intervallo \([a,b]\) è contenuto in \(x > 3\)** (es. opzione C) \([4, 5]\))

   In questo intervallo, \(f(x) = \frac{2x-3}{x-3}\).

   La derivata è: \(f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x-3)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x+3}{(x-3)^2} = \frac{-3}{(x-3)^2}\).

   Poiché \(f'(x) = \frac{-3}{(x-3)^2}\) è **sempre negativa**, la funzione \(f(x)\) è **strettamente decrescente** per \(x > 3\). Di conseguenza, non può verificarsi \(f(a)=f(b)\) se \(a \neq b\).

   *(Ad esempio, per l'opzione C) \([4, 5]\): \(f(4) = \left|\frac{3-2(4)}{4-3}\right| = |-5| = 5\) e \(f(5) = \left|\frac{3-2(5)}{5-3}\right| = \left|\frac{-7}{2}\right| = 3.5\). Come previsto, \(f(4) \neq f(5)\).)*

In conclusione, la funzione \(f(x)\) non soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle in **nessuno degli intervalli possibili**. Le condizioni di continuità o derivabilità falliscono a causa dei punti critici (\(x=3\) e \(x=1.5\)), oppure, negli intervalli in cui è continua e derivabile, la funzione è strettamente monotona, rendendo impossibile che \(f(a)=f(b)\) per \(a \neq b\).

Pertanto, la risposta corretta è **D) Non esiste alcun intervallo in cui è soddisfatto il Teorema di Rolle.**