Teoria Integrale Indefinito - Versione DSA Completa

Definizioni Fondamentali

Primitiva di una funzione:

Si dice che una funzione \(F(x)\) è una primitiva della funzione \(f(x)\) definita nell'intervallo \([a, b]\) se \(F(x)\) è derivabile in ogni punto di \([a, b]\) e la sua derivata è uguale a \(f(x)\):

\[F'(x) = f(x) \quad \forall x \in [a, b]\]

Integrale Indefinito:

Si definisce integrale indefinito della funzione \(f(x)\) l'insieme di tutte le sue primitive \(F(x) + c\), dove \(c\) è una costante reale arbitraria. Si indica con la seguente scrittura:

\[\int f(x) \, dx = F(x) + c\]

Esempi pratici

1. Primitiva: Se consideriamo \(f(x) = 2x\), una sua primitiva è \(F(x) = x^2\), infatti la derivata \(D[x^2] = 2x\).

2. Integrale Indefinito: L'integrale di \(f(x) = \cos(x)\) è:

\[\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + c\]

Osservazione geometrica:

Dal punto di vista geometrico, l'integrale indefinito rappresenta una famiglia di curve. Tutte le primitive di una funzione \(f(x)\) hanno grafici che sono traslati verticalmente l'uno rispetto all'altro, poiché differiscono soltanto per la costante reale \(c\).

Osservazione sull'esistenza:

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, se una funzione \(f(x)\) è continua in un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\), allora essa ammette sempre una primitiva. Tuttavia, è importante notare che non sempre tale primitiva è una funzione elementare (ovvero esprimibile tramite una combinazione finita di potenze, esponenziali, logaritmi o funzioni goniometriche).

Un esempio celebre è la funzione:

\[f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\]

Questa funzione è continua in ogni intervallo chiuso e limitato che non contenga lo zero, dunque in tali intervalli la sua primitiva esiste sicuramente. Anche includendo lo zero, poiché la funzione può essere estesa con continuità in quel punto (essendo \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)), la primitiva esiste su tutto \(\mathbb{R}\). Tuttavia, in nessuno di questi casi la primitiva può essere scritta in forma elementare.

Per approfondire: Come si "calcola" una primitiva non elementare?

Per funzioni come \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\), i matematici utilizzano lo sviluppo in serie di Taylor. Sappiamo che:

\[\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\]

Dividendo ogni termine per \(x\), otteniamo:

\[\frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \dots\]

A questo punto è possibile integrare termine a termine, ottenendo una "serie" che definisce la funzione Seno integrale, indicata con \(Si(x)\):

\[Si(x) = \int \frac{\sin(x)}{x} dx = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \dots + c\]

Questa serie permette di calcolare il valore della primitiva con una precisione arbitraria, semplicemente sommando un numero sufficiente di termini.

Tabella degli Integrali Immediati

Di seguito sono elencati gli integrali delle funzioni elementari, ricavati direttamente dalle regole di derivazione procedendo a ritroso.

Funzione \(f(x)\)	Integrale Indefinito \(\int f(x)dx\)
\(0\)	\(c\)
\(k\) (costante)	\(kx + c\)
\(x^\alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \neq -1)\)	\(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\ln\|x\| + c\)
\(e^x\)	\(e^x + c\)
\(a^x \quad (a>0, a \neq 1)\)	\(\frac{a^x}{\ln a} + c\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + c\)
\(\cos x\)	\(\sin x + c\)
\(\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\)	\(\tan x + c\)
\(\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x\)	\(-\cot x + c\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\arcsin x + c\)
\(\frac{1}{1+x^2}\)	\(\arctan x + c\)

Integrali di Funzioni Composte

Se conosciamo l'integrale di una funzione elementare, possiamo ricavare la regola per la corrispondente funzione composta. In generale, se \(F(x)\) è una primitiva di \(f(x)\), allora:

\[\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + c\]

Ecco i casi più frequenti che incontrerai negli esercizi:

Schema Integrale	Risultato
\(\int [f(x)]^\alpha \cdot f'(x) \, dx\)	\(\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c \quad (\alpha \neq -1)\)
\(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\)	\(\ln\|f(x)\| + c\)
\(\int e^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx\)	\(e^{f(x)} + c\)
\(\int \sin(f(x)) \cdot f'(x) \, dx\)	\(-\cos(f(x)) + c\)
\(\int \cos(f(x)) \cdot f'(x) \, dx\)	\(\sin(f(x)) + c\)
\(\int \frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2} \, dx\)	\(\arctan(f(x)) + c\)

Regole di Linearità:

Per facilitare il calcolo, ricordiamo le due proprietà fondamentali:

Costante per funzione: \(\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx\)
Somma e differenza: \(\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)

Esempi Caratteristici Svolti

Esempio 1: Applicazione della linearità

Calcoliamo l'integrale di un polinomio sfruttando la possibilità di "spezzare" la somma:

\[\int (3x^2 - 5x + 2) \, dx = 3 \int x^2 dx - 5 \int x dx + \int 2 dx\]

Risultato finale:

\[x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + c\]

Esempio 2: Funzione composta del tipo \([f(x)]^\alpha\)

Calcoliamo \(\int (2x+1)^3 \, dx\). Qui la funzione interna è \(f(x)=2x+1\), la cui derivata è \(f'(x)=2\).

Passaggio chiave: Dobbiamo far comparire il "2" dentro l'integrale. Per farlo, moltiplichiamo dentro e dividiamo fuori:

\[\frac{1}{2} \int 2(2x+1)^3 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^4}{4} + c = \frac{(2x+1)^4}{8} + c\]

Esempio 3: Funzione composta del tipo \(\frac{f'(x)}{f(x)}\)

Calcoliamo \(\int \frac{x}{x^2+3} \, dx\). La derivata del denominatore (\(x^2+3\)) è \(2x\).

Moltiplichiamo e dividiamo per 2 per ottenere la derivata al numeratore:

\[\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+3} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+3) + c\]

Nota: Non serve il valore assoluto perché \(x^2+3\) è sempre maggiore di zero.

Esempio 4: Funzione composta (Esponenziale)

Calcoliamo \(\int e^{5x} \, dx\). La derivata dell'esponente (\(5x\)) è 5:

\[\int e^{5x} \, dx = \frac{1}{5} \int 5 e^{5x} \, dx = \frac{1}{5} e^{5x} + c\]

Strategia suggerita:

Prima di procedere con metodi complessi (come parti o sostituzione), verifica sempre se l'integrale è riconducibile a una forma immediata o composta "aggiustando" semplicemente un coefficiente numerico (moltiplicando e dividendo per una costante).

Metodo di Sostituzione

Il metodo di sostituzione si utilizza quando si vuole semplificare l'integrale cambiando la variabile di integrazione. Si basa sulla regola della derivata delle funzioni composte.

Procedura operativa:

Si pone \( x = g(t) \) oppure \( t = g(x) \).
Si calcola il differenziale: \( dx = g'(t)dt \).
Si sostituiscono tutte le espressioni in \( x \) con le corrispondenti in \( t \).
Si risolve l'integrale in \( t \) e, infine, si torna alla variabile \( x \).

Esempio S.5: Sostituzione goniometrica \(\sqrt{a^2 - x^2}\)

\[x = a \sin(t) \implies dx = a \cos(t) dt\]

Semplificando, otteniamo la formula finale:

\[\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( a^2 \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + x\sqrt{a^2 - x^2} \right) + c\]

Svolgimento diretto per \(a = 1\): \(\int \sqrt{1 - x^2} \, dx\)

Risultato finale (\(a=1\)):

\[\int \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + c\]

Svolgimento diretto per \(a = 2\): \(\int \sqrt{4 - x^2} \, dx\)

Risultato finale (\(a=2\)):

\[\int \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + c\]

Metodo di Integrazione per Parti

Questo metodo deriva dalla regola di derivazione del prodotto di due funzioni. La formula fondamentale è:

\[\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx\]

In questa formula identifichiamo due parti:

\( f(x) \) (Fattore Finito): la funzione che viene derivata.
\( g'(x)dx \) (Fattore Differenziale): la funzione che viene integrata.

Esempio P.1: Integrazione di \(x \cdot e^x\)

Scegliamo i fattori:

Fattore finito: \( f(x) = x \implies f'(x) = 1 \)
Fattore differenziale: \( g'(x) = e^x \implies g(x) = e^x \)

Applichiamo la formula:

\[\int x e^x dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x + c\]

Raccogliendo: \( e^x(x-1) + c \)

Esempio P.2: Integrazione ripetuta \(\int x^2 e^x \, dx\)

Qui applichiamo la regola due volte per eliminare la \(x^2\):

1° passaggio:

\[\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx\]

2° passaggio (integriamo di nuovo per parti \(\int 2x e^x dx\)):

\[x^2 e^x - 2 \left( x e^x - \int e^x dx \right) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + c\]

Risultato finale: \( e^x(x^2 - 2x + 2) + c \)

Esempio P.3: Integrazione di \(\ln(x)\) (L'uno "nascosto")

Consideriamo \(\ln(x)\) come il prodotto \(1 \cdot \ln(x)\):

Fattore finito: \( f(x) = \ln(x) \implies f'(x) = \frac{1}{x} \)
Fattore differenziale: \( g'(x) = 1 \implies g(x) = x \)

\[\int \ln(x) dx = x \cdot \ln(x) - \int \frac{1}{x} \cdot x \, dx = x \ln(x) - x + c\]

Esempio P.4: \(\int x \sin(x) \, dx\)

Scegliamo \(f(x)=x\) e \(g'(x)=\sin(x)\):

\[\int x \sin(x) dx = x(-\cos x) - \int 1 \cdot (-\cos x) dx\] \[= -x \cos x + \sin x + c\]

Consiglio strategico (Regola LIATE):

Per scegliere quale funzione usare come fattore finito \(f(x)\), segui questo ordine di priorità (dall'alto verso il basso):

L - Logaritmi
I - Inverse trigonometriche (es. arctan)
A - Algebriche (es. \(x^n\))
T - Trigonometriche (es. sin, cos)
E - Esponenziali

Teoria e Metodi di Risoluzione

Una funzione razionale fratta si presenta nella forma \(\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\). Il metodo per risolverla dipende dai gradi dei polinomi.

1. Caso con denominatore di 2° grado (\(ax^2 + bx + c\))

Il procedimento cambia in base al valore del discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):

Se \(\Delta > 0\) (Due radici reali): Si scompone in fratti semplici \(\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}\).
Esempio: \(\int \frac{1}{x^2-5x+6} dx = \ln|x-3| - \ln|x-2| + c\)
Se \(\Delta = 0\) (Radice doppia): Il denominatore è un quadrato perfetto. Si scrive come potenza negativa.
Esempio: \(\int \frac{1}{(x-3)^2} dx = \int (x-3)^{-2} dx = -\frac{1}{x-3} + c\)
Se \(\Delta < 0\) (Radici complesse): Si riconduce alla forma dell'arcotangente.
Esempio: \(\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan(x) + c\)

2. Caso Generale: Grado Numeratore \(\ge\) Grado Denominatore

Se il numeratore ha un grado maggiore o uguale al denominatore, devi prima fare la divisione tra polinomi.

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \]

Esempio Pratico: Calcoliamo \(\int \frac{x^2+3x+5}{x+1} dx\)

Esegui la divisione: Dividendo \(x^2+3x+5\) per \(x+1\) otteniamo:
Quoziente: \(x+2\) | Resto: \(3\)
Riscrivi l'integrale: \[\int (x + 2 + \frac{3}{x+1}) dx\]
Integra i singoli termini: \[\int x \, dx + \int 2 \, dx + \int \frac{3}{x+1} dx\]

Risultato finale:

\[\frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x+1| + c\]

Applicazioni Pratiche

L'integrale indefinito non è solo un esercizio algebrico, ma permette di ricostruire una funzione conoscendo la sua "velocità di variazione" (derivata) e una condizione specifica.

1. Applicazione Geometrica: Ricerca di una particolare primitiva

Spesso non cerchiamo l'insieme di tutte le primitive, ma l'unica curva che passa per un punto preciso \(P(x_0; y_0)\).

Problema: Trova la funzione \(f(x)\) sapendo che \(f'(x) = 2x - 3\) e che il suo grafico passa per \(P(1; 5)\).

Integrazione: \(\int (2x-3)\,dx = x^2 - 3x + c\).
Condizione: Imponiamo il passaggio per \(P(1; 5)\): \(1^2 - 3(1) + c = 5\).
Calcolo di c: \(1 - 3 + c = 5 \implies -2 + c = 5 \implies c = 7\).

Risultato: La funzione specifica è \(f(x) = x^2 - 3x + 7\).

2. Applicazione Fisica: Dalla velocità alla legge oraria

In fisica, se conosciamo la legge della velocità \(v(t)\), la posizione \(s(t)\) è una sua primitiva.

\[ s(t) = \int v(t)\, dt \]

Per determinare \(c\), occorre conoscere la posizione iniziale \(s(t_0)\).

Esempio: Se \(v(t) = \cos(t)\), allora \(s(t) = \sin(t) + c\).
Se all'istante \(t=0\) il corpo è nell'origine (\(s=0\)), allora \(c=0\) e la legge è \(s(t) = \sin(t)\).

3. Applicazione Fisica: Dalla corrente elettrica alla carica

La corrente \(i(t)\) è la velocità con cui varia la carica elettrica \(q(t)\). Conoscendo la corrente, troviamo la carica integrando:

\[ q(t) = \int i(t)\, dt \]

Problema: Un condensatore ha \(i(t) = 0.5e^{-2t}\). Trova \(q(t)\) sapendo che a \(t=0\) la carica è \(q_0 = 0.25\).

Integrazione: \(q(t) = \int 0.5e^{-2t}\, dt = -0.25e^{-2t} + c\)
Condizione: \(-0.25e^{0} + c = 0.25 \implies -0.25 + c = 0.25 \implies c = 0.5\)
Risultato: \(q(t) = 0.5 - 0.25e^{-2t}\) (coulomb)

Nota: La carica tende a 0.5 C per \(t \to \infty\), mentre la corrente decresce a zero.

4. Applicazione Economica: Dal costo marginale al costo totale

Il costo marginale \(C'(q)\) è quanto costa produrre un'unità in più. Il costo totale è la sua primitiva:

\[ C(q) = \int C'(q)\, dq \]

Problema: Costo marginale \(C'(q) = 3q^2 - 12q + 20\). Spese fisse (\(q=0\)) = 500€.

Integrazione: \(C(q) = \int (3q^2 - 12q + 20)\, dq = q^3 - 6q^2 + 20q + c\)
Condizione: Se \(q=0\), il costo deve essere 500, quindi \(c = 500\).
Risultato: \(C(q) = q^3 - 6q^2 + 20q + 500\) (euro)

1. Primitiva di una funzione e integrale indefinito ▼