L'Integrale Indefinito - Matefilia.it

Definizioni Fondamentali

Primitiva di una funzione:

Si dice che una funzione \(F(x)\) è una primitiva della funzione \(f(x)\) definita nell'intervallo \([a, b]\) se \(F(x)\) è derivabile in ogni punto di \([a, b]\) e la sua derivata è uguale a \(f(x)\):

\(F'(x) = f(x) \quad \forall x \in [a, b]\)

Integrale Indefinito:

Si definisce integrale indefinito della funzione \(f(x)\) l'insieme di tutte le sue primitive \(F(x) + c\), dove \(c\) è una costante reale arbitraria. Si indica con la seguente scrittura:

\(\int f(x) \, dx = F(x) + c\)

Esempi pratici

1. Primitiva: Se consideriamo \(f(x) = 2x\), una sua primitiva è \(F(x) = x^2\), infatti la derivata \(D[x^2] = 2x\).

2. Integrale Indefinito: L'integrale di \(f(x) = \cos(x)\) è:

\(\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + c\)

Osservazione geometrica:

Dal punto di vista geometrico, l'integrale indefinito rappresenta una famiglia di curve. Tutte le primitive di una funzione \(f(x)\) hanno grafici che sono traslati verticalmente l'uno rispetto all'altro, poiché differiscono soltanto per la costante reale \(c\).

Osservazione sull'esistenza:

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, se una funzione \(f(x)\) è continua in un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\), allora essa ammette sempre una primitiva. Tuttavia, è importante notare che non sempre tale primitiva è una funzione elementare (ovvero esprimibile tramite una combinazione finita di potenze, esponenziali, logaritmi o funzioni goniometriche).

Un esempio celebre è la funzione:

\(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)

Questa funzione è continua in ogni intervallo chiuso e limitato che non contenga lo zero, dunque in tali intervalli la sua primitiva esiste sicuramente. Anche includendo lo zero, poiché la funzione può essere estesa con continuità in quel punto (essendo \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)), la primitiva esiste su tutto \(\mathbb{R}\). Tuttavia, in nessuno di questi casi la primitiva può essere scritta in forma elementare.

Per approfondire: Come si "calcola" una primitiva non elementare?

Per funzioni come \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\), i matematici utilizzano lo sviluppo in serie di Taylor. Sappiamo che:

\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\)

Dividendo ogni termine per \(x\), otteniamo:

\(\frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \dots\)

A questo punto è possibile integrare termine a termine, ottenendo una "serie" che definisce la funzione Seno integrale, indicata con \(Si(x)\):

\(Si(x) = \int \frac{\sin(x)}{x} dx = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \dots + c\)

Questa serie permette di calcolare il valore della primitiva con una precisione arbitraria, semplicemente sommando un numero sufficiente di termini.

Tabella degli Integrali Immediati

Di seguito sono elencati gli integrali delle funzioni elementari, ricavati direttamente dalle regole di derivazione procedendo a ritroso.

Funzione \(f(x)\)	Integrale Indefinito \(\int f(x)dx\)
\(0\)	\(c\)
\(k\) (costante)	\(kx + c\)
\(x^\alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \neq -1)\)	\(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\ln\|x\| + c\)
\(e^x\)	\(e^x + c\)
\(a^x \quad (a>0, a \neq 1)\)	\(\frac{a^x}{\ln a} + c\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + c\)
\(\cos x\)	\(\sin x + c\)
\(\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\)	\(\tan x + c\)
\(\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x\)	\(-\cot x + c\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\arcsin x + c\)
\(\frac{1}{1+x^2}\)	\(\arctan x + c\)

Integrali di Funzioni Composte

Se conosciamo l'integrale di una funzione elementare, possiamo ricavare la regola per la corrispondente funzione composta. In generale, se \(F(x)\) è una primitiva di \(f(x)\), allora:

\(\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + c\)

Ecco i casi più frequenti che incontrerai negli esercizi:

Schema Integrale	Risultato
\(\int [f(x)]^\alpha \cdot f'(x) \, dx\)	\(\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c \quad (\alpha \neq -1)\)
\(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\)	\(\ln\|f(x)\| + c\)
\(\int e^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx\)	\(e^{f(x)} + c\)
\(\int \sin(f(x)) \cdot f'(x) \, dx\)	\(-\cos(f(x)) + c\)
\(\int \cos(f(x)) \cdot f'(x) \, dx\)	\(\sin(f(x)) + c\)
\(\int \frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2} \, dx\)	\(\arctan(f(x)) + c\)

Regole di Linearità:

Per facilitare il calcolo, ricordiamo le due proprietà fondamentali:

\(\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx\)
\(\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)

Esempi Caratteristici Svolti

Esempio 1: Applicazione della linearità

Calcoliamo l'integrale di un polinomio:

\(\int (3x^2 - 5x + 2) \, dx = 3 \int x^2 dx - 5 \int x dx + \int 2 dx = x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + c\)

Esempio 2: Funzione composta del tipo \([f(x)]^\alpha\)

Calcoliamo \(\int (2x+1)^3 \, dx\). In questo caso \(f(x)=2x+1\), quindi la sua derivata è \(f'(x)=2\). Dobbiamo "inserire" il 2 moltiplicando e dividendo:

\(\int (2x+1)^3 \, dx = \frac{1}{2} \int 2(2x+1)^3 \, dx = \frac{1}{2} \frac{(2x+1)^4}{4} + c = \frac{(2x+1)^4}{8} + c\)

Esempio 3: Funzione composta del tipo \(\frac{f'(x)}{f(x)}\)

Calcoliamo \(\int \frac{x}{x^2+3} \, dx\). La derivata del denominatore è \(2x\). Moltiplichiamo e dividiamo per 2:

\(\int \frac{x}{x^2+3} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+3} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+3) + c\)

Nota: non serve il valore assoluto perché \(x^2+3\) è sempre positivo.

Esempio 4: Funzione composta (Esponenziale)

Calcoliamo \(\int e^{5x} \, dx\). La derivata dell'esponente è 5:

\(\int e^{5x} \, dx = \frac{1}{5} \int 5 e^{5x} \, dx = \frac{1}{5} e^{5x} + c\)

Strategia suggerita: Prima di procedere con metodi complessi (come parti o sostituzione), verifica sempre se l'integrale è riconducibile a una forma immediata o composta "aggiustando" semplicemente un coefficiente numerico.

Metodo di Sostituzione

Il metodo di sostituzione si utilizza quando si vuole semplificare l'integrale cambiando la variabile di integrazione. Si basa sulla regola della derivata delle funzioni composte.

Procedura:

Si pone \( x = g(t) \) oppure \( t = g(x) \).
Si calcola il differenziale: \( dx = g'(t)dt \).
Si sostituiscono tutte le espressioni in \( x \) con le corrispondenti in \( t \).
Si risolve l'integrale in \( t \) e, infine, si torna alla variabile \( x \).

Esempio S.1: \(\int \sqrt{3x-1} \, dx\)

Poniamo \( 3x-1 = t \), da cui \( 3dx = dt \rightarrow dx = \frac{1}{3}dt \):

\(\int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int t^{1/2} dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}t^{3/2} = \frac{2}{9}\sqrt{(3x-1)^3} + c\)

Esempio S.2: Sostituzione con funzione logaritmica

Calcoliamo \(\int \frac{1}{x \ln x} \, dx\).

Poniamo \(\ln x = t\). Derivando entrambi i membri rispetto alle proprie variabili otteniamo \(\frac{1}{x} dx = dt\). Sostituiamo:

\(\int \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + c = \ln|\ln x| + c\)

Esempio S.3: Sostituzione con funzioni goniometriche

Calcoliamo \(\int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx\).

Poniamo \(\sin x = t\), da cui \(\cos x \, dx = dt\). L'integrale diventa:

\(\int t^3 dt = \frac{t^4}{4} + c = \frac{\sin^4 x}{4} + c\)

Esempio S.4: Sostituzione "lineare" invertita

Calcoliamo \(\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} \, dx\). Moltiplichiamo sopra e sotto per \(e^x\): \(\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} \, dx\).

Poniamo \(e^x = t\), da cui \(e^x dx = dt\). L'integrale diventa:

\(\int \frac{1}{t^2 + 1} dt = \arctan(t) + c = \arctan(e^x) + c\)

Esempio S.5: Sostituzione goniometrica \(\sqrt{a^2 - x^2}\)

Per calcolare \(\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx\) (con \(a > 0\)), poniamo:

\(x = a \sin(t) \implies dx = a \cos(t) dt\)

Sostituendo, otteniamo \(\sqrt{a^2 - a^2\sin^2(t)} = a\cos(t)\). L'integrale diventa:

\(\int a \cos(t) \cdot a \cos(t) dt = a^2 \int \cos^2(t) dt\)

Utilizzando la formula di linearità e la formula di duplicazione del coseno \(\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}\), possiamo risolvere l'integrale in \(t\):

\(a^2 \int \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{a^2}{2} \left( \int 1 dt + \int \cos(2t) dt \right) = \frac{a^2}{2} \left( t + \frac{\sin(2t)}{2} \right) + c\)

Per tornare alla variabile \(x\), usiamo le identità trigonometriche:

Dalla sostituzione \(x = a \sin(t)\), ricaviamo \(t = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\).
Usiamo la formula di duplicazione del seno: \(\sin(2t) = 2 \sin(t) \cos(t)\).
Poiché \(\sin(t) = \frac{x}{a}\), allora \(\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}\).

Sostituendo tutto nella soluzione ottenuta:

\(\frac{a^2}{2} t + \frac{a^2}{4} (2 \sin t \cos t) = \frac{a^2}{2} \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \frac{a^2}{2} \left( \frac{x}{a} \cdot \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} \right) + c\)

Semplificando, otteniamo la formula finale:

\(\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( a^2 \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + x\sqrt{a^2 - x^2} \right) + c\)

Svolgimento diretto per \(a = 1\): \(\int \sqrt{1 - x^2} \, dx\)

Poniamo \(x = \sin(t) \implies dx = \cos(t)dt\):

\(\int \sqrt{1 - \sin^2 t} \cdot \cos t \, dt = \int \cos^2 t \, dt = \int \frac{1+\cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin(2t) + c\)

Tornando a \(x\): sapendo che \(\sin(2t) = 2\sin t \cos t = 2x\sqrt{1-x^2}\) e \(t = \arcsin x\):

\(\int \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + c\)

Svolgimento diretto per \(a = 2\): \(\int \sqrt{4 - x^2} \, dx\)

Poniamo \(x = 2\sin(t) \implies dx = 2\cos(t)dt\):

\(\int \sqrt{4 - 4\sin^2 t} \cdot 2\cos t \, dt = \int \sqrt{4(1-\sin^2 t)} \cdot 2\cos t \, dt = \int 2\cos t \cdot 2\cos t \, dt\)

\(4 \int \cos^2 t \, dt = 4 \left( \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin(2t) \right) + c = 2t + \sin(2t) + c\)

Poiché \(\sin t = \frac{x}{2}\), allora \(t = \arcsin(\frac{x}{2})\) e \(\sin(2t) = 2\frac{x}{2}\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2} = x\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\):

\(\int \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + c\)

Metodo di Integrazione per Parti

Questo metodo deriva dalla regola di derivazione del prodotto di due funzioni. La formula fondamentale è:

\(\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx\)

In questa formula:

\( f(x) \) è detto fattore finito (viene derivato).
\( g'(x)dx \) è detto fattore differenziale (viene integrato).

Esempio classico: \(\int x \cdot e^x \, dx\)

Scegliamo \( f(x) = x \) (finito) e \( g'(x) = e^x \) (differenziale):

\(\int x e^x dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x + c = e^x(x-1) + c\)

Esempio P.2: Integrazione ripetuta \(\int x^2 e^x \, dx\)

In questo caso dobbiamo applicare la regola due volte per abbassare il grado della \(x\):

1° passaggio: \(f(x)=x^2, g'(x)=e^x \implies \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx\)

Ora applichiamo nuovamente l'integrazione per parti al termine \(\int 2x e^x dx\):

2° passaggio: \(x^2 e^x - 2 \left( x e^x - \int e^x dx \right) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + c\)

Raccogliendo \(e^x\): \(e^x(x^2 - 2x + 2) + c\).

Esempio P.3: Integrazione di \(\ln(x)\) (L'uno "nascosto")

Per integrare il logaritmo, consideriamo la funzione come il prodotto \(1 \cdot \ln(x)\). Scegliamo \(\ln(x)\) come fattore finito perché sappiamo derivarlo, e \(1\) come fattore differenziale:

\(f(x)=\ln(x) \implies f'(x)=\frac{1}{x}\)
\(g'(x)=1 \implies g(x)=x\)

\(\int \ln(x) dx = x \cdot \ln(x) - \int \frac{1}{x} \cdot x \, dx = x \ln(x) - \int 1 dx = x \ln(x) - x + c\)

Esempio P.4: \(\int x \sin(x) \, dx\)

Scegliamo \(f(x)=x\) (fattore finito) e \(g'(x)=\sin(x)\) (fattore differenziale):

\(\int x \sin(x) dx = x(-\cos x) - \int 1 \cdot (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx\)

\(-x \cos x + \sin x + c\)

Consiglio strategico (Regola LIATE): Per scegliere quale funzione usare come fattore finito \(f(x)\), segui generalmente questo ordine di priorità:

Logaritmi
Inverse trigonometriche (es. arctan)
Algebriche (es. \(x^n\))
Trigonometriche (es. sin, cos)
Esponenziali

Teoria e Metodi di Risoluzione

Una funzione razionale fratta è del tipo \(\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\). Il metodo di integrazione cambia drasticamente in base al grado dei polinomi.

1. Caso con denominatore di 2° grado (\(Q(x) = ax^2 + bx + c\))

Il procedimento dipende dal segno del discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):

\(\Delta > 0\) (Due radici reali): Si scompone in fratti semplici \(\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}\).
Esempio: \(\int \frac{1}{x^2-5x+6} dx = \ln|x-3| - \ln|x-2| + c\).
\(\Delta = 0\) (Radice doppia): Si scrive come potenza negativa \((mx+n)^{-2}\).
Esempio: \(\int \frac{1}{(x-3)^2} dx = -\frac{1}{x-3} + c\).
\(\Delta <0\) (Radici complesse): Si completa il quadrato per ottenere un'arcotangente.
Esempio: \(\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan(x) + c\).

2. Caso Generale: Grado Numeratore \(\ge\) Grado Denominatore

Quando il numeratore ha un grado uguale o superiore al denominatore, è necessario eseguire la divisione polinomiale prima di integrare.

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \]

Esempio Pratico: Calcolare \(\int \frac{x^2+3x+5}{x+1} dx\)

Divisione: Dividendo \(x^2+3x+5\) per \(x+1\) si ottiene quoziente \(x+2\) e resto \(3\).
Riscrittura: L'integrale diventa \(\int (x + 2 + \frac{3}{x+1}) dx\).
Integrazione: Si integrano i singoli pezzi separatamente.

Risultato: \(\frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x+1| + c\)

Applicazioni Pratiche

L'integrale indefinito non è solo un esercizio algebrico, ma permette di ricostruire una funzione conoscendo la sua "velocità di variazione" (derivata) e una condizione specifica.

1. Applicazione Geometrica: Ricerca di una particolare primitiva

Spesso non cerchiamo l'insieme di tutte le primitive, ma l'unica curva che passa per un punto preciso \(P(x_0; y_0)\).

Problema: Trova la funzione \(f(x)\) sapendo che la sua derivata è \(f'(x) = 2x - 3\) e che il suo grafico passa per \(P(1; 5)\).

Integrazione: Calcoliamo l'integrale generale: \(\int (2x-3)\,dx = x^2 - 3x + c\).
Condizione: Imponiamo il passaggio per \(P(1; 5)\) sostituendo \(x=1\) e \(y=5\): \(1^2 - 3(1) + c = 5\).
Calcolo di c: Risolviamo l'equazione \(1 - 3 + c = 5 \implies -2 + c = 5 \implies c = 7\).

Risultato: La funzione specifica è \(f(x) = x^2 - 3x + 7\).

2. Applicazione Fisica: Dalla velocità alla legge oraria

In fisica, se conosciamo la legge della velocità \(v(t)\), la posizione \(s(t)\) (legge oraria) è una sua primitiva.

\[ s(t) = \int v(t)\, dt \]

Per determinare la costante \(c\), occorre conoscere la posizione iniziale del corpo, ovvero il valore \(s(t_0)\).

Esempio: Se \(v(t) = \cos(t)\), allora \(s(t) = \sin(t) + c\). Se all'istante \(t=0\) il corpo si trova nell'origine (\(s=0\)), allora \(c=0\) e la legge oraria è \(s(t) = \sin(t)\).

3. Applicazione Fisica: Dalla corrente elettrica alla carica

In un circuito elettrico, la corrente \(i(t)\) rappresenta la velocità con cui varia la carica elettrica \(q(t)\) nel tempo.

\[ i(t) = \frac{dq}{dt} \]

Pertanto, conoscendo la corrente nel tempo, possiamo trovare la carica integrando:

\[ q(t) = \int i(t)\, dt \]

Problema: In un condensatore la corrente varia nel tempo secondo la legge \(i(t) = 0.5e^{-2t}\) (in ampere). Determina la carica \(q(t)\) sapendo che al tempo \(t=0\) la carica è \(q_0 = 0.25\) coulomb.

Integrazione: \[ q(t) = \int 0.5e^{-2t}\, dt = 0.5 \cdot \frac{e^{-2t}}{-2} + c = -0.25e^{-2t} + c \]
Condizione iniziale: \[ -0.25e^{0} + c = 0.25 \implies -0.25 + c = 0.25 \implies c = 0.5 \]
Risultato: \[ q(t) = -0.25e^{-2t} + 0.5 = 0.5 - 0.25e^{-2t} \text{ coulomb} \]

Interpretazione fisica: La carica tende asintoticamente al valore di 0.5 coulomb quando \(t \to \infty\), mentre la corrente decresce esponenzialmente verso zero.

4. Applicazione Economica: Dal costo marginale al costo totale

In economia, il costo marginale \(C'(q)\) rappresenta quanto costa produrre un'unità aggiuntiva quando si stanno già producendo \(q\) unità.

Ad esempio, se produrre 100 unità costa 5000€ e produrre 101 unità costa 5030€, il costo marginale alla produzione di 100 unità è circa 30€.

Matematicamente, il costo marginale è la derivata del costo totale \(C(q)\), quindi per trovare il costo totale dobbiamo calcolare la primitiva:

\[ C(q) = \int C'(q)\, dq \]

Problema: Un'azienda ha un costo marginale dato da \(C'(q) = 3q^2 - 12q + 20\) (in euro per unità).

Integrazione: \[ C(q) = \int (3q^2 - 12q + 20)\, dq = q^3 - 6q^2 + 20q + c \]
Condizione iniziale: \[ 0^3 - 6(0)^2 + 20(0) + c = 500 \implies c = 500 \]
Risultato: \[ C(q) = q^3 - 6q^2 + 20q + 500 \text{ euro} \]

Verifica: \[ C(10) = 1000 - 600 + 200 + 500 = 1100 \text{ euro} \]