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Argomenti: funzione di densità di probabilità (Probability Density Function, detta PDF), funzione di ripartizione (Cumulative Distribution Function, detta CDF),
distribuzione uniforme, distribuzione gaussiana, distribuzione esponenziale,
valor medio, varianza e deviazione standard.
a) Verificare che \(f(x)\) sia una funzione di densità di probabilità (PDF) valida.
b) Determinare la funzione di ripartizione \(F(x)\).
c) Calcolare il valor medio \(E[X]\), la varianza \(\text{Var}(X)\) e la deviazione standard \(\sigma_X\).
💡 Suggerimento 1
Per verificare che \(f(x)\) sia una PDF valida occorre controllare due condizioni: che \(f(x) \geq 0\) su tutto \(\mathbb{R}\), e che l'integrale su tutto \(\mathbb{R}\) sia uguale a 1. Poiché \(f(x)=0\) fuori da \([0,2]\), basta calcolare \(\displaystyle\int_0^2 \frac{3}{4}x(2-x)\,dx\).
💡 Suggerimento 2
Per la CDF su \([0,2]\) integra la PDF da \(0\) a \(x\):
\[F(x) = \int_0^x \frac{3}{4}t(2-t)\,dt = \frac{3}{4}\left(t^2 - \frac{t^3}{3}\right)\Bigg|_0^x\]
Per il valor medio calcola \(E[X] = \displaystyle\int_0^2 x \cdot \frac{3}{4}x(2-x)\,dx\).
💡 Suggerimento 3
Risulta \(E[X]=1\). Per la varianza usa \(\text{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\), con \(E[X^2]=\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\frac{3}{4}x(2-x)\,dx = \frac{6}{5}\). Quindi \(\text{Var}(X)=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}\) e \(\sigma_X=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0{,}447\).
Soluzione quesito 1:
a) Verifica che \(f(x)\) sia una PDF valida
Non negatività: su \([0,2]\) si ha \(x \geq 0\) e \((2-x) \geq 0\), quindi \(f(x) = \frac{3}{4}x(2-x) \geq 0\). Fuori dall'intervallo \(f(x)=0\). ✓
a) Determinare il valore della costante \(k\) affinché \(f(x)\) sia una PDF valida.
b) Calcolare la funzione di ripartizione \(F(x)\) per \(x \geq 0\).
c) Calcolare la probabilità che il componente duri tra 1 e 2 ore.
💡 Suggerimento 1
Per trovare \(k\) imponi che l'integrale su tutto il dominio valga 1:
\(\displaystyle\int_0^{+\infty} k\,x\,e^{-x^2/2}\,dx = 1\).
Prova la sostituzione \(u = x^2/2\), da cui \(du = x\,dx\).
💡 Suggerimento 2
Con la sostituzione \(u = x^2/2\) l'integrale diventa \(k\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-u}\,du = k \cdot 1 = k\).
Quindi \(k = 1\). La CDF si ottiene integrando da 0 a \(x\) con la stessa sostituzione.
💡 Suggerimento 3
La CDF è \(F(x) = 1 - e^{-x^2/2}\) per \(x \geq 0\).
La probabilità cercata è \(P(1 \leq X \leq 2) = F(2) - F(1) = e^{-1/2} - e^{-2} \approx 0{,}6065 - 0{,}1353 = 0{,}4712\).
Soluzione quesito 2:
a) Determinazione di \(k\)
Imponiamo che l'integrale della PDF su tutto il dominio sia uguale a 1:
\[
\int_0^{+\infty} k\,x\,e^{-x^2/2}\,dx = 1
\]
Usiamo la sostituzione \(u = \dfrac{x^2}{2}\), da cui \(du = x\,dx\).
Quando \(x = 0\) si ha \(u = 0\); quando \(x \to +\infty\) si ha \(u \to +\infty\). L'integrale diventa:
\[
k \int_0^{+\infty} e^{-u}\,du = k\left[-e^{-u}\right]_0^{+\infty} = k(0 - (-1)) = k
\]
Un autobus passa ad una certa fermata ogni 20 minuti esatti. Un passeggero arriva alla fermata in un istante casuale, senza conoscere l'orario degli autobus. Il tempo di attesa \(X\) (in minuti) è una variabile aleatoria uniformemente distribuita sull'intervallo \([0, 20]\).
a) Scrivere la PDF e la CDF di \(X\).
b) Calcolare la probabilità che il passeggero aspetti meno di 5 minuti.
c) Calcolare valor medio, varianza e deviazione standard di \(X\).
d) Calcolare la probabilità che il passeggero aspetti più della media.
💡 Suggerimento 1
Per una distribuzione uniforme su \([a, b]\) la PDF è costante:
\(f(x) = \dfrac{1}{b-a}\) per \(a \leq x \leq b\), zero altrove.
Qui \(a = 0\) e \(b = 20\), quindi \(f(x) = \dfrac{1}{20}\).
💡 Suggerimento 2
La probabilità che \(X\) cada in un sottointervallo \([c, d] \subseteq [0,20]\) è semplicemente
\(\dfrac{d - c}{20}\) (proporzionale alla lunghezza dell'intervallo).
Per i parametri usa le formule: \(E[X] = \dfrac{a+b}{2}\), \(\text{Var}(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}\).
💡 Suggerimento 3
Risulta \(E[X] = 10\) min, \(\text{Var}(X) = \dfrac{400}{12} = \dfrac{100}{3}\),
\(\sigma_X = \dfrac{10}{\sqrt{3}} \approx 5{,}77\) min.
Per il punto d): \(P(X > 10) = \dfrac{20 - 10}{20} = \dfrac{1}{2}\). Ha senso per simmetria!
Soluzione quesito 3:
a) PDF e CDF
Poiché \(X \sim U(0, 20)\), la funzione di densità è:
Quesito 4 — Distribuzione Esponenziale e "mancanza di memoria"
Una centralina meteorologica registra la temperatura massima giornaliera in una certa città durante il mese di luglio. Si assume che la temperatura massima \(T\) (in °C) sia uniformemente distribuita sull'intervallo \([a, b]\).
Da osservazioni storiche si sa che:
la temperatura massima media è \(32\)°C;
la probabilità che la temperatura superi i \(38\)°C è \(0{,}20\).
a) Determinare i parametri \(a\) e \(b\) della distribuzione.
b) Calcolare la varianza e la deviazione standard di \(T\).
c) Calcolare la probabilità che la temperatura massima sia compresa tra \(28\)°C e \(35\)°C.
💡 Suggerimento 1
Per una distribuzione uniforme su \([a,b]\): la media è \(E[T] = \dfrac{a+b}{2}\) e
la probabilità che \(T\) superi un valore \(c \in [a,b]\) è \(P(T > c) = \dfrac{b - c}{b - a}\).
Scrivi le due equazioni con le informazioni note.
💡 Suggerimento 2
Le due equazioni sono:
\(\dfrac{a+b}{2} = 32\) e \(\dfrac{b - 38}{b - a} = 0{,}20\).
Dalla prima: \(a + b = 64\), cioè \(a = 64 - b\). Sostituisci nella seconda e risolvi per \(b\).
💡 Suggerimento 3
Sostituendo \(a = 64 - b\) nella seconda equazione:
\(\dfrac{b - 38}{b - (64-b)} = \dfrac{b-38}{2b-64} = 0{,}20\).
Si ottiene \(b - 38 = 0{,}20(2b - 64)\), da cui \(b = 42\) e \(a = 22\).
Soluzione quesito 4:
a) Determinazione dei parametri \(a\) e \(b\)
Per una distribuzione uniforme \(T \sim U(a, b)\) valgono:
I punteggi ottenuti dagli studenti di un liceo scientifico in un test standardizzato di matematica seguono una distribuzione normale con media \(\mu = 72\) punti e deviazione standard \(\sigma = 8\) punti.
a) Calcolare la probabilità che uno studente scelto a caso abbia ottenuto un punteggio compreso tra 64 e 88 punti.
b) Calcolare la probabilità che uno studente abbia ottenuto più di 80 punti.
c) Al di sopra di quale punteggio si trova il 10% migliore degli studenti? (Usare \(z_{0{,}90} \approx 1{,}28\).)
💡 Suggerimento 1
Standardizza ogni valore con \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} = \dfrac{X - 72}{8}\).
Per il punto a): \(64 \to Z = -1\) e \(88 \to Z = 2\).
Poi usa \(P(a \leq X \leq b) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)\).
💡 Suggerimento 2
Dai valori della normale standard: \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\), \(\Phi(2) \approx 0{,}9772\),
e per simmetria \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}1587\).
Per il punto b): \(80 \to Z = 1\), quindi \(P(X > 80) = 1 - \Phi(1)\).
💡 Suggerimento 3
Per il punto c) il 10% migliore corrisponde a \(\Phi(z) = 0{,}90\), cioè \(z \approx 1{,}28\).
Ritorna alla scala originale: \(x = \mu + z \cdot \sigma = 72 + 1{,}28 \times 8 = 82{,}24\).
Soluzione quesito 5:
Sia \(X \sim \mathcal{N}(72,\, 8^2)\). Standardizziamo con \(Z = \dfrac{X - 72}{8}\).
Quesito 6 — Distribuzione gaussiana: problema inverso
Il peso (in grammi) delle confezioni di un prodotto alimentare confezionato da una macchina segue una distribuzione normale \(X \sim \mathcal{N}(\mu,\, \sigma^2)\).
Il controllo qualità stabilisce che:
il 95,44% delle confezioni deve avere un peso compreso tra 480 g e 520 g;
una confezione è considerata sottopeso se pesa meno di 480 g.
a) Determinare la media \(\mu\) e la deviazione standard \(\sigma\) della distribuzione.
b) Calcolare la probabilità che una confezione scelta a caso sia sottopeso.
c) In un lotto di 500 confezioni, quante ci si aspetta che siano sottopeso?
💡 Suggerimento 1
Il 95,44% corrisponde alla regola \(\mu \pm 2\sigma\) della distribuzione normale
(circa il 95,44% dei dati cade entro due deviazioni standard dalla media).
L'intervallo \([480, 520]\) è simmetrico: qual è il suo centro? E quanto vale \(2\sigma\)?
💡 Suggerimento 2
Il centro dell'intervallo è \(\mu = \dfrac{480 + 520}{2} = 500\) g.
Poiché \(\mu - 2\sigma = 480\), si ha \(2\sigma = 500 - 480 = 20\), quindi \(\sigma = 10\) g.
Per il punto b) standardizza 480: \(Z = \dfrac{480 - 500}{10}\).
💡 Suggerimento 3
\(P(X < 480) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).
Su 500 confezioni ci si aspetta \(500 \times 0{,}0228 = 11{,}4\), cioè circa 11 confezioni sottopeso.
Soluzione quesito 6:
a) Determinazione di \(\mu\) e \(\sigma\)
📏 Regola Empirica della Distribuzione Normale
In una distribuzione gaussiana, le probabilità associate agli scarti dalla media sono:
\(\mu \pm 1\sigma \approx 68,26\%\)
\(\mu \pm 2\sigma \approx 95,44\%\)
\(\mu \pm 3\sigma \approx 99,73\%\)
Il dato del 95,44% richiama immediatamente la proprietà per cui tale quota di valori ricade nell'intervallo \([\mu - 2\sigma,\; \mu + 2\sigma]\). Poiché l'intervallo \([480, 520]\) fornito dal problema è simmetrico, la media coincide con il suo punto medio:
Quesito 7 — Distribuzione esponenziale: tempo di attesa
Le chiamate in arrivo ad un centralino seguono una distribuzione esponenziale con parametro \(\lambda = 0{,}25\) chiamate al minuto.
a) Scrivere la PDF e la CDF del tempo di attesa \(X\) (in minuti) tra due chiamate consecutive.
b) Calcolare la probabilità che la prossima chiamata arrivi entro 3 minuti.
c) Calcolare la probabilità che si debbano attendere più di 6 minuti.
d) Verificare la proprietà di assenza di memoria: dato che sono già trascorsi 4 minuti senza chiamate, calcolare la probabilità di dover aspettare ancora più di 2 minuti.
💡 Suggerimento 1
Per \(X \sim \text{Exp}(\lambda)\) con \(\lambda = 0{,}25\):
la PDF è \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) per \(x \geq 0\),
la CDF è \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\) per \(x \geq 0\).
Il valor medio è \(E[X] = \dfrac{1}{\lambda} = 4\) minuti.
💡 Suggerimento 2
Per il punto b): \(P(X \leq 3) = F(3) = 1 - e^{-0{,}25 \times 3} = 1 - e^{-0{,}75}\).
Per il punto c): \(P(X > 6) = 1 - F(6) = e^{-0{,}25 \times 6} = e^{-1{,}5}\).
💡 Suggerimento 3
La proprietà di assenza di memoria dice:
\(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\).
Quindi \(P(X > 6 \mid X > 4) = P(X > 2) = e^{-0{,}25 \times 2} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\):
lo stesso risultato che si otterrebbe senza sapere che sono già trascorsi 4 minuti!
Soluzione quesito 7:
Sia \(X \sim \text{Exp}(0{,}25)\) il tempo di attesa tra due chiamate consecutive.
C'è circa il 22,31% di probabilità di dover aspettare più di 6 minuti.
d) Proprietà di assenza di memoria
Vogliamo calcolare \(P(X > 6 \mid X > 4)\), cioè la probabilità di dover aspettare
ancora più di 2 minuti sapendo che ne sono già trascorsi 4 senza chiamate.
Quesito 8 — Distribuzione esponenziale: problema applicativo
La vita utile (in anni) di un pannello solare è modellata da una variabile aleatoria
\(X \sim \text{Exp}(\lambda)\). Il produttore dichiara che la vita media di un pannello
è di 10 anni.
a) Determinare il parametro \(\lambda\) e scrivere la PDF di \(X\).
b) Calcolare la probabilità che un pannello duri almeno 15 anni.
c) Il produttore offre una garanzia di 5 anni. Calcolare la probabilità che un pannello
si guasti entro il periodo di garanzia.
d) Calcolare valor medio, varianza e deviazione standard di \(X\) e commentare
il risultato della deviazione standard in relazione alla media.
💡 Suggerimento 1
Per la distribuzione esponenziale il valor medio è \(E[X] = \dfrac{1}{\lambda}\).
Se la vita media è 10 anni, allora \(\lambda = \dfrac{1}{10} = 0{,}1\) anni\(^{-1}\).
La PDF è quindi \(f(x) = 0{,}1\, e^{-0{,}1\, x}\) per \(x \geq 0\).
💡 Suggerimento 2
Per il punto b): \(P(X \geq 15) = e^{-\lambda \times 15} = e^{-1{,}5}\).
Per il punto c): \(P(X \leq 5) = 1 - e^{-\lambda \times 5} = 1 - e^{-0{,}5}\).
Ricorda che \(e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\) e \(e^{-1{,}5} \approx 0{,}2231\).
💡 Suggerimento 3
Per la distribuzione esponenziale: \(\text{Var}(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}\) e
\(\sigma_X = \dfrac{1}{\lambda}\). Nota che \(\sigma_X = E[X] = 10\) anni:
nella distribuzione esponenziale la deviazione standard è sempre uguale alla media!
Soluzione quesito 8:
a) Parametro \(\lambda\) e PDF
Per la distribuzione esponenziale \(E[X] = \dfrac{1}{\lambda}\). Imponendo \(E[X] = 10\):
Si osserva che \(\sigma_X = E[X] = 10\) anni. Questo non è un caso: per qualsiasi
distribuzione esponenziale la deviazione standard è sempre uguale alla media,
indipendentemente dal valore di \(\lambda\). Ciò indica una dispersione molto
elevata rispetto alla media: la vita utile dei pannelli è molto variabile,
con molti pannelli che si guastano presto e pochi che durano molto a lungo.
