Compito in Classe di Matematica

Soluzione Esercizio 1

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a) Studio della funzione \( f(x) = (2x+1) \cdot e^x \)

1. Dominio: \( D = \mathbb{R} \) (la funzione è definita per ogni \( x \in \mathbb{R} \))

2. Intersezioni con gli assi:

• Asse \( y \) (ascissa nulla): \( f(0) = (2 \cdot 0 + 1) \cdot e^0 = 1 \cdot 1 = 1 \). Punto \( A(0, 1) \)
• Asse \( x \) (ordinata nulla): \( f(x) = 0 \Rightarrow (2x+1) \cdot e^x = 0 \). Poiché \( e^x > 0 \) per ogni \( x \), si ha \( 2x+1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \). Punto \( B\left(-\frac{1}{2}, 0\right) \)

3. Segno della funzione:

\( f(x) > 0 \) se \( 2x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2} \)

\( f(x) < 0 \) se \( x < -\frac{1}{2} \)

4. Limiti agli estremi del dominio:

• \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2x+1)e^x = +\infty \)
• \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} (2x+1)e^x = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{e^{-x}} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-e^{-x}} = 0^- \)

L'asse \( x \) è asintoto orizzontale per \( x \to -\infty \)

Asintoto obliquo per \( x \to +\infty \):

Calcoliamo il coefficiente angolare:

\( m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2x+1)e^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{x}\right)e^x = +\infty \)

Poiché il limite è infinito, non esiste asintoto obliquo per \( x \to +\infty \).

5. Derivata prima (monotonia):

\( f'(x) = 2 \cdot e^x + (2x+1) \cdot e^x = e^x(2 + 2x + 1) = e^x(2x + 3) \)

\( f'(x) = 0 \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \)

• \( f'(x) < 0 \) per \( x < -\frac{3}{2} \) → funzione decrescente
• \( f'(x) > 0 \) per \( x > -\frac{3}{2} \) → funzione crescente

In \( x = -\frac{3}{2} \) c'è un minimo relativo e assoluto:

\( f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 1\right) \cdot e^{-3/2} = -2 \cdot e^{-3/2} \approx -0,446 \)

6. Derivata seconda (concavità):

\( f''(x) = e^x(2x+3) + e^x \cdot 2 = e^x(2x + 5) \)

\( f''(x) = 0 \Rightarrow 2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2} \)

• \( f''(x) < 0 \) per \( x < -\frac{5}{2} \) → funzione concava verso il basso
• \( f''(x) > 0 \) per \( x > -\frac{5}{2} \) → funzione concava verso l'alto

In \( x = -\frac{5}{2} \) c'è un punto di flesso:

\( f\left(-\frac{5}{2}\right) = -4 \cdot e^{-5/2} \approx -0,328 \)

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b) Cilindro di superficie laterale massima

I punti richiesti sono: \( A(0, 1) \) (intersezione con asse \( y \), ascissa nulla) e \( B\left(-\frac{1}{2}, 0\right) \) (intersezione con asse \( x \), ordinata nulla).

Sia \( P(x, f(x)) \) un punto generico sull'arco \( AB \) con \( -\frac{1}{2} \le x \le 0 \).

Le proiezioni sono: \( R(x, 0) \) e \( S(0, f(x)) \)

Il rettangolo \( PROS \) ha dimensioni \( |OR| = |x| \) (base) e \( |OS| = f(x) \) (altezza).

Ruotando attorno all'asse \( x \), si genera un cilindro con:

• Raggio: \( r = f(x) = (2x+1)e^x \)
• Altezza: \( h = |x| = -x \) (perché \( x < 0 \))

Superficie laterale: \( S_L = 2\pi r h = 2\pi (2x+1)e^x \cdot (-x) = -2\pi x(2x+1)e^x \)

Dobbiamo massimizzare \( S(x) = -2\pi x(2x+1)e^x \) per \( x \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right] \).

Derivando:

\( S'(x) = -2\pi[(2x+1)e^x + x \cdot 2e^x + x(2x+1)e^x] = -2\pi e^x[(2x+1) + 2x + x(2x+1)] \)

\( S'(x) = -2\pi e^x[2x^2 + 5x + 1] \)

\( S'(x) = 0 \Rightarrow 2x^2 + 5x + 1 = 0 \)

\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25-8}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4} \)

Nell'intervallo \( \left[-\frac{1}{2}, 0\right] \) cade solo la soluzione:

\( x_0 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \approx -0,219 \)

Studiamo il segno di \( S'(x) = -2\pi e^x[2x^2 + 5x + 1] \):

Poiché \( -2\pi e^x < 0 \) per ogni \( x \), il segno di \( S'(x) \) dipende da \( -(2x^2 + 5x + 1) \).

• Per \( x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}\right) \): \( 2x^2 + 5x + 1 < 0 \) quindi \( S'(x) > 0 \) → \( S(x) \) crescente
• Per \( x \in \left(\frac{-5 + \sqrt{17}}{4}, 0\right] \): \( 2x^2 + 5x + 1 > 0 \) quindi \( S'(x) < 0 \) → \( S(x) \) decrescente

Quindi in \( x_0 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \) si ha un massimo.

Punto P: \( P\left(\frac{-5 + \sqrt{17}}{4}, f\left(\frac{-5 + \sqrt{17}}{4}\right)\right) \approx P(-0.219, 0.556) \)

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c) Differenziale e valore approssimato

Il differenziale di \( f \) in \( x_0 = 0 \) è:

\( df(0) = f'(0) \cdot dx \)

Calcoliamo \( f'(0) = e^0(2 \cdot 0 + 3) = 3 \)

Quindi: \( df(0) = 3 \cdot dx \)

Approssimazione lineare: \( f(x) \approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + 3x \)

Per \( x = 0.2 \):

\( f(0.2) \approx 1 + 3(0.2) = 1 + 0.6 = 1.6 \)

Valore esatto: \( f(0.2) = (2 \cdot 0.2 + 1)e^{0.2} = 1.4 \cdot e^{0.2} \approx 1.71 \)

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d) Traslazione che passa per l'origine

La traslazione è \( x = X \), \( y = Y + b \), quindi \( Y = y - b \).

La funzione diventa: \( Y = f(X) - b = (2X+1)e^X - b \)

Affinché il grafico passi per l'origine, deve essere \( f(0) - b = 0 \):

\( b = f(0) = 1 \)

Equazioni della traslazione:

\( \begin{cases} x = X \\ y = Y + 1 \end{cases} \)

La funzione traslata è: \( Y = (2X+1)e^X - 1 \)

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e) Grafico \( G \) e \( G' \)

Il grafico \( G \) di \( Y = f(X) = (2X+1)e^X - 1 \) nel sistema \( XOY \) è il grafico originale traslato di 1 verso il basso.

Per ottenere \( G' \) della funzione \( Y = -f(-X) \):

• Prima si riflette \( G \) rispetto all'asse \( Y \) (\( X \to -X \))
• Poi si riflette rispetto all'asse \( X \) (\( Y \to -Y \))

\( Y = -f(-X) = -[2(-X)+1]e^{-X} + 1 = -(1-2X)e^{-X} + 1 = (2X-1)e^{-X} + 1 \)

Il grafico \( G' \) è simmetrico a \( G \) rispetto all'origine \( O \).

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f) Interpretazione fisica e calcoli cinematici

Interpretiamo \( G': Y = s(t) = (2t-1)e^{-t} + 1 \) come legge oraria del moto.

Descrizione del moto per \( t \ge 0 \):

Analizziamo la funzione posizione \( s(t) = (2t-1)e^{-t} + 1 \):

• Posizione iniziale (\( t = 0 \)): \( s(0) = (0-1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0 \) m. Il punto parte dall'origine.
• Velocità: \( v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}[(2t-1)e^{-t} + 1] \). Applicando la regola del prodotto:
  \[ v(t) = 2e^{-t} + (2t-1)(-e^{-t}) = e^{-t}(2 - 2t + 1) = e^{-t}(3 - 2t) \]
• \( v(t) = 0 \) per \( t = \frac{3}{2} = 1.5 \) s
• Per \( 0 < t < 1.5 \): \( v(t) > 0 \) → il punto si muove nel verso positivo (si allontana dall'origine)
• Per \( t > 1.5 \): \( v(t) < 0 \) → il punto torna indietro (si avvicina all'origine)

Posizione massima raggiunta a \( t = 1.5 \) s:

\( s(1.5) = (3-1)e^{-1.5} + 1 = 2e^{-1.5} + 1 \approx 1.446 \) m

Descrizione completa del moto:

Il punto parte dall'origine (\( s = 0 \) m), si allontana muovendosi nel verso positivo fino a raggiungere la posizione massima \( s \approx 1.446 \) m all'istante \( t = 1.5 \) s. Successivamente inverte il moto e torna indietro, avvicinandosi asintoticamente alla posizione \( s = 1 \) m (poiché \( \lim_{t \to +\infty} s(t) = 1 \)) senza mai raggiungerla.

Velocità: \( v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}[(2t-1)e^{-t} + 1] \)

\( v(t) = 2e^{-t} + (2t-1)(-e^{-t}) = 2e^{-t} - (2t-1)e^{-t} = e^{-t}(2 - 2t + 1) = e^{-t}(3 - 2t) \)

A \( t = 1.5 \) s:

\( v(1.5) = e^{-1.5}(3 - 3) = 0 \) m/s

Accelerazione: \( a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}[e^{-t}(3-2t)] \)

\( a(t) = -e^{-t}(3-2t) + e^{-t}(-2) = -e^{-t}(3-2t+2) = -e^{-t}(5-2t) \)

A \( t = 1.5 \) s:

\( a(1.5) = -e^{-1.5}(5 - 3) = -2e^{-1.5} \approx -0.446 \) m/s²

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g) Area della regione S

La regione \( S \) è delimitata da \( y = f(x) = (2x+1)e^x \), asse \( x \) e asse \( y \), per \( -\frac{1}{2} \le x \le 0 \).

Area: \( A = \int_{-1/2}^{0} (2x+1)e^x \, dx \)

Integriamo per parti ponendo \( u = 2x+1 \), \( dv = e^x dx \):

\( du = 2dx \), \( v = e^x \)

\( \int (2x+1)e^x dx = (2x+1)e^x - \int 2e^x dx = (2x+1)e^x - 2e^x + C = e^x(2x-1) + C \)

\( A = \left[e^x(2x-1)\right]_{-1/2}^{0} = e^0(-1) - e^{-1/2}(-2) = -1 + 2e^{-1/2} = -1 + \frac{2}{\sqrt{e}} \approx 0.21 \) unità quadrate

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h) Volume del solido di rotazione attorno all'asse y

Ruotando \( S \) attorno all'asse \( y \), usiamo il metodo dei gusci cilindrici:

\( V = 2\pi \int_{-1/2}^{0} |x| \cdot f(x) \, dx = 2\pi \int_{-1/2}^{0} (-x)(2x+1)e^x \, dx \)

\( V = -2\pi \int_{-1/2}^{0} x(2x+1)e^x \, dx = -2\pi \int_{-1/2}^{0} (2x^2+x)e^x \, dx \)

Calcoliamo l'integrale \( \int (2x^2+x)e^x dx \) integrando per parti due volte.

Prima integrazione per parti:

Poniamo \( u = 2x^2 + x \), \( dv = e^x dx \)

\( du = (4x + 1)dx \), \( v = e^x \)

\( \int (2x^2+x)e^x dx = (2x^2+x)e^x - \int (4x+1)e^x dx \)

Seconda integrazione per parti:

Per \( \int (4x+1)e^x dx \), poniamo \( u = 4x+1 \), \( dv = e^x dx \)

\( du = 4dx \), \( v = e^x \)

\( \int (4x+1)e^x dx = (4x+1)e^x - \int 4e^x dx = (4x+1)e^x - 4e^x \)

Quindi:

\( \int (2x^2+x)e^x dx = (2x^2+x)e^x - [(4x+1)e^x - 4e^x] + C \)

\( = (2x^2+x)e^x - (4x+1)e^x + 4e^x + C \)

\( = e^x(2x^2 + x - 4x - 1 + 4) + C \)

\( = e^x(2x^2 - 3x + 3) + C \)

\( V = -2\pi \left[e^x(2x^2 - 3x + 3)\right]_{-1/2}^{0} \)

Sostituendo gli estremi di integrazione:

Calcolando il valore numerico:

\( V = 2\pi(5 \cdot 0.6065 - 3) \approx 2\pi(3.0325 - 3) \approx 2\pi(0.0325) \approx \mathbf{0.205} \) unità cubiche.

Soluzione Esercizio 2

a) Studio della funzione \( f(x) = x^2 e^{3x} \)

1. Dominio: \( \mathbb{R} \). La funzione è definita, continua e derivabile per ogni \( x \) reale.

2. Intersezioni e Segno: La funzione passa per l'origine \( O(0,0) \). Essendo il prodotto di un quadrato \( x^2 \ge 0 \) e di un esponenziale \( e^{3x} > 0 \), risulta \( f(x) \ge 0 \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \).

3. Limiti e Asintoti:

• \( \lim_{x \to +\infty} x^2 e^{3x} = +\infty \).
• Ricerca asintoto obliquo a \( +\infty \):
  \( m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} x e^{3x} = +\infty \).
  La funzione non ammette asintoto obliquo.
• \( \lim_{x \to -\infty} x^2 e^{3x} = 0 \) (per gerarchia degli infiniti). L'asse \( x \) (\( y=0 \)) è asintoto orizzontale per \( x \to -\infty \).

4. Derivata prima, monotonia e punti stazionari:
Calcoliamo la derivata prima applicando la regola del prodotto: \( f'(x) = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(3x^2 + 2x) = x e^{3x}(3x + 2) \).
Il segno di \( f'(x) \) dipende dai fattori \( x \) e \( (3x+2) \), poiché \( e^{3x} \) è sempre positivo:

• \( f'(x) > 0 \) per \( x < -2/3 \) oppure \( x > 0 \): la funzione è crescente.
• \( f'(x) < 0 \) per \( -2/3 < x < 0 \): la funzione è decrescente.
• In \( x = -2/3 \) abbiamo un massimo relativo: \( M\left(-2/3, \frac{4}{9e^2}\right) \approx (-0.67, 0.06) \).
• In \( x = 0 \) abbiamo un minimo relativo e assoluto: \( O(0,0) \).

5. Derivata seconda, concavità e flessi:
Calcoliamo la derivata seconda derivando \( f'(x) = e^{3x}(3x^2 + 2x) \):
\( f''(x) = 3e^{3x}(3x^2 + 2x) + e^{3x}(6x + 2) = e^{3x}(9x^2 + 6x + 6x + 2) = e^{3x}(9x^2 + 12x + 2) \).
Per trovare i punti di flesso risolviamo \( 9x^2 + 12x + 2 = 0 \) con la formula ridotta: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 18}}{9} = \frac{-6 \pm 3\sqrt{2}}{9} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{3} \] Le ascisse dei flessi sono \( x_1 \approx -1.14 \) e \( x_2 \approx -0.20 \). Analizzando il segno del trinomio di secondo grado:

• \( f''(x) > 0 \) per \( x < x_1 \) e \( x > x_2 \): concavità verso l'alto (\(\cup\)).
• \( f''(x) < 0 \) per \( x_1 < x < x_2 \): concavità verso il basso (\(\cap\)).
• I punti di flesso sono \( F_1(-1.14, 0.04) \) e \( F_2(-0.20, 0.02) \).

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b) Area della regione illimitata \( S \)

L'area è data dall'integrale improprio:

\[ Area(S) = \int_{-\infty}^{0} x^2 e^{3x} dx \]

Per calcolare la primitiva, utilizziamo il metodo di integrazione per parti:

\[ \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx \]

Prima integrazione per parti:
Poniamo \( f(x) = x^2 \) (fattore finito) e \( g'(x) = e^{3x} \) (fattore differenziale).
Allora \( f'(x) = 2x \) e \( g(x) = \frac{e^{3x}}{3} \). \[ \int x^2 e^{3x} dx = x^2 \frac{e^{3x}}{3} - \int 2x \frac{e^{3x}}{3} dx = \frac{x^2 e^{3x}}{3} - \frac{2}{3} \int x e^{3x} dx \]

Seconda integrazione per parti:
Applichiamo nuovamente il metodo all'integrale residuo \( \int x e^{3x} dx \).
Poniamo \( f(x) = x \) e \( g'(x) = e^{3x} \), da cui \( f'(x) = 1 \) e \( g(x) = \frac{e^{3x}}{3} \). \[ \int x e^{3x} dx = x \frac{e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3} dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} \]

Ricostruzione della primitiva finale \( F(x) \):
Sostituendo il risultato della seconda integrazione nella prima espressione: \[ F(x) = \frac{x^2 e^{3x}}{3} - \frac{2}{3} \left( \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} \right) = \frac{x^2 e^{3x}}{3} - \frac{2x e^{3x}}{9} + \frac{2e^{3x}}{27} \] Raccogliendo \( e^{3x} \): \[ F(x) = e^{3x} \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} \right) \]

Calcolo dell'Area:
Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e calcolando il limite per \( x \to -\infty \): \[ Area(S) = \left[ e^{3x} \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2x}{9} + \frac{2}{27} \right) \right]_{-\infty}^{0} \] Per \( x = 0 \), il valore della primitiva è: \( 1 \cdot \left( 0 - 0 + \frac{2}{27} \right) = \frac{2}{27} \).
Per \( x \to -\infty \), il limite equivale a quello del termine di grado massimo: \[ \lim_{x \to -\infty} e^{3x} \cdot \frac{x^2}{3} = 0^+ \] Tale risultato si ottiene per la gerarchia degli infiniti (come verificabile con la regola di de l'Hôpital), poiché l'esponenziale domina sulla potenza.

Quindi: \( Area(S) = \frac{2}{27} - 0 = \frac{2}{27} \).

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c) Volume del solido

L'area della sezione generica \( A(x) \) è data dal prodotto tra la base \( f(x) \) e l'altezza \( h(x) \):

\[ A(x) = f(x) \cdot h(x) = x^2 e^{3x} \cdot \frac{1}{x^2} = e^{3x} \]

Il volume è l'integrale dell'area delle sezioni nell'intervallo richiesto:

\[ V = \int_{-\infty}^{0} e^{3x} dx = \left[ \frac{e^{3x}}{3} \right]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \] unità cubiche.

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d) Deduzione del grafico qualitativo di \( g(x) = f'(x) \)

Per tracciare il grafico di \( g(x) = e^{3x}(3x^2 + 2x) \), analizziamo le informazioni ottenute dallo studio di \( f(x) \):

• Intersezioni con l'asse \( x \): Gli zeri di \( g(x) \) coincidono con le ascisse dei punti stazionari di \( f(x) \). Dunque, \( g(x) = 0 \) per \( x = -2/3 \) (massimo di \( f \)) e per \( x = 0 \) (minimo di \( f \)).
• Segno: \( g(x) > 0 \) dove \( f(x) \) è crescente (\( x < -2/3 \) e \( x > 0 \)).
  \( g(x) < 0 \) dove \( f(x) \) è decrescente (\( -2/3 < x < 0 \)).
• Punti stazionari di \( g(x) \): I massimi e i minimi della derivata si trovano dove la derivata seconda di \( f \) è nulla. Quindi \( g(x) \) ammette un massimo relativo in corrispondenza del flesso \( F_1 \approx -1,14 \) e un minimo relativo in corrispondenza del flesso \( F_2 \approx -0,20 \).
• Comportamento asintotico: Per \( x \to -\infty \), \( g(x) \) tende a \( 0 \) (asintoto orizzontale), mentre per \( x \to +\infty \), \( g(x) \) tende a \( +\infty \).