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Argomenti: Studio di funzione esponenziale, Geometria solida, Problema di massimo e minimo, Cilindro, Differenziale, Calcolo
approssimato con il differenziale, Trasformata di una curva, Traslazione, Simmetria rispetto all'origine, Grafico orario di un moto,
velocità e accelerazione di un punto con le derivate, Area con gli integrali, Integrale improprio, Volume solido rotazione,
Metodo gusci cilindrici, Area di una regione illimitata, Volume di un solido per sezioni, Grafico della derivata di una funzione,
Grafici deducibili, Punti angolosi.
Si consideri la funzione di equazione \( y = f(x) = (2x+1) \cdot e^x \).
a) Si studi la funzione e la si rappresenti graficamente.
b) Si indichino con \( A \) e \( B \) i punti di intersezione del suo grafico \( g \) di ascissa e ordinata nulla rispettivamente. Determinare un punto \( P \) dell'arco \( AB \) di \( g \) in modo che, dette \( R \) ed \( S \) le sue proiezioni ortogonali sugli assi \( x \) ed \( y \), il rettangolo \( PROS \) generi in una rotazione completa intorno all'asse \( x \) il cilindro di superficie laterale massima.
c) Si calcoli il differenziale di \( f(x) \) nel punto \( x_0 = 0 \) e lo si utilizzi per calcolare un valore approssimato di \( f(0.2) \).
d) Si scrivano le equazioni della traslazione \( x = X \), \( y = Y + b \) tale che il grafico \( G \) della funzione \( Y = f(X) \) così ottenuta passi per l'origine degli assi.
e) Tracciare il grafico \( G \) in un sistema di riferimento \( XOY \) e dedurre da esso il grafico \( G' \) della funzione \( Y = -f(-X) \).
f) Interpretando \( G' \) come il grafico orario di un punto che si muove su una retta (\( Y = s \) in metri, \( X = t \) in secondi) si descriva tale moto per \( t \ge 0 \) e si calcolino velocità e accelerazione del punto all'istante \( t = 1.5 \) secondi.
g) Si calcoli l'area della regione \( S \) delimitata dal grafico \( g \) di \( y = f(x) \) e dagli assi cartesiani.
h) Si calcoli il volume del solido generato da una rotazione completa della regione \( S \) intorno all'asse \( y \).
Si consideri la funzione di equazione: y uguale effe di x uguale, due x più uno, per e elevato alla x.
Punto a: Si studi la funzione e la si rappresenti graficamente.
Punto b: Si indichino con A e B i punti di intersezione del suo grafico g di ascissa e ordinata nulla rispettivamente. Determinare un punto P dell'arco A B di g in modo che, dette R ed S le sue proiezioni ortogonali sugli assi x ed y, il rettangolo P R O S generi in una rotazione completa intorno all'asse x il cilindro di superficie laterale massima.
Punto c: Si calcoli il differenziale di effe di x nel punto x zero uguale a zero e lo si utilizzi per calcolare un valore approssimato di effe di zero virgola due.
Punto d: Si scrivano le equazioni della traslazione x uguale X maiuscola, y uguale Y maiuscola più b tale che il grafico G maiuscola della funzione Y maiuscola uguale effe di X maiuscola così ottenuta passi per l'origine degli assi.
Punto e: Tracciare il grafico G in un sistema di riferimento X O Y e dedurre da esso il grafico G primo della funzione Y uguale meno effe di meno X.
Punto f: Interpretando G primo come il grafico orario di un punto che si muove su una retta, Y uguale s in metri, X uguale t in secondi, si descriva tale moto per t maggiore o uguale a zero e si calcolino velocità e accelerazione del punto all'istante t uguale uno virgola cinque secondi.
Punto g: Si calcoli l'area della regione S delimitata dal grafico g di y uguale effe di x e dagli assi cartesiani.
Punto h: Si calcoli il volume del solido generato da una rotazione completa della regione S intorno all'asse y.
Punto a) Studio della funzione \( f(x) = (2x+1) \cdot e^x \)
1. Dominio:
\( D = \mathbb{R} \) (la funzione è definita per ogni \( x \in \mathbb{R} \))
2. Intersezioni con gli assi:
Asse \( y \): Per \( x = 0 \): \( f(0) = (2 \cdot 0 + 1) \cdot e^0 = 1 \cdot 1 = 1 \).
Punto \( A(0, 1) \)
Asse \( x \): \( f(x) = 0 \Rightarrow (2x+1) \cdot e^x = 0 \). Poiché \( e^x > 0 \) per ogni \( x \), si ha \( 2x+1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \).
Punto \( B\left(-\frac{1}{2}, 0\right) \)
3. Segno della funzione:
\( f(x) > 0 \) se \( 2x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2} \)
Crescente per \( x > -\frac{3}{2} \), decrescente per \( x < -\frac{3}{2} \)
Grafico della funzione \( f(x) = (2x+1)e^x \) con punti notevoli evidenziati
Punto b) Cilindro di superficie laterale massima
I punti richiesti sono: \( A(0, 1) \) (intersezione con asse \( y \), ascissa nulla) e \( B\left(-\frac{1}{2}, 0\right) \) (intersezione con asse \( x \), ordinata nulla).
Consideriamo un punto generico \( P(x, y) \) sull'arco \( AB \) con \( -\frac{1}{2} \le x \le 0 \) e \( y = f(x) = (2x+1)e^x \).
Punto P di massima superficie laterale:
\[ P\left(\frac{-5 + \sqrt{17}}{4}, \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} e^{(-5+\sqrt{17})/4}\right) \]
Approssimativamente: \( P(-0.219, 0.597) \)
Punto c) Differenziale e approssimazione
Il differenziale di \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) è:
Per \( t = 0 \): \( s(0) = -1 \) m (posizione iniziale)
Per \( t \in (0, 1.5) \): \( v > 0 \), il punto si muove verso destra
Per \( t = 1.5 \): \( v = 0 \), inversione del moto (punto di massimo spostamento)
Per \( t > 1.5 \): \( v < 0 \), il punto torna indietro
Per \( t \to +\infty \): \( s(t) \to 0 \), il punto si muove verso l'origine avvicinandosi alla posizione \( s = 1 \) m (poiché \( \lim_{t \to +\infty} s(t) = 1 \)) senza mai raggiungerla.
Punto g) Area della regione \( S \)
La regione \( S \) è delimitata dal grafico di \( f(x) = (2x+1)e^x \), l'asse \( x \) (da \( x = -\frac{1}{2} \) a \( x = 0 \)) e l'asse \( y \) (da \( y = 0 \) a \( y = 1 \)).
Si consideri la seguente funzione: \( f(x) = x^2 e^{3x} \).
a) Si studi la funzione e la si rappresenti graficamente.
b) Si determini l'area della regione illimitata \( S \) compresa fra il grafico della funzione e l'asse delle \( x \) nell'intervallo \( (-\infty, 0] \).
c) Si calcoli il volume del solido avente per base \( S \) e le cui sezioni con un piano perpendicolare all'asse delle \( x \) sono rettangoli di altezza \( h(x) = \frac{1}{x^2} \).
d) Dedurre dal grafico di \( f(x) \) un grafico qualitativo della funzione derivata \( y = g(x) = f'(x) \).
Si consideri la seguente funzione: effe di x uguale a x al quadrato per e elevato alla tre x.
Punto a: Si studi la funzione e la si rappresenti graficamente.
Punto b: Si determini l'area della regione illimitata S compresa fra il grafico della funzione e l'asse delle x nell'intervallo da meno infinito a zero.
Punto c: Si calcoli il volume del solido avente per base S e le cui sezioni con un piano perpendicolare all'asse delle x sono rettangoli di altezza acca di x uguale a uno su x al quadrato.
Punto d: Dedurre dal grafico di effe di x un grafico qualitativo della funzione derivata y uguale gi di x uguale effe primo di x.
Punto a) Studio della funzione \( f(x) = x^2 e^{3x} \)
1. Dominio:
\( \mathbb{R} \). La funzione è definita, continua e derivabile per ogni \( x \) reale.
2. Intersezioni e Segno:
La funzione passa per l'origine \( O(0,0) \)
Essendo il prodotto di un quadrato \( x^2 \ge 0 \) e di un esponenziale \( e^{3x} > 0 \), risulta \( f(x) \ge 0 \) per ogni \( x \in \mathbb{R} \)
3. Limiti e Asintoti:
\[ \lim_{x \to +\infty} x^2 e^{3x} = +\infty \]
Ricerca Asintoto Obliquo per \( x \to +\infty \):
Verifichiamo se esiste una retta \( y = mx + q \):
Calcolo di \( m \):
\[ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 e^{3x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} x e^{3x} = +\infty \]
Poiché il coefficiente angolare \( m \) è infinito, la funzione non ammette asintoto obliquo a \( +\infty \).
Per \( t \to -\infty \):
Dobbiamo calcolare il limite:
\[ \lim_{t \to -\infty} e^{3t} \left( \frac{t^2}{3} - \frac{2t}{9} + \frac{2}{27} \right) \]
Poiché l'esponenziale \( e^{3t} \) tende a zero molto più velocemente di quanto le potenze di \( t \) tendano a infinito (gerarchia degli infiniti), il limite è:
\[ \lim_{t \to -\infty} \frac{t^2/3 - 2t/9 + 2/27}{e^{-3t}} = 0 \]
Rappresentazione delle sezioni rettangolari del solido
Fig. 1 - Visualizzazione 3D del solido: la curva blu rappresenta f(x), mentre le sezioni verdi mostrano l'andamento del volume.
Il volume del solido con base \( S \) e sezioni rettangolari di altezza \( h(x) = \frac{1}{x^2} \) è:
Attenzione: La funzione altezza \( h(x) = \frac{1}{x^2} \) non è definita in \( x = 0 \), ma poiché la base della sezione \( f(x) = x^2 e^{3x} \) si annulla in \( x = 0 \), l'area della sezione \( A(x) = f(x) \cdot h(x) = x^2 e^{3x} \cdot \frac{1}{x^2} = e^{3x} \) è comunque definita per \( x \neq 0 \).
Volume del solido: \( V = \frac{1}{3} \) unità cubiche
Punto d) Grafico della derivata \( g(x) = f'(x) \)
Dalla parte a) abbiamo trovato:
\[ f'(x) = xe^{3x}(3x + 2) \]
Analisi qualitativa del grafico di \( g(x) = f'(x) \):
Zeri: \( x = 0 \) e \( x = -\frac{2}{3} \)
Segno:
\( g(x) > 0 \) per \( x < -2/3 \) o \( x > 0 \)
\( g(x) < 0 \) per \( -2/3 < x < 0 \)
Comportamento agli estremi:
\( \lim_{x \to -\infty} g(x) = 0^+ \) (si avvicina all'asse x da sopra)
\( \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \)
Punti di massimo/minimo di \( g(x) \): Corrispondono ai flessi di \( f(x) \), cioè \( x \approx -1.14 \) e \( x \approx -0.20 \)
Il grafico di \( g(x) = f'(x) \) attraversa l'asse \( x \) in \( x = 0 \) e \( x = -2/3 \), presenta un massimo locale per \( x \approx -1.14 \)
e un minimo locale per \( x \approx -0.20 \), ed è sempre al di sopra dell'asse per \( x < -2/3 \) o \( x > 0 \).
In blu tratteggiato il grafico di \( f \), in rosso il grafico di \( f' \)
Esercizio 3
Si consideri la funzione di equazione:
\[ y = f(x) = \frac{2x^2+4x+5}{x^2+1} \]
a) Si studi dettagliatamente la funzione \( f(x) = \frac{2x^2+4x+5}{x^2+1} \) e la si rappresenti graficamente. Si indichi il numero dei flessi e si fornisca un valore approssimato a meno di un decimo del flesso di ascissa positiva, utilizzando il metodo di bisezione.
b) Si calcoli l'area della regione \( S \) delimitata dal grafico della funzione, dal suo asintoto orizzontale, dall'asse delle ordinate e dalla retta \( x=1 \). Di tale area si indichi il valore esatto e il valore approssimato a meno di un centesimo.
c) Dedurre dal grafico di \( f(x) \) il grafico di \( g(x) = \frac{2x^2+4|x|+5}{x^2+1} \).
d) Trovare gli eventuali punti di non derivabilità di \( g(x) \) e classificarli.
Si consideri la funzione di equazione: y uguale effe di x uguale, due x al quadrato più quattro x più cinque, diviso x al quadrato più uno.
Punto a: Si studi dettagliatamente la funzione effe di x e la si rappresenti graficamente. Si indichi il numero dei flessi e si fornisca un valore approssimato a meno di un decimo del flesso di ascissa positiva, utilizzando il metodo di bisezione.
Punto b: Si calcoli l'area della regione S delimitata dal grafico della funzione, dal suo asintoto orizzontale, dall'asse delle ordinate e dalla retta x uguale uno. Di tale area si indichi il valore esatto e il valore approssimato a meno di un centesimo.
Punto c: Dedurre dal grafico di effe di x il grafico di gi di x uguale, due x al quadrato più quattro valore assoluto di x più cinque, diviso x al quadrato più uno.
Punto d: Trovare gli eventuali punti di non derivabilità di gi di x e classificarli.
Punto a) Studio della funzione \( f(x) = \frac{2x^2+4x+5}{x^2+1} \)
1. Dominio:
Il denominatore \( x^2+1 \) non è mai nullo. Il dominio è \( \mathbb{R} \).
2. Intersezioni e Segno:
La funzione interseca l'asse \( y \) in \( (0, 5) \)
Non interseca l'asse \( x \) poiché \( 2x^2+4x+5=0 \) non ha radici reali (\( \Delta = 16 - 40 = -24 < 0 \))
Il segno della derivata seconda dipende dal numeratore \( P(x) = 4x^3 + 9x^2 - 12x - 3 \). Dallo studio della derivata prima (presenza di un minimo a \( x=-2 \) e un massimo a \( x=1/2 \)) e dal comportamento asintotico,
deduciamo l'esistenza di 3 punti di flesso: uno per \( x < -2 \), uno nell'intervallo \( (-2, 1) \) e uno per \( x > 1 \).
Determinazione numerica del flesso positivo:
Cerchiamo la radice positiva di \( P(x) = 4x^3 + 9x^2 - 12x - 3 = 0 \). Osserviamo che:
La funzione \( g(x) = \frac{2x^2+4|x|+5}{x^2+1} \) si ottiene da \( f(x) \) sostituendo \( x \) con \( |x| \).
Proprietà della trasformazione:
Per \( x \ge 0 \), \( g(x) = f(x) \). Il grafico coincide con quello di \( f(x) \) nel semipiano destro.
Essendo \( g(x) = g(-x) \), la funzione è pari. Il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.
La parte del grafico di \( f(x) \) relativa a \( x < 0 \) (che includeva il minimo in \( x = -2 \)) viene eliminata e sostituita dalla riflessione speculare della parte destra.
Trasformazione da f(x) (linea tratteggiata blu) a g(x) (linea continua verde). Si noti la simmetria assiale e la formazione del punto angoloso in x=0.
Punto d) Punti di non derivabilità
L'unico punto in cui la derivabilità può venire meno è \( x=0 \), a causa della presenza del valore assoluto.
Analizziamo il comportamento della derivata in un intorno dello zero:
Derivata destra (\( x \to 0^+ \)):
Corrisponde alla derivata di \( f(x) \) calcolata in \( 0 \):
Grafico della funzione \( f(x) = (2x+1)e^x \) con punti notevoli evidenziati
Il rettangolo PROS e il cilindro generato dalla rotazione attorno all'asse \( x \)
In blu il grafico \( G \) di \( Y = (2X+1)e^X - 1 \), in rosso il grafico \( G' \) di \( Y = (2X-1)e^{-X}+1 \)
