MaturitÓ ordinaria 1997-98

Tema di: MATEMATICA

 

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti quesiti e li risolva:

 

1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:

dove a, b sono parametri reali con a 0.

a) Determinare i valori di a per i quali queste curve hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e quelli per i quali non ammettono tali punti.

b) Calcolare i valori di a e b in modo che la curva g corrispondente abbia un massimo relativo uguale a 0 e sechi l’asse x nel punto di ascissa

.

c) Controllato che la curva g si ottiene per

,

disegnarne l’andamento.

d) Calcolare l’area della regione piana delimitata dalla curva g e dall’asse x.


2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), Ŕ assegnata la curva C’ di equazione:

.

a) Studiarla e disegnarne l’andamento, indicando con A e B i punti in cui la curva seca l’asse x (xA>xB).

b) Trovare l’equazione della circonferenza C’’ tangente a C’ in A e passante per B.

c) Disegnare C’’ sullo stesso piano di C’ dopo aver determinato il raggio e il centro di C’’ e inoltre le coordinate dell’ulteriore punto in cui C’’ seca C’.

d) Determinare l’angolo sotto cui C’ e C’’ si secano in B.

e) Calcolare le aree delle regioni in cui C’ divide il cerchio delimitato da C’’.


3. Un cateto di un triangolo rettangolo Ŕ lungo 2a, dove a Ŕ una lunghezza nota, e l’angolo acuto adiacente ad esso ha coseno uguale a

 .

a) Condotta per il vertice dell’angolo retto una retta t che non attraversa il triangolo e indicata con x la misura dell’angolo che questa retta forma col cateto maggiore, esprimere in funzione di x il volume V(x) del solido generato dal triangolo quando compie una rotazione completa intorno alla retta t.

b) Verificato che risulta:

con x appartenente ad un determinato intervallo, studiare la funzione V(x) nell’intervallo stabilito e disegnarne il grafico in un piano cartesiano.

c) Utilizzare il grafico disegnato per determinare x in modo che il volume del solido di rotazione descritto sopra sia kp a3, dove k Ŕ un parametro reale assegnato.

d) Completare la risoluzione dimostrando, col metodo preferito, che il volume V di un tronco di cono di raggi R ed r ed altezza h Ŕ espresso dalla seguente formula:

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SOLUZIONI

A breve le soluzioni !

QUESITO 1

QUESITO 2

QUESITO 3