A. S. 1998/99 - INDIRIZZO P.N.I.

BRS1 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Tema di: MATEMATICA

La prova consiste nello svolgimento di due soli quesiti, scelti tra quelli proposti.

  1. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy data la parabola g di equazione:

Siano A un punto dell’asse x di ascissa l , con l >0, B il suo simmetrico rispetto ad O, e A’ e B’ i punti della parabola le cui proiezioni ortogonali sull’asse x sono rispettivamente A e B.

Il candidato:

  1. verifichi che le tangenti a e b alla parabola g , rispettivamente in A’ e B’, s’incontrano in un punto E dell’asse y;
  2. detti C e D i rispettivi punti d'intersezione di a e b con l’asse x, esprima in funzione di l l’area s del triangolo CED;
  3. studi la funzione s(l ) e tracci, in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali O’l s, la curva C di equazione s = s(l );
  4. detto l 0 il valore di l per cui s assume valore minimo relativo, e detti a0 e b0 le posizioni di a e b per detto valore, calcoli l’area della regione finita del semipiano di equazione , compresa tra g , a0 e b0;
  5. osservato che, nell'ipotesi posta di l >1, esistono due valori l 1 e l 2, con l 1<l 2, per cui il triangolo CED equivalente al quadrato di lato OA, descriva una procedura che consenta di calcolare i valori approssimati di l 1 con un’approssimazione di 10-n e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.
  1. In un piano a assegnato il triangolo ABC, retto in B, i cui cateti AB e BC misurano rispettivamente 4 e 3.

Si conduca per il punto A la perpendicolare al piano a e sia V un punto di questa per cui VA=AB.

Il candidato:

  1. dimostri, geometricamente o algebricamente, che, come tutte le altre facce del tetraedro VABC, anche la faccia VBC un triangolo rettangolo, il cui angolo retto VC;
  2. calcoli il volume e la superficie totale del tetraedro;
  3. detto M il punto medio di VA e P un punto dello stesso segmento a distanza x da V, esprima in funzione di x il volume v del tetraedro MPQR, essendo Q ed R le rispettive intersezioni degli spigoli VB e VC con il piano b parallelo ad a e passante per P;
  4. studi come varia v al variare di P sul segmento VA, determinando in particolare la posizione di P in cui il volume v assume valore massimo assoluto;
  5. detto D il punto medio di VB ed E il punto di AC tale che AE=AB, determini la posizione P* di P che rende minima la somma DP+PE (si consiglia di far ruotare il triangolo VAB attorno ad AV fino a portarlo nel piano del triangolo VAE, simmetricamente a quest’ultimo, e considerare la somma D’P+PE, essendo D’ il corrispondente di D nella suddetta rotazione).
  1. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy sono dati i punti P(x,y), A(x’,y’), B(x",y"), P’(X,Y), legati dalle seguenti relazioni:

Il candidato:

  1. dica la natura delle trasformazioni Tl, T2, T3, rappresentate rispettivamente dalle predette equazioni;
  2. determini la trasformazione T che fa passare da P a P’;
  3. studi la trasformazione T enunciandone le propriet e determinandone, in particolare, gli eventuali elementi uniti;
  4. considerati i punti C(3,0), D(0,), E(0,-), e detti g la circonferenza per tali punti, a la retta CD, g ed a’ i trasformati di g ed a mediante T, determini l'area delle regioni finite di piano delimitate da g ed a’;
  5. determini il perimetro delle stesse regioni.

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Durata massima della prova: 6 ore.

consentito l’uso della calcolatrice scientifica non grafica.

Non consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.




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LE SOLUZIONI

A breve le soluzioni !

QUESITO 1

QUESITO 2

QUESITO 3