Argomenti: studio di funzione con parametro, parità e derivabilità, studio di funzione con valore assoluto, retta tangente, area con integrali.
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Dimostrare che:
Calcoliamo \(f_a(-x)\):
\[ f_a(-x) = \frac{e^{|-x|+a}}{|-x|+a} = \frac{e^{|x|+a}}{|x|+a} = f_a(x) \]Quindi la funzione è pari per ogni valore di \(a\).
La funzione è definita quando \(|x| + a \neq 0\). Poiché \(|x| \geq 0\), si ha \(|x| + a = 0\) solo se \(a \leq 0\) (in tal caso esiste un valore di \(x\) che annulla il denominatore). La funzione è quindi definita su tutto \(\mathbb{R}\) se e solo se \(a > 0\).
Scriviamo la funzione per casi:
\[ f_a(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{-x + a}}{-x + a} & \text{se } x < 0 \\[8pt] \dfrac{e^a}{a} & \text{se } x = 0 \\[8pt] \dfrac{e^{x + a}}{x + a} & \text{se } x > 0 \end{cases} \]Se \(a = 0\) non esiste \(f_a(0)\), quindi la funzione non può essere derivabile su tutto \(\mathbb{R}\). Se \(a < 0\) la funzione non è continua in \(x = a < 0\). Dunque deve essere \(a > 0\).
Per \(a > 0\), la funzione è derivabile per \(x \neq 0\). Calcoliamo i limiti della derivata in \(x = 0\):
\[ \lim_{x \to 0^-} f'_a(x) = \frac{-e^a \cdot a + e^a}{a^2} = -\frac{e^a(a-1)}{a^2} \] \[ \lim_{x \to 0^+} f'_a(x) = \frac{e^a \cdot a - e^a}{a^2} = \frac{e^a(a-1)}{a^2} \]Per la derivabilità in \(x = 0\) occorre che i due limiti siano uguali:
\[ -\frac{e^a(a-1)}{a^2} = \frac{e^a(a-1)}{a^2} \implies a - 1 = 0 \implies a = 1 \]Abbiamo quindi dimostrato che \(f_a\) è derivabile \(\forall x \in \mathbb{R}\) se e solo se \(a = 1\).
Poniamo d'ora in poi \(a = 1\). Studiare la funzione \[ f_1(x) = \frac{e^{|x| + 1}}{|x| + 1} \] e tracciare il suo grafico rappresentativo \(\Gamma\).
Il grafico della funzione \(f(|x|)\) si ottiene da quello di \(f(x)\) confermando la parte per \(x > 0\) e ribaltandola rispetto all'asse delle ordinate. Posto \(f(x) = \dfrac{e^{x+1}}{x+1}\), risulta \(f_1(x) = f(|x|)\). È quindi sufficiente studiare:
\[ y = g(x) = \frac{e^x}{x} \]ottenendo poi \(f(x) = \dfrac{e^{x+1}}{x+1}\) con una traslazione di vettore \((-1, 0)\).
Dominio: \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\).
Parità: calcoliamo \(g(-x)\): \[ g(-x) = \frac{e^{-x}}{-x} = -\frac{e^{-x}}{x} \] Poiché \(g(-x) \neq g(x)\) e \(g(-x) \neq -g(x)\), la funzione non è pari né dispari.
Intersezioni: non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani.
Segno: positiva per \(x > 0\), negativa per \(x < 0\).
Limiti:
Agli estremi del dominio:
\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x} = \left[\frac{0^+}{-\infty}\right] = 0^- \] \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \quad (e^x \text{ è infinito di ordine superiore rispetto a } x) \]In prossimità dell'asintoto verticale \(x = 0\):
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x}{x} = \left[\frac{1}{0^-}\right] = -\infty \] \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x} = \left[\frac{1}{0^+}\right] = +\infty \]Asintoti: asintoto verticale \(x = 0\); asintoto orizzontale \(y = 0\) per \(x \to -\infty\). Non ci sono asintoti obliqui per \(x \to +\infty\) poiché \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty\).
Derivata prima:
Applicando la regola del quoziente:
\[ g'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2} \]Poiché \(e^x > 0\) e \(x^2 > 0\) sempre, il segno di \(g'(x)\) dipende solo da \((x-1)\):
Quindi \(x = 1\) è un minimo relativo con \(g(1) = e\): il punto di minimo è \(m = (1,\, e)\).
Derivata seconda:
Deriviamo \(g'(x) = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}\) applicando la regola del quoziente con \(u = e^x(x-1)\) e \(v = x^2\):
\[ u' = e^x(x-1) + e^x = e^x \cdot x \] \[ g''(x) = \frac{e^x \cdot x \cdot x^2 - e^x(x-1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x x\left[x^2 - 2(x-1)\right]}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x + 2)}{x^3} \]Studiamo il segno: il discriminante di \(x^2 - 2x + 2\) è \(\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\), quindi \(x^2 - 2x + 2 > 0\) sempre. Pertanto il segno di \(g''(x)\) dipende solo da \(x^3\):
Non ci sono flessi (la derivata seconda non si annulla nel dominio).
Grafico di \(g(x) = \dfrac{e^x}{x}\)
Si ottiene traslando il grafico di \(g\) di \((-1, 0)\): taglia l'asse delle ordinate in \(y = e\), che è minimo relativo per \(x = 0\).
Grafico di \(f(x) = \dfrac{e^{x+1}}{x+1}\)
Si ottiene confermando la parte destra del grafico di \(f\) e ribaltandola a sinistra dell'asse delle ordinate.
Grafico \(\Gamma\) di \(f_1(x) = \dfrac{e^{|x|+1}}{|x|+1}\)
Determinare l'equazione della retta tangente al grafico \(\Gamma\) nel suo punto di ascissa \(1\).
Il punto richiesto ha coordinate \(P = \left(1,\, \dfrac{e^2}{2}\right)\).
Per \(x > 0\) è \(f_1(x) = \dfrac{e^{x+1}}{x+1}\), quindi:
\[ f'_1(x) = \frac{e^{x+1}(x+1) - e^{x+1}}{(x+1)^2} = \frac{x\, e^{x+1}}{(x+1)^2} \]Il coefficiente angolare della tangente in \(P\) è:
\[ m = f'_1(1) = \frac{e^2}{4} \]Equazione della tangente in \(P\):
\[ y - \frac{e^2}{2} = \frac{e^2}{4}(x - 1) \implies y = \frac{e^2}{4}x + \frac{e^2}{4} \]A partire dal grafico di \(\Gamma\), dedurre il grafico \(\Omega\) della curva di equazione \(g(x) = \dfrac{1}{f_1(x)}\). Determinare l'area della regione finita di piano delimitata da \(\Omega\), dall'asse delle ascisse e dalle rette \(x = -1\) e \(x = 1\).
Dominio: tutto \(\mathbb{R}\) (poiché \(f_1(x) > 0\) sempre).
Parità: essendo \(f_1(x)\) pari, anche \(g(x)\) è pari.
Intersezioni: \(g(0) = \dfrac{1}{f_1(0)} = \dfrac{1}{e}\). Non ci sono intersezioni con l'asse \(x\) (poiché \(g(x) > 0\) sempre).
Limiti:
\[ \lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{f_1(x)} = 0^+ \]Asintoto orizzontale \(y = 0\).
Monotonia: per \(x < 0\), \(f_1(x)\) è decrescente quindi \(g(x)\) è crescente; per \(x > 0\), \(f_1(x)\) è crescente quindi \(g(x)\) è decrescente. \(x = 0\) è massimo relativo di \(g\) con valore \(\dfrac{1}{e}\).
Flessi: calcoliamo \(g'(x)\) per \(x > 0\), dove \(g(x) = \dfrac{x+1}{e^{x+1}}\):
\[ g'(x) = \frac{1 \cdot e^{x+1} - (x+1) \cdot e^{x+1}}{(e^{x+1})^2} = \frac{e^{x+1}[1-(x+1)]}{e^{2x+2}} = \frac{-x}{e^{x+1}} \]Deriviamo ancora per ottenere \(g''(x)\):
\[ g''(x) = \frac{-1 \cdot e^{x+1} - (-x) \cdot e^{x+1}}{(e^{x+1})^2} = \frac{e^{x+1}(-1+x)}{e^{2x+2}} = \frac{x-1}{e^{x+1}} \]\(g''(x) = 0\) per \(x = 1\): cambio di concavità, quindi \(x = 1\) è un punto di flesso.
Per la parità di \(g(x)\), per simmetria rispetto all'asse delle ordinate c'è un altro flesso in \(x = -1\).
Grafico \(\Omega\) di \(g(x) = \dfrac{1}{f_1(x)}\)
Per la simmetria di \(\Omega\) rispetto all'asse delle ordinate, l'area richiesta è il doppio dell'area per \(x \in [0,1]\):
Regione di area \(\dfrac{4}{e} - \dfrac{6}{e^2}\) u²
Integriamo per parti con \(u = x+1\) e \(dv = e^{-(x+1)}dx\):
\[ \int (x+1)e^{-x-1}\,dx = -(x+1)e^{-x-1} + \int e^{-x-1}\,dx = -(x+1)e^{-x-1} - e^{-x-1} = -e^{-x-1}(x+2) + c \]Quindi:
\[ \text{Area} = 2\left[-e^{-x-1}(x+2)\right]_0^1 = 2\left(-3e^{-2} + 2e^{-1}\right) = \frac{4}{e} - \frac{6}{e^2} \approx 0{,}66 \text{ u}^2 \]