📖 Soluzioni: 0 / 4
🛟 Aiuti: 0 / 12
Matefilia Title Matefilia Logo Matefilia Logo

Compito in Classe di Matematica

Liceo Scientifico — Classe Quinta — 14 Marzo 2009

Versione accessibile con soluzioni dettagliate

💡 Per una visualizzazione ottimale dei grafici e delle formule, se stai usando lo smartphone disponilo orizzontalmente.
📊 Gli indicatori in alto a destra monitorano il tuo percorso: Soluzioni aperte e Aiuti contano quante volte hai consultato suggerimenti o soluzioni complete, mentre la Precisione studente, riportata in fondo alla pagina, si riduce ad ogni consultazione. Per un maggior beneficio didattico, consulta soluzioni e aiuti solo dopo aver tentato autonomamente ogni esercizio.

Argomenti: funzione cubica (determinazione dei coefficienti, studio, grafico), radice cubica di una funzione (continuità, non derivabilità, asintoto obliquo), limite con la regola di de L'Hôpital, funzione di quarto grado e parabola (intersezioni, aree, volumi con gusci cilindrici), ottimizzazione geometrica (cono di volume massimo da settore circolare).

📚 Versione Standard

Esercizio 1

Si consideri la funzione di equazione \( y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \).

a) Determinare i coefficienti \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) in modo che la funzione passi per l'origine O degli assi cartesiani, per \(A = (1;\, 0)\) e abbia un punto di minimo relativo in \(B = \left(\dfrac{1}{3};\, -\dfrac{4}{27}\right)\).

b) Studiare la funzione così ottenuta e rappresentarla graficamente.

c) Considerata la funzione \(g(x) = \sqrt[3]{f(x)}\), dimostrare che essa è continua in \(x = 0\) ma non derivabile. Classificare il tipo di non derivabilità.

d) Determinare l'equazione dell'asintoto obliquo della funzione \(g(x)\).

Esercizio 1. Si consideri la funzione cubica ipsilon uguale a f di x uguale a a x cubo più b x quadro più c x più d. Punto a: determinare i coefficienti a, b, c, d in modo che la funzione passi per l'origine, per il punto A di coordinate 1 e 0, e abbia un minimo relativo in B di coordinate 1 terzo e meno 4 ventisettesimi. Punto b: studiare la funzione e rappresentarla graficamente. Punto c: data g di x uguale alla radice cubica di f di x, dimostrare che è continua in x uguale 0 ma non derivabile, e classificare il tipo di non derivabilità. Punto d: determinare l'asintoto obliquo di g di x.

a) Determinazione dei coefficienti \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)

Imponiamo le quattro condizioni richieste.

Condizione 1 — Passaggio per l'origine \(O = (0;\, 0)\)

\[ f(0) = d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 0 \]

Condizione 2 — Passaggio per \(A = (1;\, 0)\)

\[ f(1) = a + b + c = 0 \tag{I} \]

Condizione 3 — Punto stazionario in \(B\)

Calcoliamo \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \) e imponiamo \( f'\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = 0 \):

\[ \frac{a}{3} + \frac{2b}{3} + c = 0 \quad \Rightarrow \quad a + 2b + 3c = 0 \tag{II} \]

Condizione 4 — Passaggio per \(B = \left(\dfrac{1}{3};\, -\dfrac{4}{27}\right)\)

\[ \frac{a}{27} + \frac{b}{9} + \frac{c}{3} = -\frac{4}{27} \quad \Rightarrow \quad a + 3b + 9c = -4 \tag{III} \]

Risoluzione del sistema

Sottraiamo (I) da (II): \( b + 2c = 0 \)  (IV).   Sottraiamo (II) da (III): \( b + 6c = -4 \)  (V).

Da (V) − (IV): \( 4c = -4 \Rightarrow c = -1 \). Poi \( b = 2 \), \( a = -1 \).

\[ \boxed{a = -1, \quad b = 2, \quad c = -1, \quad d = 0} \] \[ f(x) = -x^3 + 2x^2 - x = -x(x-1)^2 \]

Verifica minimo: \( f''\!\left(\frac{1}{3}\right) = -6\cdot\frac{1}{3}+4 = 2 > 0 \) ✓

b) Studio della funzione \(f(x) = -x(x-1)^2\)

Dominio e intersezioni

Dominio: \(\mathbb{R}\).   Zeri: \( x = 0 \) e \( x = 1 \).

Segno

Poiché \((x-1)^2 \geq 0\) sempre, il segno dipende da \(-x\):

  • \(f(x) > 0\) per \(x < 0\);
  • \(f(x) < 0\) per \(x > 0\) (con \(x \neq 1\)).

Derivata prima e monotonia

\[ f'(x) = -3x^2 + 4x - 1 = -(3x-1)(x-1) \]
  • per \(x < \frac{1}{3}\): \(f'(x) < 0\) → decrescente;
  • per \(\frac{1}{3} < x < 1\): \(f'(x) > 0\) → crescente;
  • per \(x > 1\): \(f'(x) < 0\) → decrescente.
Minimo relativo in \(x = \frac{1}{3}\):   \(f\!\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{27}\)
Massimo relativo in \(x = 1\):   \(f(1) = 0\)

Derivata seconda e concavità

\[ f''(x) = -6x + 4 \] \[ f''(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3} \]
  • per \(x < \dfrac{2}{3}\): \(f''(x) > 0\) → concavità verso l'alto;
  • per \(x > \dfrac{2}{3}\): \(f''(x) < 0\) → concavità verso il basso.

Punto di flesso in \(x = \dfrac{2}{3}\):

\[ f\!\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{8}{27} + 2 \cdot \frac{4}{9} - \frac{2}{3} = -\frac{8}{27} + \frac{24}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{2}{27} \]
Flesso in \(\left(\dfrac{2}{3};\, -\dfrac{2}{27}\right)\)

Comportamento agli infiniti

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \]

Non vi sono asintoti (funzione polinomiale).

Grafico

Grafico di f(x) = -x(x-1)² Grafico di \(f(x) = -x(x-1)^2\)

c) Continuità e non derivabilità di \(g(x) = \sqrt[3]{f(x)}\) in \(x = 0\)

Continuità

\[ \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \sqrt[3]{-x(x-1)^2} = \sqrt[3]{0} = 0 = g(0) \]
✅ \(g\) è continua in \(x = 0\).

Calcolo di \(g'(x)\) per \(x \neq 0\)

\[ g'(x) = \frac{f'(x)}{3\sqrt[3]{f(x)^2}} = \frac{-(3x-1)(x-1)}{3\sqrt[3]{\left[-x(x-1)^2\right]^2}} \]

Limiti laterali della derivata in \(x = 0\)

Per \(x \to 0\):   \(f'(x) \to -1\)   e   \(f(x) \to 0^\pm\), quindi \(3\sqrt[3]{f(x)^2} \to 0^+\).

\[ \lim_{x \to 0^+} g'(x) = \frac{-1}{0^+} = -\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} g'(x) = \frac{-1}{0^+} = -\infty \]
Entrambi i limiti valgono \(-\infty\) e coincidono:
✅ \(x = 0\) è un flesso a tangente verticale.

d) Asintoto obliquo di \(g(x) = \sqrt[3]{-x^3 + 2x^2 - x}\)

Calcolo di \(m\)

\[ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \sqrt[3]{-1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}} = \sqrt[3]{-1} = -1 \]

Calcolo di \(q\)

Raccogliamo \(-x^3\) sotto la radice:

\[ g(x) = -x\sqrt[3]{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} \]
\[ q = \lim_{x \to \pm\infty} x\left[1 - \sqrt[3]{1 + \alpha}\right] \quad \text{con } \alpha = -\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} \to 0 \]

Applichiamo il limite notevole \(\dfrac{(1+\alpha)^{1/3}-1}{\alpha} \to \dfrac{1}{3}\):

\[ q = \lim_{x \to \pm\infty} x \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)(-2) = \frac{2}{3} \]
\[ \boxed{y = -x + \frac{2}{3}} \]

Grafico qualitativo di \(g\)

In rosso la curva con il flesso a tangente verticale nell'origine \(O\); in verde tratteggiato l'asintoto obliquo \(y = -x + \dfrac{2}{3}\).

Grafico di g(x) = radice cubica di f(x) con asintoto obliquo Grafico qualitativo di \(g(x) = \sqrt[3]{f(x)}\).

Esercizio 2

Calcolare il seguente limite utilizzando la regola di de L'Hôpital, verificandone l'applicabilità:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2009}}{2009^x} \]
Esercizio 2. Calcolare il seguente limite utilizzando la regola di de L'Hôpital, verificandone l'applicabilità: limite per x che tende a più infinito di x elevato a 2009 fratto 2009 elevato a x.

Verifica dell'applicabilità di de L'Hôpital

Verifichiamo le 3 ipotesi per la forma \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\):

  1. \(f(x) = x^{2009}\) e \(g(x) = 2009^x\) sono derivabili su \((M, +\infty)\);
  2. Per \(x \to +\infty\): \(f(x) \to +\infty\) e \(g(x) \to +\infty\) → forma \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\);
  3. \(g'(x) = 2009^x \ln 2009 \neq 0\) per ogni \(x\).
✅ La regola di de L'Hôpital è applicabile.

Applicazione della regola

Osserviamo che la \(k\)-esima derivata è:

\[ \frac{d^k}{dx^k} x^{2009} = 2009 \cdot 2008 \cdots (2009-k+1)\, x^{2009-k}\] \[\frac{d^k}{dx^k} 2009^x = 2009^x (\ln 2009)^k \]

Ad ogni applicazione la forma rimane \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\). Dopo 2009 applicazioni il numeratore diventa una costante:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2009}}{2009^x} \overset{\mathcal{H}^{2009}}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{2009!}{2009^x (\ln 2009)^{2009}} = 0 \]
\[ \boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2009}}{2009^x} = 0} \]

Soluzione alternativa (de L'Hôpital una sola volta)

Riscriviamo il limite osservando che:

\[ \frac{x^{2009}}{2009^x} = \left(\frac{x}{2009^{x/2009}}\right)^{2009} \]

Poiché la funzione \(t \mapsto t^{2009}\) è continua, possiamo portare il limite all'interno della potenza:

\[ \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{2009^{x/2009}}\right)^{2009} = \left(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2009^{x/2009}}\right)^{2009} \]

Poniamo \(a = 2009^{1/2009} > 1\): la forma è \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\), quindi applichiamo de L'Hôpital una sola volta:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{a^x} \overset{\mathcal{H}}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{a^x \ln a} = 0 \]

Quindi:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2009}}{2009^x} = \left(0\right)^{2009} = \boxed{0} \]

Il vantaggio di questo approccio è che de L'Hôpital viene applicato una volta sola.

💡 Osservazione didattica

Questo limite esprime un fatto fondamentale dell'analisi: qualunque potenza di \(x\) cresce molto più lentamente di qualunque esponenziale \(a^x\) con \(a > 1\). In simboli: per ogni \(\alpha \in \mathbb{R}\) con \(\alpha > 0\) e ogni \(a > 1\), \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha}{a^x} = 0 \] La dimostrazione ricalca quella della soluzione alternativa: si scrive \(\dfrac{x^\alpha}{a^x} = \left(\dfrac{x}{a^{x/\alpha}}\right)^\alpha\), si porta il limite all'interno della potenza (per continuità di \(t \mapsto t^\alpha\)) e si applica de L'Hôpital una sola volta alla base, che è della forma \(\dfrac{x}{b^x}\) con \(b = a^{1/\alpha} > 1\).

Esercizio 3

a) Si studi e si rappresenti graficamente la funzione \(f(x) = x^4 - 4x^3\).

b) Sia \(y = g(x)\) l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate, vertice nel punto \(F = (2;\, -16)\) e passante per l'origine. Trovare l'equazione della parabola.

c) I grafici di \(f\) e \(g\) si incontrano in quattro punti \(O\), \(A\), \(B\) ed \(F\). Dopo aver trovato le coordinate di tali punti, calcolare l'area delle due regioni piane situate nel quarto quadrante e delimitate dai grafici di \(f\) e \(g\).

d) Detta \(\mathcal{R}\) la regione del secondo quadrante delimitata dai grafici di \(f\) e \(g\), calcolare il volume del solido \(S\) generato dalla rotazione completa di \(\mathcal{R}\) attorno all'asse delle ordinate.

Esercizio 3. Punto a: studia e rappresenta graficamente f di x uguale x alla quarta meno 4 x cubo. Punto b: trova l'equazione della parabola con asse verticale, vertice in F di coordinate 2 e meno 16, passante per l'origine. Punto c: i grafici di f e g si incontrano in quattro punti O, A, B ed F: trovane le coordinate e calcola le aree delle due regioni nel quarto quadrante delimitate dai grafici di f e g. Punto d: detta R la regione del secondo quadrante delimitata dai grafici di f e g, ccola il volume del solido ottenuto ruotando tale regione attorno all'asse delle ordinate.

a) Studio completo di \(f(x) = x^4 - 4x^3\)

Dominio, intersezioni e segno

Dominio: \(\mathbb{R}\).   \(f(x) = x^3(x-4) = 0\) per \(x = 0\) (molt. 3) e \(x = 4\).

  • \(f(x) < 0\) per \(0 < x < 4\);   \(f(x) > 0\) per \(x < 0\) e \(x > 4\).

Limiti agli estremi:

\[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty \]

Asintoti: nessuno (funzione polinomiale).

Limiti agli estremi

\[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty \]

Asintoti

Nessuno (funzione polinomiale).

Derivata prima e monotonia

\[ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3) \]
\(x\)\(-\infty\)03\(+\infty\)
\(f'(x)\)−0−+

In \(x = 0\): \(f'(0) = 0\) ma non cambia segno → flesso a tangente orizzontale.

Minimo assoluto in \(x = 3\):   \(f(3) = 81 - 108 = -27\)

Derivata seconda e concavità

\[ f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2) \]
\(x\)\(-\infty\)02\(+\infty\)
\(f''(x)\)+0−+
Flessi in \((0,\, 0)\) e in \((2,\, -16)\)
Grafico di f(x) = x^4 - 4x^3 Grafico di \(f(x) = x^4 - 4x^3\): minimo in \((3,-27)\), flessi in \((0,0)\) e \((2,-16)\).

b) Equazione della parabola \(g(x)\)

Vertice \(F = (2,-16)\), asse verticale → equazione della forma \(y - y_V = a(x - x_V)^2\):

\[ y + 16 = a(x-2)^2 \]

Imponiamo il passaggio per l'origine \(O=(0,0)\):

\[ 0 + 16 = a(0-2)^2 = 4a \quad \Rightarrow \quad a = 4 \]
\[ \boxed{g(x) = 4x^2 - 16x} \] Verifica: \(g(0) = 0\) ✓   e   \(g(2) = 16 - 32 = -16\) ✓

c) Punti di intersezione e aree nel quarto quadrante

Punti di intersezione

\[ x^4 - 4x^3 = 4x^2 - 16x \quad \Rightarrow \quad x(x^3 - 4x^2 - 4x + 16) = 0 \]

Fattorizziamo il cubico: \( x^2(x-4) - 4(x-4) = (x^2-4)(x-4) = (x-2)(x+2)(x-4) \)

\( x = 0,\; x = -2,\; x = 2,\; x = 4 \)
\( O = (0,0) \) — \( B = (-2, 48) \) (II quad.) — \( F = (2, -16) \) (IV quad.) — \( A = (4, 0) \)
Grafici di f e g con le regioni R1 e R2 Le regioni \(\mathcal{R}_1\) e \(\mathcal{R}_2\) nel quarto quadrante.

Area di \(\mathcal{R}_1\) (tra \(O\) e \(F\), \(x \in [0,2]\))

Per \(x \in (0,2)\): \(f(x) > g(x)\).

\[ \text{Area}(\mathcal{R}_1) = \int_{0}^{2} \bigl(x^4 - 4x^3 - 4x^2 + 16x\bigr)\,dx = \] \[=\left[\frac{x^5}{5} - x^4 - \frac{4x^3}{3} + 8x^2\right]_{0}^{2} \] \[ = \frac{32}{5} - 16 - \frac{32}{3} + 32 = \frac{96 - 160 + 240}{15} \]
\[ \boxed{\text{Area}(\mathcal{R}_1) = \frac{176}{15}} \]

Area di \(\mathcal{R}_2\) (tra \(F\) e \(A\), \(x \in [2,4]\))

Per \(x \in (2,4)\): \(g(x) > f(x)\).

\[ \text{Area}(\mathcal{R}_2) = \int_{2}^{4} \bigl(-x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 16x\bigr)\,dx = \] \[=\left[-\frac{x^5}{5} + x^4 + \frac{4x^3}{3} - 8x^2\right]_{2}^{4} \]

In \(x=4\): \(-\frac{1024}{5} + 256 + \frac{256}{3} - 128 = \frac{128}{15}\).

In \(x=2\): \(-\frac{32}{5} + 16 + \frac{32}{3} - 32 = -\frac{176}{15}\).

\[ \boxed{\text{Area}(\mathcal{R}_2) = \frac{128}{15} + \frac{176}{15} = \frac{304}{15}} \]

d) Volume del solido \(S\) — metodo dei gusci cilindrici

La regione \(\mathcal{R}\) del secondo quadrante è per \(x \in [-2,\,0]\), dove \(g(x) > f(x)\).

Regione R del secondo quadrante La regione \(\mathcal{R}\) del secondo quadrante.
📘 Il metodo dei gusci cilindrici

Quando si ruota una regione piana attorno all'asse delle ordinate, conviene usare il metodo dei gusci cilindrici. Si immagina di suddividere la regione in tante strisce verticali di larghezza \(dx\), ciascuna a distanza \(|x|\) dall'asse \(y\). Ruotando attorno all'asse \(y\), ogni striscia genera un guscio cilindrico (come un foglio arrotolato) di:
  • raggio \(= |x|\);
  • altezza \(= g(x) - f(x)\) (estensione verticale della striscia);
  • spessore \(= dx\).
Il volume di ciascun guscio è \(2\pi \cdot |x| \cdot (g(x) - f(x))\,dx\), e il volume totale si ottiene integrando:
\[ V = 2\pi \int_{-2}^{0} |x|\,\bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx \]
Poiché \(x \in [-2,\,0]\), si ha \(|x| = -x\), quindi:
\[ V = 2\pi \int_{-2}^{0} (-x)\,\bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx \]
\[ g(x)-f(x) = -x^4+4x^3+4x^2-16x \] \[ (-x)(-x^4+4x^3+4x^2-16x) = x^5-4x^4-4x^3+16x^2 \]
\[ V = 2\pi \left[\frac{x^6}{6} - \frac{4x^5}{5} - x^4 + \frac{16x^3}{3}\right]_{-2}^{0} \]

In \(x=-2\):   \(\frac{32}{3} + \frac{128}{5} - 16 - \frac{128}{3} = -32 + \frac{128}{5} - 16 = -\frac{112}{5}\)

\[ V = 2\pi\left[0 - \left(-\frac{112}{5}\right)\right] = \frac{224\pi}{5} \]
\[ \boxed{V = \frac{224\pi}{5}} \]
📘 Approfondimento

Il metodo dei gusci cilindrici è spiegato in modo completo (con teoria, esempi e applicazioni) nel seguente materiale di approfondimento di Matefilia:

👉 Metodo dei gusci cilindrici (PDF)

In generale, se la regione che ruota attorno all'asse \(y\) è compresa tra i grafici di \(f(x)\) e \(g(x)\) con \(g(x) \geq f(x)\) su \([a,b]\), il volume del solido di rotazione si calcola come:
\[ V = 2\pi \int_a^b |x| \cdot \bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx \]

Esercizio 4

I raggi \(OA\) e \(OB\) tagliano il cerchio di centro \(O\) e raggio \(1\) metro in due settori circolari, ciascuno dei quali costituisce lo sviluppo della superficie laterale di un cono circolare retto.

Si chiede di determinare:

a) Il settore circolare (arco, ampiezza e rapporto percentuale con il cerchio) al quale corrisponde il cono \(C\) di volume massimo.

b) Il volume \(V\) massimo e la sua capacità in litri.

Esercizio 4. I raggi OA e OB tagliano il cerchio di centro O e raggio 1 metro in due settori circolari, ciascuno dei quali costituisce lo sviluppo della superficie laterale di un cono circolare retto. Punto a: determinare il settore circolare al quale corrisponde il cono C di volume massimo, indicando arco, ampiezza e rapporto percentuale con il cerchio. Punto b: calcolare il volume massimo e la sua capacità in litri.

a) Settore circolare del cono di volume massimo

Impostazione

Chiamiamo \(x\) la lunghezza dell'arco del settore, con \(0 < x < 2\pi\). L'apotema \(l=1\) è l'ipotenusa del cono.

Cerchio e settore circolare con arco x Cerchio e settore circolare con arco \(x\).
Cono di apotema 1 Cono di apotema \(1\) e circonferenza di base \(x\).

Raggio e altezza del cono

\[ 2\pi r = x \quad \Rightarrow \quad r = \frac{x}{2\pi} \qquad h = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4\pi^2}} \]

Volume del cono

\[ V(x) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{24\pi} \cdot x^2 \cdot \sqrt{4\pi^2 - x^2} \]

Massimizzazione per via elementare

Massimizzare \(V(x)\) equivale a massimizzare \(z = x^4(4\pi^2 - x^2) = a^2 \cdot b^1\) con \(a = x^2\), \(b = 4\pi^2 - x^2\), \(a + b = 4\pi^2 = \text{cost.}\)

💡 Proprietà: se \(a + b = \text{cost.}\), allora \(a^m \cdot b^n\) è massimo quando \(\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n}\).
\[ \frac{x^2}{2} = \frac{4\pi^2 - x^2}{1} \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = 8\pi^2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3} \approx 5.130 \ \text{m} \]

Metodo alternativo con le derivate

\[ z'(x) = 2x^3(8\pi^2 - 3x^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3} \]

Per \(x < \frac{2\pi\sqrt{6}}{3}\): \(z' > 0\) → crescente.   Per \(x > \frac{2\pi\sqrt{6}}{3}\): \(z' < 0\) → decrescente.

Quindi \(z\) ha un massimo assoluto in \(x = \dfrac{2\pi\sqrt{6}}{3}\), che coincide con il valore trovato per via elementare. ✓

Arco, ampiezza e rapporto percentuale

L'arco del settore corrispondente al cono di volume massimo è:

\[ x = \frac{2\pi\sqrt{6}}{3} \approx 5.130 \ \text{m} \]

Poiché l'apotema è \(l = 1\), l'ampiezza in radianti dell'angolo al centro coincide con la lunghezza dell'arco:

\[ \beta = x \approx 5.130 \ \text{rad} \approx 293.9° \]

Il rapporto percentuale con il cerchio completo (arco \(2\pi\)) è:

\[ \frac{x}{2\pi} \times 100 = \frac{\sqrt{6}}{3} \times 100 \approx 81.6\% \]
L'arco è \(\approx 5.130\) m, l'ampiezza \(\approx 293.9°\), il settore occupa circa l'81.6% del cerchio.

b) Volume massimo e capacità in litri

Sostituiamo \(x^2 = \dfrac{8\pi^2}{3}\):

\[ r^2 = \frac{x^2}{4\pi^2} = \frac{2}{3} \qquad h = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
\[ V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{9\sqrt{3}} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{27} \]
\[ V \approx \frac{2 \times 3.1416 \times 1.7321}{27} \approx 0.403 \ \text{m}^3 \]

Poiché \(1 \ \text{m}^3 = 1000 \ \text{litri}\):

\[ \boxed{V = \frac{2\pi\sqrt{3}}{27} \approx 0.403 \ \text{m}^3 = 403 \ \text{litri}} \]

Hai usato aiuti in 0 / 4 esercizi.

🎯 Precisione studente:
100%
← Archivio Compiti Versione Standard →
🖨️ Stampa con soluzioni Valida questo HTML5