Citazione di Platone. La bellezza è mescolare, in giuste proporzioni, il finito e l'infinito.
Testo del problema. I grafici gamma uno e gamma due rappresentano, rispettivamente, le funzioni effe e gi,
definite sull'insieme dei numeri reali. Le loro espressioni analitiche sono:
effe di iics uguale a pi di iics per e elevato alla pi di iics;
gi di iics uguale a qu di iics per e elevato alla pi di iics.
Con pi di iics e qu di iics polinomi di secondo grado.
«La bellezza è mescolare, in giuste proporzioni, il finito e l'infinito» - attribuita a Platone
I grafici \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) rappresentano le funzioni \(f\) e \(g\)
I grafici \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) rappresentano, rispettivamente, le funzioni \(f\) e \(g\), definite su \(\mathbb{R}\), le cui espressioni analitiche sono \(f(x) = p(x) \cdot e^{p(x)}\), \(g(x) = q(x) \cdot e^{p(x)}\) con \(p(x)\) e \(q(x)\) polinomi di secondo grado.
Punto a)
Determinare i polinomi \(p(x)\) e \(q(x)\) utilizzando le informazioni deducibili dai grafici in figura,
considerando che \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) è ascissa di un punto stazionario di \(f\) e che \(-\varphi\), ascissa del punto \(A\), è uno zero di \(g\).
Punto a: Determinare i polinomi p di x e q di x utilizzando le informazioni deducibili dai
grafici in figura, considerando che fi uguale uno più radice di cinque fratto due
è ascissa di un punto stazionario di effe e che meno fi, ascissa del punto A, è uno zero di g.
Derivate delle funzioni
Calcoliamo le derivate delle due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\).
Data \(f(x) = p(x) \cdot e^{p(x)}\), la sua derivata prima è:
Poniamo i polinomi \(p(x)\) e \(q(x)\) nella loro forma generale di secondo grado:
\[ p(x) = ax^2 + bx + c \]
\[ q(x) = a'x^2 + b'x + c' \]
Le loro derivate prime saranno:
\[ p'(x) = 2ax + b \]
\[ q'(x) = 2a'x + b' \]
Determinazione del polinomio \(p(x)\) e della funzione \(f(x)\)
Il grafico \(\gamma_1\) passa per l'origine \((0, 0)\) e per il punto \((1, 0)\).
Considerando le funzioni \(f(x) = p(x) \cdot e^{p(x)}\) e \(g(x) = q(x) \cdot e^{p(x)}\) e il fatto che \(e^{p(x)}\) è sempre diverso da zero, gli zeri delle funzioni dipendono unicamente dagli zeri dei polinomi \(p(x)\) e \(q(x)\).
Poiché \(\gamma_1\) si annulla in \(x=0\) e \(x=1\), uno dei due polinomi (\(p(x)\) o \(q(x)\)) deve avere questi due zeri e quindi essere del tipo \(k x(x-1)\).
Siccome il grafico di \(g\) si annulla per \(x=-\varphi\), il polinomio associato all'equazione di \(g\) deve essere del tipo \(h(x+\varphi)(x-x_B)\), quindi è \(p(x)\) a dover essere del tipo \(k x(x-1)\).
Pertanto, \(f(x)\) ha equazione del tipo:
\[ f(x)=kx(x-1) \cdot e^{kx(x-1)} \]
Ricerca del valore di \(k\)
Ci viene detto che \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) è ascissa di un punto stazionario di \(f\). Questo significa \(f'(\varphi) = 0\).
Calcoliamo \(f'(x)\) con \(p(x) = k(x^2 - x)\) e \(p'(x) = k(2x - 1)\):
Poiché \(k\) non può essere \(0\) (altrimenti \(f(x)\) sarebbe la funzione nulla) e la parte esponenziale è sempre diversa da \(0\), dobbiamo avere o \((2\varphi - 1) = 0\) o \((1 + k(\varphi^2 - \varphi)) = 0\).
Sostituendo \(\varphi^2 - \varphi = 1\) nella nostra equazione:
\[ k \cdot (1) = -1 \implies k = -1 \]
Il polinomio \(p(x)\) è:
\[ p(x) = -1 \cdot x(x-1) = -x^2 + x \]
La funzione \(f(x)\) è:
\[ f(x) = (-x^2 + x) \cdot e^{(-x^2 + x)} \]
Determinazione del polinomio \(q(x)\) e della funzione \(g(x)\)
Dal grafico, si osserva che \(\gamma_2\) passa per il punto \(C=(0, 1)\) e per il punto \(A=(-\varphi, 0)\). Inoltre, in \(C=(0,1)\) il grafico ha tangente orizzontale.
Queste informazioni si riferiscono alla funzione \(g(x)\):
\(g(0) = 1\) (passa per \(C\))
\(g'(0) = 0\) (tangente orizzontale in \(C\))
\(g(-\varphi) = 0\) (passa per \(A\))
Utilizzo della condizione \(g(0) = 1\)
Utilizziamo la forma \(q(x) = a'x^2 + b'x + c'\) e \(p(x) = -x^2 + x\).
Dalla condizione \(g(0) = 1\):
\[ g(0) = q(0) \cdot e^{p(0)} \]
\[ q(0) = a'(0)^2 + b'(0) + c' = c' \]
\[ p(0) = -(0)^2 + 0 = 0 \]
\[ g(0) = c' \cdot e^0 = c' \cdot 1 = c' \]
Funzione \(g(x)\): \(g(x) = (-x^2 - x + 1) \cdot e^{x - x^2}\)
Osservazione sul numero aureo \(\varphi\)
Si tratta del famoso "numero aureo", che ha una storia molto interessante. È legato al concetto di "sezione aurea" di un segmento, che è definita come quella parte del segmento che è media proporzionale fra l'intero segmento e la sua parte rimanente.
Se indichiamo con \(L\) la misura del segmento AB, con \(AC=a\) la sua sezione aurea e con \(CB=b\) la parte rimanente del segmento, risulta:
Rappresentazione della sezione aurea di un segmento
Posto che \(p(x) = x - x^2\), studiare la funzione \(f\) specificando l'equazione dell'asintoto, le ascisse dei punti stazionari e di flesso.
Verificare che la retta di equazione \(x = \frac{1}{2}\) è asse di simmetria per \(\gamma_1\).
Determinare l'insieme immagine di \(f\) e indicare, al variare del parametro reale \(k\), il numero di soluzioni dell'equazione \(f(x) = k\).
Punto b: Posto che p di x uguale x meno x quadro, studiare la funzione effe specificando l'equazione dell'asintoto, le ascisse dei punti stazionari e di flesso. Verificare che la retta di equazione x uguale un mezzo è asse di simmetria per gamma uno. Determinare l'insieme immagine di effe e indicare, al variare del parametro reale ka, il numero di soluzioni dell'equazione effe di x uguale ka.
Funzione da studiare
Posto che \(p(x) = x - x^2\), la funzione da studiare è:
La funzione \(p(x) = x - x^2\) è un polinomio, quindi è definita per tutti i valori reali di \(x\). La funzione esponenziale \(e^{p(x)}\) è anch'essa definita per tutti i valori reali.
Poiché \(f(-x) \ne f(x)\) e \(f(-x) \ne -f(x)\), la funzione non è né pari né dispari.
Segno della funzione
Il segno di \(f(x) = (x - x^2) \cdot e^{(x - x^2)}\) dipende unicamente dal segno del termine \(x - x^2\), poiché \(e^{(x - x^2)} > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
\[ x - x^2 > 0 \implies x(1 - x) > 0 \implies 0 < x < 1 \]
Studiamo il segno di \(f'(x) = (1 - 2x)(1 + x - x^2) \cdot e^{(x - x^2)}\). Poiché \(e^{(x - x^2)} > 0\), il segno di \(f'(x)\) dipende dal segno del prodotto \((1 - 2x)(1 + x - x^2)\).
Per determinare il numero di soluzioni dell'equazione \(f(x)=k\) al variare di \(k\), analizziamo le intersezioni del grafico con una retta orizzontale \(y=k\):
Analisi del numero di soluzioni di \(f(x)=k\) al variare di \(k\)
Sia \(M_{min} = -\frac{1}{e}\) (valore minimo locale) e \(M_{max} = \frac{1}{4}e^{1/4}\) (valore massimo locale).
Valore di \(k\)
Numero di soluzioni
\(k < -\frac{1}{e}\)
0 soluzioni
\(k = -\frac{1}{e}\)
2 soluzioni
\(-\frac{1}{e} < k < 0\)
4 soluzioni
\(k = 0\)
2 soluzioni
\(0 < k < \frac{1}{4}e^{1/4}\)
2 soluzioni
\(k = \frac{1}{4}e^{1/4}\)
1 soluzione
\(k > \frac{1}{4}e^{1/4}\)
0 soluzioni
Punto c)
Stabilito altresì che \(q(x)=1-x-x^2\), verificare che \(\frac{1}{\varphi}\) è l'ulteriore zero di \(g\) e che il triangolo \(ABC\) è rettangolo.
Dimostrare che \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) hanno un unico punto di intersezione, del quale si chiedono le coordinate.
Considerati su \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\), rispettivamente, i punti \(P_1\) e \(P_2\) aventi uguale ascissa \(x \ge \frac{1}{2}\), calcolare la lunghezza massima che può assumere il segmento \(P_1P_2\).
Punto c: Stabilito altresì che q di x uguale uno meno x meno x quadro, verificare che uno fratto fi è l'ulteriore zero di g e che il triangolo ABC è rettangolo. Dimostrare che gamma uno e gamma due hanno un unico punto di intersezione, del quale si chiedono le coordinate. Considerati su gamma uno e gamma due, rispettivamente, i punti P uno e P due aventi uguale ascissa x maggiore o uguale a un mezzo, calcolare la lunghezza massima che può assumere il segmento P uno P due.
Verifica che \(\frac{1}{\varphi}\) è zero di \(g(x)\)
Abbiamo già dimostrato nel punto a) che \(q(x)=1-x-x^2\). Sappiamo anche che \(x=-\varphi\) è uno zero di \(g(x)\), cioè \(q(-\varphi)=0\).
Verifichiamo ora che \(x = \frac{1}{\varphi}\) è l'ulteriore zero di \(g(x)\) (e quindi di \(q(x)\)).
Sostituiamo \(x = \frac{1}{\varphi}\) in \(q(x) = 1-x-x^2\). Eseguendo i calcoli si ha che:
Ma si ha \(1 + \varphi - \varphi^2 = q(-\varphi) = 0\).
Quindi, \(x = \frac{1}{\varphi}\) è effettivamente un ulteriore zero di \(g(x)\).
Nota: Siccome il prodotto delle radici di un'equazione di secondo grado è \(c/a\), per l'equazione \(1-x-x^2=0\) risulta \(c/a=-1\), ed essendo una radice \(-\varphi\) l'altra sarà \(\frac{1}{\varphi}\).
Dimostrazione che il triangolo \(ABC\) è rettangolo
Il triangolo ABC con vertici A, B e C
I vertici del triangolo sono:
\(A = (-\varphi, 0)\)
\(B = \left(\frac{1}{\varphi}, 0\right)\)
\(C = (0, 1)\)
Calcoliamo i coefficienti angolari delle rette che formano i lati del triangolo:
Conclusione: Poiché il prodotto dei coefficienti angolari delle rette \(AC\) e \(BC\) è \(-1\), le due rette sono perpendicolari. Questo significa che l'angolo in \(C\) (l'angolo \(A\hat{C}B\)) è un angolo retto.
Pertanto, il triangolo \(ABC\) è rettangolo (in \(C\)).
Punto di intersezione tra \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\)
Intersezione tra le curve \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\)
Per trovare i punti di intersezione tra le due curve \(\gamma_1\) (che rappresenta \(f(x)\)) e \(\gamma_2\) (che rappresenta \(g(x)\)), dobbiamo uguagliare le loro espressioni:
La lunghezza del segmento \(P_1P_2\) è data dalla differenza delle loro ordinate (poiché hanno la stessa ascissa). Siccome \(f(x)>g(x)\) per ogni \(x \ge \frac{1}{2}\), la distanza \(L(x)\) fra i due punti è:
Calcolare l'area della regione limitata \(R\) compresa tra \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) e l'asse delle ordinate.
Individuare, successivamente, il valore di \(t \ge \frac{1}{2}\) affinché la retta \(x=t\) delimiti con i due grafici una regione \(R'\) equivalente ad \(R\).
Punto d: Calcolare l'area della regione limitata R compresa tra gamma uno, gamma due e l'asse delle ordinate. Individuare, successivamente, il valore di t maggiore o uguale a un mezzo affinché la retta x uguale t delimiti con i due grafici una regione R primo equivalente ad R.
Area della regione \(R\)
Osservando il grafico e ricordando lo studio di \(f(x)\) nel punto b), la regione \(R\) è delimitata da \(\gamma_1\) (che è \(f(x)\)), \(\gamma_2\) (che è \(g(x)\)) e l'asse delle ordinate (\(x=0\)).
Il punto di intersezione tra \(f(x)\) e \(g(x)\) è \(x=\frac{1}{2}\). Tra \(x=0\) e \(x=\frac{1}{2}\), la curva \(g(x)\) è sopra \(f(x)\).
La regione \(R\) compresa tra \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) e l'asse delle ordinate
L'area \(S_R\) della regione \(R\) è data dall'integrale definito della differenza delle due funzioni tra \(x=0\) e \(x=\frac{1}{2}\):
\[ S_R = \int_{0}^{1/2} (g(x) - f(x)) \, dx \]
Calcolo dell'integrale
Nel punto c) abbiamo già calcolato la differenza \(f(x) - g(x) = (2x-1)e^{x-x^2}\).
Determinazione del valore di \(t\) per la regione \(R'\)
La regione \(R'\) delimitata dalla retta \(x=t\) e i due grafici
Osservato che per \(x > \frac{1}{2}\) risulta \(f(x) > g(x)\), e ipotizzando che la regione \(R'\) sia limitata, l'area \(S'\) della regione \(R'\) delimitata dalla retta \(x=t\) e i due grafici (\(\gamma_1\) e \(\gamma_2\)) è data da:
\[ S' = \int_{1/2}^{t} (f(x) - g(x)) \, dx \]
Risulta \(f(x)-g(x)=(2x-1)e^{x-x^2}\).
Ricordando quanto detto nel calcolo dell'area di \(R\), sappiamo che \((1-2x)\) è la derivata di \((x-x^2)\). Pertanto, \((2x-1) = -(1-2x)\).
Una primitiva di \(f(x)-g(x)=(2x-1)e^{x-x^2}\) è \(-e^{x-x^2}\).
Calcolo dell'area \(S'\)
Calcoliamo l'integrale definito per \(S'\):
\[ S' = \left[ -e^{x-x^2} \right]_{1/2}^{t} \]
\[ S' = -e^{(t-t^2)} - \left( -e^{(1/2 - (1/2)^2)} \right) \]
\[ S' = -e^{(t-t^2)} + e^{(1/2 - 1/4)} \]
\[ S' = -e^{(t-t^2)} + e^{1/4} \]
Condizione di equivalenza
La condizione è che \(R'\) sia equivalente ad \(R\), quindi \(S' = S_R\):
\[ -e^{(t-t^2)} + e^{1/4} = e^{1/4} - 1 \]
Sottraiamo \(e^{1/4}\) da entrambi i lati:
\[ -e^{(t-t^2)} = -1 \]
\[ e^{(t-t^2)} = 1 \]
Affinché un'esponenziale sia uguale a 1, il suo esponente deve essere 0:
\[ t - t^2 = 0 \]
\[ t(1 - t) = 0 \]
Le radici di questa equazione sono \(t = 0\) e \(t = 1\).
Dato che il problema specifica che dobbiamo considerare \(t \ge \frac{1}{2}\), la soluzione valida è:
\(t = 1\)
Osservazione sulla regione illimitata
La regione \(R'\) richiesta potrebbe essere anche illimitata. In tal caso, dovremmo calcolare la sua area come un integrale improprio:
Rappresentazione della sezione aurea di un segmento
