Dato un triangolo \(ABC\), sia \(M\) il punto medio del lato \(BC\) e siano \(B'\) e \(C'\) due punti, rispettivamente, sul lato \(AB\) e sul lato \(AC\), in modo tale che \(AB'=\frac{1}{3}AB\) e \(AC'=\frac{1}{3}AC\).
Dimostrare che, se i segmenti \(MB'\) e \(MC'\) sono tra loro congruenti, allora lo sono anche i lati \(AB\) e \(AC\).
Quesito 1: Dato un triangolo ABC, sia M il punto medio del lato BC e siano B primo e C primo due punti, rispettivamente, sul lato AB e sul lato AC, in modo tale che AB primo uguale un terzo di AB e AC primo uguale un terzo di AC. Dimostrare che, se i segmenti MB primo e MC primo sono tra loro congruenti, allora lo sono anche i lati AB e AC.
Rappresentazione del triangolo
Triangolo ABC con punti B', C' e M
Applicazione del Teorema di Talete
Per il Teorema di Talete (o meglio, per il suo inverso applicato ai triangoli) la retta \(B'C'\) è parallela a \(BC\).
La retta \(B'C'\) è parallela a \(BC\)
Nota: Se una retta divide due lati di un triangolo in parti proporzionali, allora tale retta è parallela al terzo lato del triangolo.
Triangolo isoscele \(MB'C'\)
Se \(MB'\) ed \(MC'\) sono congruenti, il triangolo \(MB'C'\) è isoscele sulla base \(B'C'\).
Poiché il triangolo \(MB'C'\) è isoscele (\(MB' \cong MC'\)), gli angoli alla base sono congruenti:
\[ \angle MB'C' \cong \angle MC'B' \]
Congruenza dei triangoli \(BMB'\) e \(CMC'\)
Consideriamo i triangoli \(BMB'\) e \(CMC'\).
Essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza, essendo:
\(MB' \cong MC'\) (dato)
\(BM \cong MC\) (dato che \(M\) è il punto medio di \(BC\))
Angolo \(BMB'\) congruente ad angolo \(MB'C'\) (alterni interni formati dalle parallele \(BC\) e \(B'C'\) con la trasversale \(MB'\))
Angolo \(CMC'\) congruente ad angolo \(MC'B'\) (alterni interni con le parallele \(BC\) e \(B'C'\) con la trasversale \(MC'\))
Poiché il triangolo \(MB'C'\) è isoscele (\(MB' \cong MC'\)), gli angoli alla base sono congruenti: \(\angle MB'C' \cong \angle MC'B'\).
Segue che l'angolo \(BMB'\) è congruente all'angolo \(CMC'\) per proprietà transitiva.
Conclusione della dimostrazione
Dalla congruenza dei triangoli \(BMB'\) e \(CMC'\) (per il primo criterio) segue che il lato \(BB'\) è congruente al lato \(CC'\).
\[ BB' \cong CC' \]
Ma dalle condizioni iniziali del problema sappiamo che:
\[ AB' = \frac{1}{3}AB \implies BB' = AB - AB' = AB - \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}AB \]
\[ AC' = \frac{1}{3}AC \implies CC' = AC - AC' = AC - \frac{1}{3}AC = \frac{2}{3}AC \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(\frac{3}{2}\):
\[ AB = AC \]
Conclusione: Pertanto \(AB\) è congruente ad \(AC\).
c.v.d. (come volevasi dimostrare)
Nota: Inverso del Teorema di Talete applicato ai triangoli
Se una retta divide due lati di un triangolo in parti proporzionali, allora tale retta è parallela al terzo lato del triangolo.
Quesito 2
Si considerino la superficie sferica di equazione \((x-1)^2+(y-2)^2+z^2=1\) e il piano \(\pi\) di equazione \(x-2y-2z+d=0\).
Discutere, al variare del parametro reale \(d\), se il piano \(\pi\) è secante, tangente o esterno alla superficie sferica.
Determinare il valore del parametro \(d\) in modo che \(\pi\) divida la sfera in due parti uguali.
Quesito 2: Si considerino la superficie sferica di equazione x meno uno al quadrato più y meno due al quadrato più z al quadrato uguale uno e il piano pi greco di equazione x meno due y meno due z più d uguale zero. Discutere, al variare del parametro reale d, se il piano pi greco è secante, tangente o esterno alla superficie sferica. Determinare il valore del parametro d in modo che pi greco divida la sfera in due parti uguali.
Dati del problema
La superficie sferica ha equazione \((x-1)^2+(y-2)^2+z^2=1\). Da questa equazione, si deduce che:
Centro della sfera: \(C=(1, 2, 0)\)
Raggio: \(R=1\)
Il piano \(\pi\) ha equazione \(x-2y-2z+d=0\).
Formula della distanza punto-piano
Applichiamo la formula della distanza di un punto \(P(x_0, y_0, z_0)\) da un piano \(Ax+By+Cz+D=0\):
Il piano è esterno alla superficie sferica se la distanza del centro dal piano è maggiore del raggio (\(s > R\)).
\[ \frac{|d - 3|}{3} > 1 \]
\[ |d - 3| > 3 \]
Questa disuguaglianza si risolve in:
\[ d - 3 > 3 \quad \text{o} \quad d - 3 < -3 \]
\[ d > 6 \quad \text{o} \quad d < 0 \]
Il piano è esterno se \(d < 0\) o \(d > 6\)
Discussione: Piano tangente alla sfera
Il piano è tangente alla superficie sferica se la distanza del centro dal piano è uguale al raggio (\(s = R\)).
\[ \frac{|d - 3|}{3} = 1 \]
\[ |d - 3| = 3 \]
Questa equazione si risolve in:
\[ d - 3 = 3 \quad \text{o} \quad d - 3 = -3 \]
\[ d = 6 \quad \text{o} \quad d = 0 \]
Il piano è tangente se \(d = 0\) o \(d = 6\)
Discussione: Piano secante la sfera
Il piano è secante alla superficie sferica se la distanza del centro dal piano è minore del raggio (\(0 \le s < R\)).
\[ 0 \le \frac{|d - 3|}{3} < 1 \]
La condizione \(0 \le \frac{|d-3|}{3}\) è sempre vera (poiché un modulo è sempre non negativo). Dobbiamo risolvere:
\[ \frac{|d - 3|}{3} < 1 \]
\[ |d - 3| < 3 \]
Questa disuguaglianza si risolve in:
\[ -3 < d - 3 < 3 \]
Aggiungiamo 3 a tutti i termini:
\[ -3 + 3 < d < 3 + 3 \]
\[ 0 < d < 6 \]
Il piano è secante se \(0 < d < 6\)
Animazione del piano variabile
Il piano \(\pi\) al variare del parametro \(d\)
Valore di \(d\) per dividere la sfera in due parti uguali
Il piano \(\pi\) divide la sfera in due parti uguali solo se contiene il centro della sfera. Questo significa che la distanza \(s\) del centro dal piano deve essere zero.
Il piano \(\pi\) divide la sfera in due parti uguali quando \(d=3\)
Quesito 3
L’opera futurista di Boccioni “Forme uniche della continuità nello spazio”
del 1913, riportata sulla moneta da 20 centesimi, descrive un uomo che avanza velocemente nello spazio.
Una parte del profilo evidenziato in figura, in
un opportuno sistema di riferimento, può essere approssimato dalla funzione
Tracciare il grafico di \(f\), dopo averne analizzato la continuità e la derivabilità nell’intervallo \([-1;2]\).
Quesito 3: L’opera futurista di Boccioni Forme uniche della continuità nello spazio del 1913, riportata sulla moneta da
20 centesimi, descrive un uomo che avanza velocemente nello spazio. Una parte del profilo evidenziato in figura, in
un opportuno sistema di riferimento, può essere approssimato dalla funzione effe su meno
uno, due nel modo seguente: effe di x uguale
meno quattro x quadro meno otto x se x appartiene all'intervallo da meno uno a zero inclusi; uno più
tangente di x più tre quarti pi greco . se x appartiene all'intervallo da zero escluso a due incluso.
Tracciare il grafico di effe, dopo averne analizzato la continuità e la derivabilità nell’intervallo da meno uno a due inclusi.
.
Funzione definita a tratti
La funzione è definita a tratti:
\[ f(x)=
\begin{cases}
-4x^2-8x, & -1 \le x \le 0 \\
1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right), & 0 < x \le 2
\end{cases}
\]
Continuità sui singoli tratti
Per \(x \in [-1, 0)\), \(f(x) = -4x^2-8x\) è una funzione polinomiale, quindi è continua e derivabile in questo intervallo.
Per \(x \in (0, 2]\), \(f(x) = 1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\). Dobbiamo verificare che la tangente sia definita in questo intervallo.
La tangente è indefinita per \(x+\frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2} + k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\).
Consideriamo l'intervallo dell'argomento \(x+\frac{3}{4}\pi\) per \(x \in (0, 2]\):
Per \(k=0\): \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) (non è nell'intervallo \((2{,}356, 4{,}356]\))
Per \(k=1\): \(\frac{3}{2}\pi \approx 4{,}71\) (non è nell'intervallo \((2{,}356, 4{,}356]\))
Poiché l'argomento \(x+\frac{3}{4}\pi\) non assume valori per cui la tangente è indefinita nell'intervallo \((0, 2]\), la funzione \(1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\) è continua e derivabile in \((0, 2]\).
Quindi è un arco di parabola con vertice in \((-1, 4)\) che va dal punto \((-1, 4)\) al punto \((0, 0)\)
Per \(0 < x \le 2\): La funzione è \(f(x) = 1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\). Questo è un arco della funzione tangente, traslato.
Quando \(x \to 0^+\), \(f(x) \to 0\)
Quando \(x = 2\), \(f(2) = 1+\tan\left(2+\frac{3}{4}\pi\right)\)
Osserviamo che \(\tan(x)\) ha un flesso in \((0,0)\). Siccome \(1+\tan\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\) la possiamo vedere come \(1+\tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\), che è \(\tan(x)\) traslata a destra di \(\frac{\pi}{4}\) e in alto di 1, \(f(x)\) avrà un flesso in \(\left(\frac{\pi}{4},1\right)\).
Grafico della funzione e moneta commemorativa
A sinistra: grafico di \(f(x)\) che approssima il profilo dell'opera di Boccioni. A destra: l'opera "Forme uniche della continuità nello spazio" sulla moneta da 20 centesimi.
Quesito 4
Assegnata una funzione \(g\), derivabile in \(\mathbb{R}\) e tale che \(g\left(\frac{\pi}{4}\right)=g'\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\), determinare l'equazione della retta normale alla curva \(y=g(x) \sin^2 x\) nel suo punto di ascissa \(\frac{\pi}{4}\).
Quesito 4: Assegnata una funzione g, derivabile in R e tale che g di pi greco fratto quattro uguale g primo di pi greco fratto quattro uguale due, determinare l'equazione della retta normale alla curva y uguale g di x per seno quadro di x nel suo punto di ascissa pi greco fratto quattro.
Definizione della curva
Sia la curva data \(y = h(x) = g(x) \sin^2 x\).
Per determinare l'equazione della retta normale alla curva in un punto, abbiamo bisogno di:
Le coordinate del punto
Il coefficiente angolare della retta normale in quel punto
Coordinate del punto \(P\)
L'ascissa del punto è \(x_P = \frac{\pi}{4}\).
L'ordinata \(y_P\) è data da \(h\left(\frac{\pi}{4}\right)\):
Determinare il valore del parametro reale \(k\) in modo che le due curve \(y=e^x\), \(y=6-k \cdot e^{-x}\) risultino tangenti tra loro, individuando le coordinate del punto di contatto.
Quesito 5: Determinare il valore del parametro reale ka in modo che le due curve y uguale e alla x, y uguale sei meno ka per e alla meno x risultino tangenti tra loro, individuando le coordinate del punto di contatto.
Condizioni per la tangenza
Affinché due curve di equazione \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) risultino tangenti in un punto, devono soddisfare due condizioni:
Condizione di contatto: Le funzioni devono avere lo stesso valore nel punto di contatto: \(f(x) = g(x)\)
Condizione di tangenza: Le derivate delle funzioni devono essere uguali nel punto di contatto: \(f'(x) = g'(x)\)
Calcolo delle derivate
Ponendo \(f(x)=e^x\) e \(g(x)=6-k \cdot e^{-x}\), calcoliamo le loro derivate prime:
Sostituiamo questa espressione nell'equazione (1):
\[ e^x = 6 - e^x \]
\[ 2e^x = 6 \]
\[ e^x = 3 \]
Calcolo dell'ascissa del punto di contatto
Per trovare il valore di \(x\), applichiamo il logaritmo naturale ad entrambi i lati:
\[ x = \ln(3) \]
Calcolo del parametro \(k\)
Ora sostituiamo il valore di \(e^x = 3\) (o \(x=\ln(3)\)) nell'equazione (2) per trovare \(k\):
\[ e^x = k \cdot e^{-x} \]
\[ 3 = k \cdot e^{-\ln(3)} \]
\[ 3 = k \cdot \frac{1}{e^{\ln(3)}} \]
\[ 3 = k \cdot \frac{1}{3} \]
Moltiplichiamo entrambi i lati per 3:
\[ k = 9 \]
Il valore del parametro è \(k=9\)
L'ascissa del punto di contatto è \(x=\ln(3)\)
Coordinate del punto di contatto
Per trovare l'ordinata del punto di contatto, sostituiamo \(x=\ln(3)\) in una delle funzioni originali (ad esempio \(y=e^x\)):
\[ y = e^{\ln(3)} = 3 \]
Il punto di contatto ha coordinate: \(T=(\ln(3), 3)\)
Grafico delle funzioni
Anche se non richiesto, diamo il grafico delle due funzioni e della tangente comune:
Le curve \(y=e^x\) e \(y=6-9e^{-x}\) con la tangente comune nel punto \(T=(\ln(3), 3)\)
Quesito 6
Scrivere una funzione polinomiale \(f\) in modo tale che la retta di equazione \(y=2x+3\) sia tangente al grafico di \(f\) nel suo punto di ascissa 0 e si abbia \(\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 9\).
Quesito 6: Scrivere una funzione polinomiale effe in modo tale che la retta di equazione y uguale due x più tre sia tangente al grafico di effe nel suo punto di ascissa zero e si abbia l'integrale da zero a tre di effe di x dx uguale nove.
Forma generale del polinomio
Sia \(f(x)\) una funzione polinomiale. Per semplicità, possiamo assumere che sia un polinomio di secondo grado:
\[ f(x) = Ax^2 + Bx + C \]
La sua derivata prima sarà:
\[ f'(x) = 2Ax + B \]
Condizioni dalla tangenza
La retta \(y=2x+3\) è tangente al grafico di \(f\) nel suo punto di ascissa \(x=0\).
Questo implica due condizioni:
Condizione 1: Il valore della funzione nel punto di tangenza deve essere uguale al valore della retta tangente in quel punto:
\[ f(0) = 2(0) + 3 = 3 \]
Sostituendo in \(f(x) = Ax^2 + Bx + C\):
\[ f(0) = A(0)^2 + B(0) + C = C \]
Quindi \(C = 3\)
La funzione diventa: \(f(x) = Ax^2 + Bx + 3\)
Condizione 2: Il coefficiente angolare della retta tangente in \(x=0\) deve essere uguale alla derivata della funzione in \(x=0\):
\[ f'(0) = 2 \]
Sostituendo in \(f'(x) = 2Ax + B\):
\[ f'(0) = 2A(0) + B = B \]
Quindi \(B = 2\)
La funzione diventa: \(f(x) = Ax^2 + 2x + 3\)
Condizione dall'integrale definito
Ci viene data la condizione:
\[ \int_{0}^{3} f(x) \, dx = 9 \]
Sostituiamo l'espressione di \(f(x)\) trovata finora:
Sostituendo i valori di \(A=-1\), \(B=2\) e \(C=3\) nell'espressione generale \(f(x) = Ax^2 + Bx + C\), otteniamo:
La funzione polinomiale richiesta è:
\[ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \]
Grafico
Grafico di \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\) con la retta tangente \(y=2x+3\) nel punto \((0,3)\)
Quesito 7
«Siccome mi sembrava che per puro caso alcuni fatti fossero avvenuti così com'erano stati predetti dagl'indovini, tu hai parlato a lungo del caso, e hai detto, per esempio, che si può ottenere il "colpo di Venere" lanciando a caso quattro dadi […].»
Cicerone, De divinatione, II, 21, 48 - traduzione e cura di S. Timpanaro, Garzanti, Milano 1999.
Cicerone, nel dialogo con il fratello Quinto, parla del colpo di Venere, che consiste nel lanciare 4 dadi a 4 facce ottenendo 4 risultati diversi. Supponendo che le facce di ciascun dado siano equiprobabili, determinare:
la probabilità di ottenere il colpo di Venere nel lancio di 4 dadi;
la probabilità di ottenere 4 numeri tutti uguali.
Quesito 7: Cicerone, nel dialogo con il fratello Quinto, parla del colpo di Venere, che consiste nel lanciare quattro dadi a quattro facce ottenendo quattro risultati diversi. Supponendo che le facce di ciascun dado siano equiprobabili, determinare: la probabilità di ottenere il colpo di Venere nel lancio di quattro dadi; la probabilità di ottenere quattro numeri tutti uguali.
Descrizione del problema
Consideriamo il lancio di 4 dadi a 4 facce (si tratta di tetraedri regolari). Supponiamo che le facce di ciascun dado siano numerate da 1 a 4 e che siano equiprobabili.
Un dado a 4 facce (tetraedro regolare)
Totale esiti possibili
Ogni dado può mostrare 4 risultati. Poiché i lanci sono indipendenti e i dadi sono distinguibili, il numero totale di esiti possibili è dato da:
\[ 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4 \]
\[ \text{Numero totale di esiti} = 4^4 = 256 \]
1. Probabilità di ottenere il "colpo di Venere"
Il "colpo di Venere" si verifica quando i 4 dadi mostrano 4 risultati tutti diversi tra loro.
Calcoliamo il numero di esiti favorevoli:
Per il primo dado, ci sono 4 scelte possibili (es. 1, 2, 3 o 4)
Per il secondo dado, ci sono 3 scelte possibili (deve essere diverso dal primo)
Per il terzo dado, ci sono 2 scelte possibili (deve essere diverso dai primi due)
Per il quarto dado, c'è 1 scelta possibile (deve essere diverso dai primi tre)
Questo è equivalente al numero di permutazioni di 4 elementi distinti, cioè \(4!\).
La probabilità di ottenere il colpo di Venere è data dal rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di esiti:
\[ P(\text{Colpo di Venere}) = \frac{\text{Numero di esiti favorevoli}}{\text{Numero totale di esiti}} = \frac{24}{256} \]
Semplificando la frazione (dividendo per 8):
\[ P(\text{Colpo di Venere}) = \frac{3}{32} \]
2. Probabilità di ottenere 4 numeri tutti uguali
Questo evento si verifica quando tutti e 4 i dadi mostrano lo stesso risultato.
Gli esiti favorevoli sono:
(1, 1, 1, 1)
(2, 2, 2, 2)
(3, 3, 3, 3)
(4, 4, 4, 4)
Quindi, il numero di esiti favorevoli è 4.
\[ \text{Numero di esiti favorevoli (4 uguali)} = 4 \]
La probabilità di ottenere 4 numeri tutti uguali è:
\[ P(\text{4 numeri uguali}) = \frac{\text{Numero di esiti favorevoli}}{\text{Numero totale di esiti}} = \frac{4}{256} \]
Semplificando la frazione (dividendo per 4):
\[ P(\text{4 numeri uguali}) = \frac{1}{64} \]
Quesito 8
Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola "STUDIARE"? In quanti di tali anagrammi si può leggere consecutivamente la parola "ARTE", come ad esempio in "SUARTEDI"?
Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola "VACANZA"?
Quesito 8: Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola STUDIARE? In quanti di tali anagrammi si può leggere consecutivamente la parola ARTE, come ad esempio in SUARTEDI? Quanti sono gli anagrammi, anche senza significato, della parola VACANZA?
Anagrammi della parola "STUDIARE"
La parola "STUDIARE" è composta da 8 lettere, tutte diverse.
Il numero di anagrammi di una parola con \(n\) lettere tutte diverse è dato da \(n!\).
\[ \text{Anagrammi di "STUDIARE"} = 8! = 40.320 \]
Anagrammi con la sequenza "ARTE" consecutiva
Per contare gli anagrammi in cui la sequenza "ARTE" compare consecutivamente ragioniamo così.
Trattiamo "ARTE" come un unico blocco. Quindi abbiamo:
Il blocco "ARTE"
Le 4 lettere rimanenti: S, U, D, I
Questo ci dà 5 elementi da permutare (il blocco ARTE + 4 lettere singole).
Possiamo sistemare "ARTE" in 5 posizioni diverse:
Dal primo al quarto posto
Dal secondo al quinto posto
Dal terzo al sesto posto
Dal quarto al settimo posto
Dal quinto all'ottavo posto
Per ognuna di queste posizioni, le 4 lettere rimanenti (S, U, D, I) possono essere sistemate in \(4!\) modi diversi.
\[ \text{Numero di anagrammi con "ARTE" consecutivo} = 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120 \]
Oppure, più semplicemente:
\[ 5 \times 4! = 5! = 120 \]
\[ \text{Anagrammi con "ARTE" consecutivo} = 120 \]
Anagrammi della parola "VACANZA"
La parola "VACANZA" è composta da 7 lettere di cui la lettera A è ripetuta 3 volte.
Lettere: V, A, C, A, N, Z, A
Il numero di anagrammi di una parola con \(n\) lettere, di cui alcune ripetute \(k_1, k_2, \ldots, k_m\) volte, è dato dalla formula delle permutazioni con ripetizione:
Triangolo ABC con punti B', C' e M
