Simulazione 10 – Questionario – Versione DSA – Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

Siano \(a\), \(h\) e \(r\) rispettivamente l'apotema, l'altezza e il raggio di base del cono circolare retto. Il testo fissa la misura dell'apotema:

\[a = 1 \text{ m}\]

Le limitazioni geometriche per le variabili \(h\) e \(r\) sono:

\[0 < h < 1 \quad \text{e} \quad 0 < r < 1\]

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di ipotenusa \(a = 1\):

\[r^2 = a^2 - h^2 = 1 - h^2\]

1. Funzione obiettivo

Il volume del cono è:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Sostituendo \(r^2 = 1 - h^2\) otteniamo la funzione volume dipendente dalla sola altezza \(h\):

\[V(h) = \frac{1}{3}\pi (1 - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (h - h^3)\]

2. Studio della derivata prima e ricerca del massimo

Deriviamo rispetto ad \(h\):

\[V'(h) = \frac{1}{3}\pi (1 - 3h^2)\]

Poniamo \(V'(h) \ge 0\):

\[1 - 3h^2 \ge 0 \implies h^2 \le \frac{1}{3} \implies h \le \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

La derivata è positiva per \(0 < h < \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) e negativa per \(\dfrac{\sqrt{3}}{3} < h < 1\). Il massimo assoluto si ha in:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ m}\]

3. Calcolo del volume massimo e conversione in litri

Sostituiamo \(h = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) nella funzione volume:

\[V_{\text{max}} = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{\sqrt{3}}{3} - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 \right)\] \[= \frac{1}{3}\pi \left( \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{27} \right) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} \right)\] \[= \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{27}\pi \text{ m}^3\]

Convertiamo in litri (1 m³ = 1000 dm³ = 1000 litri):

\[V_{\text{max}} = \frac{2000\sqrt{3}}{27}\pi \text{ litri} \approx 403{,}07 \text{ litri}\]

Soluzione del Quesito 2

1. Calcolo dell'accelerazione al tempo \(t = 4\)

L'accelerazione è la derivata seconda della funzione posizione. Calcoliamo prima la velocità:

\[v(t) = s'(t) = 20\!\left(2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) e^{-\frac{t}{2}} + 1\right) = 20\!\left(1 - e^{-\frac{t}{2}}\right)\]

Derivando nuovamente otteniamo l'accelerazione:

\[a(t) = v'(t) = 20 \cdot \frac{1}{2}\, e^{-\frac{t}{2}} = 10\, e^{-\frac{t}{2}}\]

Valutiamo in \(t = 4\):

\[a(4) = 10\, e^{-2} \approx 10 \cdot 0{,}1353 \approx 1{,}353\]

2. Descrizione del moto della particella

Analizziamo il segno della velocità:

\[v(t) = 20\!\left(1 - e^{-\frac{t}{2}}\right)\]

Poiché \(e^{-t/2} \le 1\) per ogni \(t \ge 0\), si ha \(v(t) \ge 0\). L'uguaglianza vale solo per \(t = 0\). La particella si muove sempre nel verso positivo della retta orientata \(r\).

Osserviamo inoltre che:

\[a(t) = 10\,e^{-\frac{t}{2}} > 0 \quad \text{per ogni } t \ge 0\]

La velocità è quindi crescente nel tempo. Per i limiti all'infinito:

\[\lim_{t \to +\infty} a(t) = 0 \qquad \lim_{t \to +\infty} v(t) = 20\]

La particella parte dall'origine (poiché \(s(0) = 0\)) con velocità iniziale nulla (\(v(0) = 0\)). Poi si muove nel verso positivo di \(r\), accelerando sempre meno fino a raggiungere asintoticamente la velocità limite pari a 20.

Soluzione del Quesito 3

Sia \(VABC\) un tetraedro regolare di spigolo \(l\). Indichiamo con \(H\) il piede dell'altezza condotta dal vertice \(V\) sul piano della base \(ABC\). Poiché il tetraedro è regolare, \(H\) coincide con il baricentro del triangolo equilatero \(ABC\). L'angolo richiesto è \(\widehat{CVH}\).

1. Calcolo della distanza \(CH\)

Nel triangolo equilatero \(ABC\) di lato \(l\), la mediana misura:

\[CF = \frac{\sqrt{3}}{2}\,l\]

Il baricentro divide ogni mediana nel rapporto 2:1 a partire dal vertice. Pertanto:

\[CH = \frac{2}{3}\,CF = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\,l = \frac{\sqrt{3}}{3}\,l\]

2. Determinazione dell'angolo \(\alpha\)

Poiché \(VH\) è perpendicolare al piano della base, il triangolo \(VHC\) è rettangolo in \(H\) con ipotenusa \(VC = l\). Pertanto:

\[\sin\alpha = \frac{CH}{VC} = \frac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,l}{l} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Da cui:

\[\alpha = \arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 35{,}26^\circ\]

Soluzione del Quesito 4

Sia il numeratore che il denominatore tendono a 0 per \(x \to 0\), configurando la forma indeterminata \(\dfrac{0}{0}\).

Metodo 1: Sviluppi asintotici e limiti notevoli

Ricordiamo le equivalenze asintotiche e i limiti notevoli utili per \(x \to 0\):

• \(1 - \cos(x) \sim \dfrac{x^2}{2}\), quindi \(\cos(x) \sim 1 - \dfrac{x^2}{2}\)
• \(\sin(3x) \sim 3x\), cioè il seno è asintotico al suo argomento
• \(e^{x^2} - 1 \sim x^2\)

Sostituendo al numeratore con queste equivalenze:

\[3x + 1 - \sin(3x) - \cos(x) \sim 3x + 1 - 3x - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{x^2}{2}\]

Il denominatore è asintotico a \(x^2\). Il limite diventa quindi:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}\]

Metodo 2: Teorema di de L'Hôpital

Applicando il teorema una prima volta:

\[\lim_{x \to 0} \frac{3 - 3\cos(3x) + \sin(x)}{2x\,e^{x^2}} = \left[\frac{0}{0}\right]\]

Applicando il teorema una seconda volta:

\[\lim_{x \to 0} \frac{9\sin(3x) + \cos(x)}{2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2}} = \frac{9 \cdot 0 + 1}{2 \cdot 1 + 0} = \frac{1}{2}\]

Soluzione del Quesito 5

1. Equazione del piano passante per i tre punti

Utilizzando la forma segmentaria del piano (i tre punti intercettano gli assi nelle coordinate uniche pari a 1):

\[\pi:\quad \frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \implies x + y + z - 1 = 0\]

2. Verifica dell'intersezione e calcolo del centro della sezione

La distanza del centro della sfera \(O(0,\,0,\,0)\) dal piano \(\pi\) è:

\[d = \frac{|0 + 0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Poiché \(d = \dfrac{1}{\sqrt{3}} < R = 2\), il piano è secante. Il centro \(H\) della circonferenza d'intersezione si trova sulla retta perpendicolare a \(\pi\) passante per \(O\), di equazioni parametriche \(x = t,\; y = t,\; z = t\). Sostituendo nel piano: \(3t = 1 \implies t = \dfrac{1}{3}\). Quindi:

\[H = \left(\frac{1}{3},\; \frac{1}{3},\; \frac{1}{3}\right)\]

3. Raggio della circonferenza di intersezione

Applicando il teorema di Pitagora:

\[\rho = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{11}{3}}\]

Soluzione del Quesito 6

Il numero complessivo di palline è \(5 + 4 + 3 = 12\). I casi possibili totali di estrazione non ordinata corrispondono a:

\[\binom{12}{2} = 66\]

1. Probabilità dello stesso colore

I casi favorevoli si ottengono estraendo due palline dello stesso gruppo:

\[\text{Rosse:}\;\binom{5}{2} = 10 \qquad \text{Blu:}\;\binom{4}{2} = 6 \qquad \text{Verdi:}\;\binom{3}{2} = 3\] \[\text{Casi favorevoli totali} = 10 + 6 + 3 = 19\] \[P(\text{stesso colore}) = \frac{19}{66}\]

2. Probabilità condizionata (entrambe rosse)

Applichiamo la formula della probabilità condizionata:

\[P(\text{rosse} \mid \text{stesso colore}) = \frac{\text{casi favorevoli rosse}}{\text{casi favorevoli stesso colore}} = \frac{10}{19}\]

Soluzione del Quesito 7

1. Punti di intersezione

Uguagliamo le due funzioni:

\[x^2 = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x-1) = 0\] \[x_1 = 0 \qquad x_2 = 1\]

2. Calcolo dell'area

Per \(x \in [0,\,1]\) si ha \(g(x) \ge f(x)\) (verifica con \(x = 0{,}5\): \(g(0{,}5) = 0{,}75 > f(0{,}5) = 0{,}25\)). L'area è:

\[A = \int_{0}^{1} \bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2)\,dx\] \[= \left[x^2 - \frac{2}{3}x^3\right]_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]

3. Volume di rotazione attorno all'asse \(y\) (metodo dei gusci cilindrici)

Il metodo dei gusci cilindrici fornisce la formula:

\[V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot \bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx\]

Sostituendo nell'intervallo \([0,\,1]\):

\[V = 2\pi \int_{0}^{1} x\,(2x - 2x^2)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} (2x^2 - 2x^3)\,dx\] \[= 4\pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^3)\,dx = 4\pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}\] \[= 4\pi \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = 4\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{3}\]

Per un approfondimento sul Metodo dei gusci cilindrici visita questa pagina.

Soluzione del Quesito 8

Consideriamo la funzione \(f(x) = x^3 + 3x - 1\). L'equazione data corrisponde a determinare gli zeri di questa funzione nell'intervallo \([0,\,1]\).

1. Dimostrazione di esistenza e unicità della soluzione

Esistenza (Teorema degli zeri): La funzione \(f(x)\) è un polinomio, quindi continua in tutto \(\mathbb{R}\) e in particolare in \([0,\,1]\). Calcoliamo i valori agli estremi:

\[f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0\] \[f(1) = 1 + 3 - 1 = 3 > 0\]

Poiché \(f(0) \cdot f(1) < 0\) e la funzione è continua, per il Teorema degli zeri esiste almeno un punto \(c \in (0,\,1)\) con \(f(c) = 0\).

Unicità: Calcoliamo la derivata prima:

\[f'(x) = 3x^2 + 3\]

Poiché \(x^2 \ge 0\) per ogni \(x\), si ha \(f'(x) \ge 3 > 0\) sempre. La funzione è strettamente crescente in tutto \(\mathbb{R}\), quindi può annullarsi al più una volta. La soluzione è unica.

2. Determinazione di \(c\) mediante il Metodo di Bisezione

Partiamo dall'intervallo \([a_0,\,b_0] = [0,\,1]\) e dimezziamo a ogni passo fino ad ottenere un'ampiezza inferiore a \(\varepsilon = 10^{-2} = 0{,}01\).

Al passo 7, l'ampiezza è \(0{,}0078 < 0{,}01\). La radice è approssimata a meno di un centesimo dal valore \(c \approx 0{,}33\).

3. Determinazione di \(c\) mediante il Metodo delle Tangenti (Newton-Raphson)

Condizioni di applicabilità:

1. \(f(x)\) è continua e derivabile in \([0,\,1]\) (è un polinomio).
2. \(f(0) \cdot f(1) < 0\) (già verificato).
3. \(f'(x) = 3x^2 + 3 > 0\) in tutto l'intervallo (funzione strettamente crescente).
4. \(f''(x) = 6x \ge 0\) in \([0,\,1]\): la concavità è costantemente rivolta verso l'alto.

Per garantire convergenza monotona, scegliamo come punto iniziale l'estremo in cui la funzione e la derivata seconda hanno lo stesso segno, cioè \(x_0 = 1\) (dove \(f(1) = 3 > 0\) e \(f''(1) = 6 > 0\)).

La formula iterativa è:

\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^3 + 3x_n - 1}{3x_n^2 + 3}\]

Osservazione sulla velocità di convergenza: Il metodo di bisezione ha richiesto 7 passi per stabilizzarsi intorno a \(0{,}33\). Il metodo delle tangenti, grazie alla sua convergenza quadratica, ha bloccato tre cifre decimali (\(0{,}322\)) già alla terza iterazione, risultando nettamente più veloce.

Per un approfondimento sulla soluzione approssimata di un'equazione visita questa pagina.