Simulazione 10 - Questionario - Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

Siano \(a\), \(h\) e \(r\) rispettivamente l'apotema, l'altezza e il raggio di base del cono circolare retto. Il testo fissa la misura dell'apotema:

\[a = 1 \text{ m}\]

Le limitazioni geometriche per le variabili \(h\) e \(r\) sono dettate dalla natura del problema:

\[0 < h < 1 \quad \text{e} \quad 0 < r < 1\]

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo avente per ipotenusa l'apotema \(a\) e per cateti l'altezza \(h\) e il raggio di base \(r\), possiamo esprimere \(r^2\) in funzione di \(h\):

\[r^2 = a^2 - h^2 \implies r^2 = 1 - h^2\]

1. Definizione della funzione Obiettivo

La funzione che descrive il volume \(V\) del cono è data da:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

Sostituendo l'espressione di \(r^2\) trovata, otteniamo la funzione volume dipendente dalla sola variabile altezza \(h\):

\[V(h) = \frac{1}{3}\pi (1 - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (h - h^3)\]

2. Studio della derivata prima e ricerca del massimo

Calcoliamo la derivata prima della funzione rispetto ad \(h\) per individuarne i punti stazionari:

\[V'(h) = \frac{1}{3}\pi (1 - 3h^2)\]

Studiamo il segno della derivata ponendo \(V'(h) \ge 0\):

\[\frac{1}{3}\pi (1 - 3h^2) \ge 0 \implies 1 - 3h^2 \ge 0 \implies\] \[\implies 3h^2 \le 1 \implies h^2 \le \frac{1}{3}\]

Considerando solo l'intervallo di accettabilità geometrica (\(0 < h < 1\)), la soluzione è:

\[0 < h \le \frac{1}{\sqrt{3}} \implies 0 < h \le \frac{\sqrt{3}}{3}\]

La derivata prima è positiva per \(0 < h < \frac{\sqrt{3}}{3}\) (funzione crescente) e negativa per \(\frac{\sqrt{3}}{3} < h < 1\) (funzione decrescente). Di conseguenza, si ha un punto di massimo assoluto in:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ m}\]

3. Calcolo del volume massimo e conversione in litri

Sostituiamo il valore ottimale di \(h\) nella funzione volume per calcolare la capacità massima espressa in metri cubi (\(\text{m}^3\)):

\[V_{\text{max}} = V\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left[ \frac{\sqrt{3}}{3} - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 \right] =\] \[= \frac{1}{3}\pi \left( \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{27} \right) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} \right) =\] \[= \frac{1}{3}\pi \left( \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{9} \right) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{2\sqrt{3}}{9} \right) = \frac{2\sqrt{3}}{27}\pi \text{ m}^3\]

Ricordando che \(1 \text{ }\ell = 1 \text{ dm}^3\) e che \(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3\), moltiplichiamo il risultato per \(1000\) per esprimerlo in litri:

\[V_{\text{max}} = \frac{2\sqrt{3}}{27}\pi \cdot 1000 \text{ }\ell = \frac{2000\sqrt{3}}{27}\pi \text{ }\ell\]

Approssimando numericamente con \(\sqrt{3} \approx 1{,}73205\) e \(\pi \approx 3{,}14159\):

\[V_{\text{max}} \approx \frac{2000 \cdot 1{,}73205 \cdot 3{,}14159}{27} \approx \frac{10882{,}8}{27} \approx 403{,}07 \text{ }\ell\]

Soluzione del Quesito 2

1. Calcolo dell'accelerazione al tempo \(t=4\)

L'accelerazione è la derivata seconda della funzione posizione.

\[ s(t)=20\left(2e^{-\frac{t}{2}}+t-2\right) \]

Calcoliamo la velocità:

\[ v(t)=s'(t) =20\left(2\cdot\left(-\frac12\right)e^{-\frac{t}{2}}+1\right) \] \[ v(t)=20\left(1-e^{-\frac{t}{2}}\right) \]

Derivando nuovamente otteniamo l'accelerazione:

\[ a(t)=v'(t) =20\left(\frac12 e^{-\frac{t}{2}}\right) \] \[ a(t)=10e^{-\frac{t}{2}} \]

Valutiamo l'accelerazione nell'istante \(t=4\):

\[ a(4)=10e^{-2} \] \[ a(4)\approx 10\cdot 0{,}135335 \approx 1{,}353 \]

2. Descrizione del moto della particella

Per descrivere il moto analizziamo il segno della velocità:

\[ v(t)=20\left(1-e^{-\frac{t}{2}}\right) \]

Poiché \(e^{-\frac{t}{2}}\le 1\) per ogni \(t\ge 0\), si ha:

\[ v(t)\ge 0 \]

e l'uguaglianza vale soltanto per \(t=0\).

Ne consegue che la posizione è una funzione crescente e la particella si muove sempre nel verso positivo della retta orientata \(r\).

Osserviamo inoltre che:

\[ a(t)=10e^{-\frac{t}{2}}>0 \]

per ogni \(t\ge 0\). Pertanto la velocità è crescente nel tempo.

Infine:

\[ \lim_{t\to+\infty} a(t) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{t\to+\infty} v(t) = 20. \]

La particella parte dall'origine, infatti \(s(0)=0\), con velocità iniziale nulla \(v(0)=0\).

Successivamente si muove nel verso positivo della retta, accelerando sempre meno fino a raggiungere asintoticamente la velocità costante di \(20\).

Soluzione del Quesito 3

Sia \(VABC\) un tetraedro regolare di spigolo \(l\). Indichiamo con \(H\) il piede dell'altezza condotta dal vertice \(V\) sul piano della base \(ABC\).

Poiché il tetraedro è regolare, il punto \(H\) coincide con il baricentro del triangolo equilatero \(ABC\).

L'angolo richiesto è l'angolo formato dallo spigolo \(VC\) e dall'altezza \(VH\), cioè l'angolo \(\widehat{CVH}\).

1. Calcolo della distanza \(CH\)

Nel triangolo equilatero \(ABC\) di lato \(l\), la mediana relativa al lato \(AB\) misura:

\[ CF=\frac{\sqrt3}{2}\,l. \]

Il baricentro divide ogni mediana nel rapporto \(2:1\) a partire dal vertice. Pertanto:

\[ CH=\frac{2}{3}CF =\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}l =\frac{\sqrt3}{3}l. \]

2. Studio del triangolo rettangolo \(VHC\) e determinazione di \(\alpha\)

Poiché \(VH\) è perpendicolare al piano della base, il triangolo \(VHC\) è rettangolo in \(H\) con ipotenusa \(VC = l\). Risulta:

\[ \sin\alpha = \frac{CH}{VC} = \frac{\frac{\sqrt3}{3}l}{l} = \frac{\sqrt3}{3}. \]

Da cui ricaviamo l'ampiezza dell'angolo geometrico:

\[ \alpha = \arcsin\!\left(\frac{\sqrt3}{3}\right) \approx 35{,}26^\circ. \]

Soluzione del Quesito 4

Sia numeratore che denominatore tendono a \(0\) per \(x \to 0\), configurando la forma indeterminata \(\frac{0}{0}\).

Metodo 1: Sviluppi asintotici e limiti notevoli

Ricordiamo le equivalenze asintotiche e i limiti notevoli utili per \(x \to 0\):

• \(1 - \cos(x) \sim \dfrac{x^2}{2}\), quindi \(\cos(x) \sim 1 - \dfrac{x^2}{2}\)
• \(\sin(3x) \sim 3x\), cioè il seno è asintotico al suo argomento
• \(e^{x^2} - 1 \sim x^2\)

Sostituendo al numeratore con queste equivalenze:

\[3x + 1 - \sin(3x) - \cos(x) \sim 3x + 1 - 3x - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{x^2}{2}\]

Il denominatore è asintotico a \(x^2\). Il limite diventa quindi:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}\]

Metodo 2: Teorema di de L'Hospital

Derivando numeratore e denominatore una prima volta:

\[ \lim_{x\to 0} \frac{3 - 3\cos(3x) + \sin(x)}{2x e^{x^2}} = \left[\frac{0}{0}\right] \]

Applicando il teorema una seconda volta:

\[ \lim_{x\to 0} \frac{9\sin(3x) + \cos(x)}{2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2}} = \frac{9(0) + 1}{2(1) + 0} = \frac{1}{2.}. \]

Soluzione del Quesito 5

1. Equazione del piano passante per i tre punti

Utilizzando la forma segmentaria del piano intersecante gli assi nei punti di coordinate uniche pari a \(1\), ricaviamo immediatamente:

\[\pi:\ \frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \implies x + y + z - 1 = 0\]

2. Verifica dell'intersezione e calcolo del centro della sezione

La distanza del centro della sfera \(O(0,0,0)\) dal piano \(\pi\) è:

\[d = \frac{|0 + 0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Poiché \(d = \frac{1}{\sqrt{3}} < R = 2\), il piano è secante. Il centro \(H\) della circonferenza d'intersezione si trova lungo la retta perpendicolare a \(\pi\) passante per \(O\), di equazioni parametriche \(x=t, y=t, z=t\). Sostituendo nel piano: \(3t = 1 \implies t = 1/3\). Quindi \(H(1/3, 1/3, 1/3)\).

3. Raggio della circonferenza di intersezione

Applicando il teorema di Pitagora nello spazio tridimensionale geometrico:

\[\rho = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{11}{3}}\]

Soluzione del Quesito 6

Il numero complessivo di palline è \(5 + 4 + 3 = 12\). I casi possibili totali di estrazione non ordinata corrispondono a \(\binom{12}{2} = 66\).

1. Probabilità dello stesso colore

I casi favorevoli estraggono due palline dello stesso gruppo:

\[\text{Rosse: } \binom{5}{2}=10, \quad \text{Blu: } \binom{4}{2}=6, \quad \text{Verdi: } \binom{3}{2}=3 \implies \text{Totale favorevoli} = 19\] \[P(\text{Stesso Colore}) = \frac{19}{66}\]

2. Probabilità condizionata (entrambe rosse)

Applichiamo la formula della probabilità condizionata di Bayes:

\[P(\text{Rosse} \mid \text{Stesso Colore}) = \frac{\text{Casi favorevoli Rosse}}{\text{Casi favorevoli Stesso Colore}} = \frac{10}{19}\]

Soluzione del Quesito 7

Per determinare l'area e il successivo volume di rotazione della regione racchiusa, dobbiamo innanzitutto individuare le ascisse dei punti di intersezione tra le curve delle due parabole risolvendo il sistema delle loro equazioni.

1. Ricerca dei punti di intersezione

Uguagliamo le due funzioni:

\[x^2 = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x - 1) = 0\]

Le soluzioni dell'equazione sono:

\[x_1 = 0 \quad \text{e} \quad x_2 = 1\]

2. Impostazione e calcolo dell'area

Nell'intervallo \([0, 1]\), analizziamo la posizione relativa delle curve per capire quale sia la funzione superiormente limitante. Provando un valore interno come \(x = 0{,}5\):

\[f(0{,}5) = 0{,}25 \quad \text{e} \quad g(0{,}5) = 2(0{,}5) - 0{,}25 = 0{,}75\]

Poiché \(g(x) \ge f(x)\) per ogni \(x \in [0, 1]\), l'area \(A\) si calcola tramite l'integrale definito della differenza:

\[A = \int_{0}^{1} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) \, dx\]

Determinando la primitiva tramite le regole di integrazione elementari:

\[A = \left[ x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \left( 1^2 - \frac{2}{3}(1)^3 \right) - (0) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]

3. Calcolo del volume di rotazione attorno all'asse y (Metodo dei gusci cilindrici)

Il volume \(V\) di un solido ottenuto ruotando attorno all'asse \(y\) una regione limitata superiormente da \(g(x)\) e inferiormente da \(f(x)\) nell'intervallo \([a, b]\) (con \(a \ge 0\)) si calcola più agevolmente sfruttando il metodo dei gusci cilindrici, espresso dalla formula:

\[V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot [g(x) - f(x)] \, dx\]

Sostituendo i dati in nostro possesso nell'intervallo \([0, 1]\):

\[V = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot (2x - 2x^2) \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} (2x^2 - 2x^3) \, dx\]

Estraendo la costante moltiplicativa \(2\) per semplificare i calcoli:

\[V = 4\pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx\]

Calcoliamo ora l'integrale definito trovando la corrispondente primitiva:

\[V = 4\pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = 4\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - 0 = 4\pi \left( \frac{4 - 3}{12} \right) = 4\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{3}\]

Per un approfondimento sul Metodo dei gusci cilindrici visita questa pagina.

Soluzione del Quesito 8

Consideriamo la funzione \(f(x) = x^3 + 3x - 1\). L'equazione data corrisponde a determinare gli zeri di questa funzione nell'intervallo \([0, 1]\).

1. Dimostrazione di esistenza e unicità della soluzione

Esistenza (Teorema degli zeri): La funzione \(f(x)\) è un polinomio, pertanto è continua in tutto \(\mathbb{R}\) e, in particolare, nell'intervallo chiuso e limitato \([0, 1]\). Calcoliamo i valori della funzione agli estremi dell'intervallo:

\[f(0) = 0^3 + 3(0) - 1 = -1 < 0\] \[f(1) = 1^3 + 3(1) - 1 = 3 > 0\]

Poiché la funzione è continua e assume valori di segno opposto agli estremi dell'intervallo (\(f(0) \cdot f(1) < 0\)), per il Teorema degli zeri esiste almeno un punto \(c \in (0, 1)\) tale che \(f(c) = 0\).

Unicità: Calcoliamo la derivata prima della funzione:

\[f'(x) = 3x^2 + 3\]

Poiché \(x^2 \ge 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), la derivata \(f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3 > 0\) è strettamente positiva per qualsiasi valore reale. Ne consegue che la funzione \(f(x)\) è strettamente crescente in tutto il suo dominio. Una funzione strettamente monotona può intersecare l'asse delle ascisse al massimo una volta; pertanto, la soluzione reale \(c \in [0, 1]\) è unica.

2. Determinazione di c mediante il Metodo di Bisezione

Applichiamo il metodo di bisezione a partire dall'intervallo iniziale \([a_0, b_0] = [0, 1]\). Dimezziamo l'intervallo a ogni passo calcolando il punto medio \(m_n\), fino a quando l'ampiezza dell'intervallo residuo \(\Delta_n = b_n - a_n\) non risulta inferiore alla precisione richiesta \(\varepsilon = 10^{-2} = 0{,}01\).

Al passo 7, l'ampiezza dell'intervallo è \(\Delta_7 \approx 0{,}0078 < 0{,}01\). L'obiettivo di precisione è raggiunto e possiamo stimare il valore della radice come \(c \approx 0{,}33\).

3. Determinazione di c mediante il Metodo delle Tangenti (Newton-Raphson)

Verifica delle condizioni di applicabilità:

1. \(f(x)\) è continua e derivabile due vezes in \([0, 1]\) (è un polinomio).
2. \(f(0) \cdot f(1) < 0\) (già verificato).
3. \(f'(x) = 3x^2 + 3 > 0\) mantiene segno costante (la funzione è strettamente crescente).
4. Calcoliamo la derivata seconda: \(f''(x) = 6x\). Nell'intervallo \((0, 1)\), \(f''(x) > 0\), quindi la concavità della funzione è rivolta verso l'alto ed essa mantiene segno costante.

Le condizioni di convergenza globale sono verificate. Per garantire una convergenza monotona, la teoria impone di scegliere come punto iniziale \(x_0\) l'estremo in cui la funzione e la derivata seconda hanno lo stesso segno (\(f(x_0) \cdot f''(x_0) > 0\)).

• In \(x = 0\): \(f(0) = -1\) e \(f''(0) = 0\) (prodotto nullo).
• In \(x = 1\): \(f(1) = 3 > 0\) e \(f''(1) = 6 > 0\) (prodotto positivo).

Scegliamo quindi come punto di partenza \(x_0 = 1\).

La formula iterativa di Newton è:

\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^3 + 3x_n - 1}{3x_n^2 + 3}\]

Osservazione sulla velocità di convergenza: Il metodo di bisezione ha richiesto ben 7 passi per restringere l'intervallo a un'ampiezza inferiore a \(0{,}01\) stabilizzandosi intorno a \(0{,}33\). Il metodo delle tangenti, grazie alla sua convergenza quadratica, ha bloccato stabilmente le prime tre cifre decimali (\(0{,}322\)) già alla terza iterazione, dimostrandosi nettamente più veloce ed efficiente, come si evince dal grafico delle iterazioni geometriche soprastante.

Per un approfondimento sulla Soluzione approssimata di un'equazione visita questa pagina.