Simulazione 11 - Questionario - Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

Per risolvere il limite, iniziamo applicando le proprietà delle potenze ai termini presenti al numeratore, in modo da ridurli a potenze con un'unica variabile d'esponente \(x\):

• \(2^{3x} = (2^3)^x = 8^x\)
• \(3^{4x} = (3^4)^x = 81^x\)

Sostituendo queste espressioni, il limite originario si riscrive come:

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{8^x - 81^x}{x^2}\]

Per ricondurci ai limiti notevoli, raccogliamo a fattor comune il termine \(81^x\) al numeratore e separiamo il denominatore \(x^2\) nel prodotto \(x \cdot x\):

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{81^x \left[ \left(\frac{8}{81}\right)^x - 1 \right]}{x \cdot x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{81^x}{x} \cdot \frac{\left(\frac{8}{81}\right)^x - 1}{x}\]

A questo punto possiamo applicare il limite notevole dell'esponenziale per \(x \to 0^+\):

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a)\]

Nel nostro caso, ponendo \(a = \frac{8}{81}\), la seconda frazione tende a un valore costante ben definito:

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{\left(\frac{8}{81}\right)^x - 1}{x} = \ln\left(\frac{8}{81}\right)\]

Il limite complessivo si riduce pertanto a studiare il comportamento del prodotto rimanente:

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{81^x \ln\left(\frac{8}{81}\right)}{x}\]

Analisi del comportamento asintotico e dei segni

Valutiamo separatamente i fattori per \(x \to 0^+\):

1. Il termine \(\frac{81^x}{x} \to \frac{81^0}{0^+} = \frac{1}{0^+} \to +\infty\).
2. Il fattore moltiplicativo \(\ln\left(\frac{8}{81}\right)\) è una costante numerica. Poiché l'argomento del logaritmo è minore di 1 \(\left(\frac{8}{81} < 1\right)\), il suo valore è strettamente negativo: \[\ln\left(\frac{8}{81}\right) < 0\]

Moltiplicando una quantità infinita positiva per una costante negativa (\(+\infty \cdot \text{valore negativo}\)), otteniamo come risultato finale meno infinito:

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{81^x \ln\left(\frac{8}{81}\right)}{x} = -\infty\]

Soluzione del Quesito 2

Per determinare la probabilità richiesta, possiamo utilizzare la definizione classica di probabilità come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili.

Lanciando due dadi regolari a 6 facce, lo spazio campionario complessivo è formato da coppie ordinate del tipo \((d_1, d_2)\). Il numero totale dei casi possibili è dato da:

\[6 \times 6 = 36\]

L'evento richiesto esige che uno e soltanto uno dei due dadi mostri il numero 5. Questo significa che escludiamo il caso in cui entrambi i dadi mostrino 5 (ovvero la coppia \((5,5)\)). I casi favorevoli sono dunque costituiti dalle seguenti configurazioni:

• Il primo dado è 5 e il secondo è un numero diverso da 5: \[(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6) \quad \text{(5 casi)}\]
• Il secondo dado è 5 e il primo è un numero diverso da 5: \[(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5) \quad \text{(5 casi)}\]

Il numero totale dei casi favorevoli è quindi: \(5 + 5 = 10\).

Calcolo della Probabilità

Applicando la formula della probabilità classica, otteniamo:

\[P = \frac{\text{Casi Favorevoli}}{\text{Casi Possibili}} = \frac{10}{36}\]

Semplificando la frazione dividendo numeratore e denominatore per 2, si ricava il risultato finale:

\[P = \frac{5}{18}\]

Soluzione alternativa: Approccio con probabilità composta

Possiamo giungere allo stesso risultato considerando i lanci come eventi indipendenti. La probabilità che esca 5 su un dado è \(\frac{1}{6}\), mentre la probabilità che non esca 5 è \(\frac{5}{6}\). L'evento desiderato si verifica se esce 5 al primo lancio e non esce al secondo, oppure se non esce al primo e esce al secondo:

\[P = \left(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}\right) = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\]

Soluzione del Quesito 3

Consideriamo un decagono regolare inscritto in una circonferenza di centro \(O\) e raggio \(r\). Sia \(AB\) un lato consecutivo del decagono. L'angolo al centro \(\widehat{AOB}\) sotteso da ciascun lato corrisponde a un decimo dell'angolo giro completo:

\[\alpha = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} = 36^\circ\]

Il triangolo \(OAB\) formato dal centro \(O\) e dai due vertici adiacenti \(A\) e \(B\) è un triangolo isoscele sulla base \(AB\), avente i lati obliqui pari al raggio \(OA = OB = r\). Gli angoli alla base misurano:

\[\beta = \frac{\pi - \frac{\pi}{5}}{2} = \frac{2\pi}{5} = 72^\circ\]

Tracciamo la bisettrice dell'angolo alla base \(\widehat{OAB}\), che interseca il raggio opposto \(OB\) nel punto \(K\). Questa divide l'angolo di \(72^\circ\) in due angoli uguali di \(36^\circ\).

Dimostrazione della Sezione Aurea

Facendo riferimento alla figura, la bisettrice \(AK\) dell'angolo \(\widehat{OAB}\) individua sul raggio \(OB\) il punto \(K\), dividendo l'angolo originario in due angoli congruenti di \(36^\circ\) (\(\widehat{OAK} = \widehat{KAB} = 36^\circ\)).

Dall'analisi dei triangoli interni che si vengono a formare, si deduce che:

• Il triangolo \(OAK\) possiede due angoli di \(36^\circ\) (\(\widehat{AOK}\) e \(\widehat{OAK}\)): esso è pertanto un triangolo isoscele sulla base \(AK\), da cui discende la congruenza dei segmenti \(OK = AK\).
• Il triangolo \(ABK\) ha un angolo di \(36^\circ\) in \(A\) (\(\widehat{KAB}\)) e un angolo di \(72^\circ\) in \(B\). Di conseguenza, l'angolo residuo è \(\widehat{AKB} = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 72^\circ\). Avendo i due angoli alla base uguali, anche il triangolo \(ABK\) è isoscele sulla base \(BK\), con \(AK = AB\).

Combinando le relazioni geometriche trovate, indichiamo con \(\ell\) la lunghezza del lato del decagono \(AB\):

\[AB = AK = OK = \ell\]

Poiché il triangolo \(ABK\) ha gli stessi angoli di \(36^\circ, 72^\circ, 72^\circ\) del triangolo principale \(OAB\), i due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine (\(ABK \sim OAB\)). Possiamo dunque impostare la proporzione tra i rispettivi lati obliqui e le rispettive basi:

\[OB : AB = AB : BK\]

Sapendo che il raggio misura \(OB = r\), la base misura \(AB = \ell\) e il segmento residuo sul raggio è \(BK = OB - OK = r - \ell\), sostituendo otteniamo:

\[r : \ell = \ell : (r - \ell)\]

Questa fondamentale relazione geometrica dimostra in modo rigoroso che il lato \(\ell\) del decagono regolare è la sezione aurea del raggio \(r\) della circonferenza in cui è inscritto.

Determinazione analitica del lato e calcolo di \(\text{sen}\frac{\pi}{10}\)

Sviluppando il prodotto dei medi e degli estremi della proporzione precedente si ottiene l'equazione di secondo grado:

\[\ell^2 = r(r - \ell) \implies \ell^2 + r\ell - r^2 = 0\]

Risolvendo l'equazione rispetto alla variabile \(\ell\) e isolando l'unica radice reale positiva accettabile per una grandezza geometrica:

\[\ell = r \cdot \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\]

Consideriamo nuovamente il triangolo isoscele principale \(OAB\). Tracciando l'altezza relativa alla base \(AB\) passante per il centro \(O\), questa funge anche da bisettrice dell'angolo al centro \(\widehat{AOB}\), definendo un angolo acuto pari a:

\[\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{10} = 18^\circ\]

All'interno del triangolo rettangolo così individuato, per le definizioni delle funzioni goniometriche, il seno dell'angolo acuto è pari al rapporto tra il cateto opposto (la metà della base \(AB\), ovvero \(\frac{\ell}{2}\)) e l'ipotenusa (il raggio \(r\)):

\[\text{sen}\frac{\pi}{10} = \frac{\frac{\ell}{2}}{r} = \frac{\ell}{2r}\]

Sostituendo il rapporto \(\frac{\ell}{r} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\) derivato dalla sezione aurea, giungiamo alla determinazione del valore esatto cercato:

\[\text{sen}\frac{\pi}{10} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}\]

Per un approfondimento sulla Sezione aurea si veda questa pagina:
https://www.matefilia.it/argomen/sezione-aurea/sezione-aurea.pdf

Soluzione del Quesito 4

1. Verifica della continuità in \(x = 0\)

Affinché la funzione sia continua a destra nel punto \(x = 0\), deve sussistere la seguente uguaglianza:

\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0\]

Calcoliamo il limite della funzione per \(x \to 0^+\):

\[\lim_{x \to 0^+} \text{sen}x \cdot \ln(\text{sen}2x)\]

Per risolvere la forma indeterminata del tipo \([0 \cdot (-\infty)]\), possiamo moltiplicare e dividere l'espressione per \(2\cos x\) in modo da ricondurre la funzione trigonometrica esterna all'argomento del logaritmo sfruttando la formula di duplicazione \(\text{sen}2x = 2\text{sen}x\cos x\):

\[\lim_{x \to 0^+} \frac{2\cos x \cdot \text{sen}x \cdot \ln(\text{sen}2x)}{2\cos x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\text{sen}2x \cdot \ln(\text{sen}2x)}{2\cos x}\]

Analizziamo ora il comportamento dei singoli componenti per \(x \to 0^+\):

• Il denominatore tende a un valore finito ben determinato: \(2\cos x \to 2\cos(0) = 2\).
• Il numeratore si presenta nella forma limite notevole \(\lim_{t \to 0^+} t \cdot \ln t = 0\), dove abbiamo posto il cambio di variabile \(t = \text{sen}2x\). Poiché per \(x \to 0^+\) si ha \(t \to 0^+\), il termine \(\text{sen}2x \cdot \ln(\text{sen}2x) \to 0\).

Il limite complessivo è dunque:

\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{0}{2} = 0\]

Essendo il valore del limite coincidente con il valore della funzione nel punto (\(f(0) = 0\)), la funzione è continua a destra in \(x = 0\).

2. Studio della derivabilità in \(x = 0\)

Per stabilire la derivabilità della funzione in \(x = 0\), ricorriamo alla definizione analitica mediante il limite del rapporto incrementale destro:

\[\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}\]

Sostituendo le definizioni della funzione nell'intorno destro del punto, otteniamo:

\[\lim_{h \to 0^+} \frac{\text{sen}h \cdot \ln(\text{sen}2h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \left(\frac{\text{sen}h}{h}\right) \cdot \ln(\text{sen}2h)\]

Applichiamo ora i teoremi algebrici sui limiti separando il prodotto:

1. Il primo fattore costituisce il limite notevole fondamentale della goniometria: \[\lim_{h \to 0^+} \frac{\text{sen}h}{h} = 1\]
2. Il secondo fattore vede l'argomento del logaritmo tendere a zero da destra (\(\text{sen}2h \to 0^+\)), di conseguenza: \[\lim_{h \to 0^+} \ln(\text{sen}2h) = -\infty\]

Moltiplicando i rispettivi risultati limite (\(1 \cdot (-\infty)\)), si ricava:

\[\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = -\infty\]

Poiché il limite del rapporto incrementale non è un valore reale finito, la funzione non è derivabile nel punto \(x = 0\). Nello specifico, la curva interseca l'origine con una tangente verticale semiretta diretta verso il basso.

Soluzione del Quesito 5

1. Analisi geometrica della sezione del solido

La base del solido è la regione piana \(S\) compresa tra l'asse delle ascisse e la funzione \(f(x) = 1 + \text{tg}x\) nell'intervallo \(\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\).

Ogni sezione perpendicolare all'asse \(x\) ad una generica coordinata \(x\) individua un segmento di lunghezza pari all'ordinata della funzione, ossia \(c(x) = f(x) = 1 + \text{tg}x\). Questo segmento costituisce il lato del triangolo equilatero che forma la sezione piana del solido.

L'area \(A(x)\) di un triangolo equilatero di lato \(s\) è nota dalla geometria elementare come \(A = s^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\). Sostituendo il nostro lato otteniamo l'area della sezione in funzione di \(x\):

\[A(x) = [f(x)]^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = (1 + \text{tg}x)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = (1 + 2\text{tg}x + \text{tg}^2x) \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\]

2. Calcolo del volume tramite integrazione

Il volume \(V\) del solido \(\Sigma\) si ottiene applicando il metodo delle sezioni, integrando la funzione area \(A(x)\) lungo l'intervallo di definizione:

\[V = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} A(x) \, dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + 2\text{tg}x + \text{tg}^2x) \, dx\]

Per facilitare l'integrazione, separiamo opportunamente i termini sfruttando la linearità dell'integrale e raggruppando la derivata nota della tangente \((1 + \text{tg}^2x)\):

\[V = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \text{tg}^2x) \, dx + 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \text{tg}x \, dx \right]\]

Risolviamo i singoli integrali definiti:

• Il primo integrale è immediato poiché \((1 + \text{tg}^2x)\) è la derivata di \(\text{tg}x\): \[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \text{tg}^2x) \, dx = \Big[ \text{tg}x \Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) - \text{tg}(0) = 1 - 0 = 1\]
• Il secondo integrale si esprime riscrivendo la tangente come rapporto tra seno e cosena, applicando la formula logaritmica delle funzioni fratte: \[2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\text{sen}x}{\cos x} \, dx = -2 \Big[ \ln(\cos x) \Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -2 \left[ \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \ln(1) \right]\] Sfruttando le proprietà dei logaritmi: \(\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \ln(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2}\ln(2)\). Pertanto il termine diventa: \[-2 \cdot \left( -\frac{1}{2}\ln(2) \right) = \ln(2)\]

Sostituendo i singoli valori trovati nell'espressione complessiva del volume:

\[V = \frac{\sqrt{3}}{4} \big[ 1 + \ln(2) \big]\]

Soluzione del Quesito 6

1. Determinazione della retta \(r\) e verifica di appartenenza al piano \(\pi\)

Il vettore direttore della retta \(r\) passante per \(A(1, 1, 0)\) e \(B(0, 2, 1)\) è dato da:

\[\vec{v} = \vec{AB} = (0 - 1, \, 2 - 1, \, 1 - 0) = (-1, 1, 1)\]

L'equazione parametrica della retta \(r\) è:

\[r: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases}\]

Sostituendo le coordinate generiche della retta nell'equazione del piano \(\pi: x + y - 2 = 0\):

\[(1 - t) + (1 + t) - 2 = 0 \implies 2 - 2 = 0 \implies 0 = 0\]

L'identità è sempre verificata, pertanto la retta giace interamente sul piano \(\pi\).

2. Determinazione dei punti \(C\) (Metodo del Piano Assiale)

Perché il triangolo \(ABC\) sia equilatero, il punto \(C\) deve trovarsi sull'asse del segmento \(AB\) appartenente al piano \(\pi\). Procediamo attraverso i seguenti passaggi geometrici:

A) Punto medio e altezza del triangolo:
Il punto medio del lato \(AB\) è: \[M\left(\frac{1+0}{2}, \, \frac{1+2}{2}, \, \frac{0+1}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}, \, \frac{3}{2}, \, \frac{1}{2}\right)\] La lunghezza del lato del triangolo corrisponde alla distanza \(AB\): \[L = AB = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\] L'altezza \(h\) del triangolo equilatero è data da: \[h = L \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\]

B) Equazione del piano assiale:
Il piano assiale è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi \(A\) e \(B\). Esso è perpendicolare al vettore \(\vec{AB}(-1, 1, 1)\) e passa per il punto medio \(M\): \[-1\left(x - \frac{1}{2}\right) + 1\left(y - \frac{3}{2}\right) + 1\left(z - \frac{1}{2}\right) = 0 \implies -x + y + z - \frac{3}{2} = 0\] Moltiplicando per 2, otteniamo l'equazione del piano assiale \(\alpha\): \[\alpha: 2x - 2y - 2z + 3 = 0\]

C) Retta contenente l'altezza (Intersezione tra \(\alpha\) e \(\pi\)):
Il punto \(C\) deve appartenere sia al piano \(\pi\) sia al piano assiale \(\alpha\). Ricaviamo la retta d'intersezione esprimendo le coordinate in funzione della variabile \(z\): \[\begin{cases} x + y - 2 = 0 \implies y = 2 - x \\ 2x - 2(2 - x) - 2z + 3 = 0 \implies 4x - 2z - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}z \end{cases}\] Ponendo \(z = s\) come parametro, otteniamo le coordinate del generico punto \(C\) in forma parametrica: \[C\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}s, \; \frac{7}{4} - \frac{1}{2}s, \; s\right)\]

D) Imposizione della distanza dal punto medio \(M\):
Il terzo vertice \(C\) deve trovarsi a una distanza dal punto medio \(M\) pari all'altezza \(h = \frac{3}{2}\). Imponiamo la formula della distanza al quadrato \(d(C, M)^2 = h^2\): \[\left(x_C - x_M\right)^2 + \left(y_C - y_M\right)^2 + \left(z_C - z_M\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2\] \[\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}s - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{4} - \frac{1}{2}s - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(s - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\] \[\left(\frac{1}{2}s - \frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}s\right)^2 + \left(s - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\]

Sviluppando i quadrati di binomio:

\[\left(\frac{1}{4}s^2 - \frac{1}{4}s + \frac{1}{16}\right) + \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{4}s + \frac{1}{4}s^2\right) + \left(s^2 - s + \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{4}\] \[\frac{3}{2}s^2 - \frac{3}{2}s + \frac{3}{8} = \frac{9}{4}\]

Moltiplicando tutti i termini per 8 per eliminare i denominatori:

\[12s^2 - 12s + 3 = 18 \implies 12s^2 - 12s - 15 = 0\]

Dividendo per 3 otteniamo l'equazione di secondo grado semplificata:

\[4s^2 - 4s - 5 = 0\]

Risolviamo l'equazione rispetto al parametro \(s\) applicando la formula del discriminante ridotto:

\[\frac{\Delta}{4} = (-2)^2 - 4 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24\] \[s = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{2}\]

Sostituendo i due valori trovati di \(s\) nelle coordinate del punto generico \(C\), otteniamo le posizioni esatte dei due vertici:

• Per \(s_1 = \frac{1 + \sqrt{6}}{2}\): \[x_1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left(\frac{1 + \sqrt{6}}{2}\right) = \frac{2 + \sqrt{6}}{4}\] \[y_1 = 2 - x_1 = \frac{6 - \sqrt{6}}{4}\] \[z_1 = \frac{1 + \sqrt{6}}{2}\]
• Per \(s_2 = \frac{1 - \sqrt{6}}{2}\): \[x_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left(\frac{1 - \sqrt{6}}{2}\right) = \frac{2 - \sqrt{6}}{4}\] \[y_2 = 2 - x_2 = \frac{6 + \sqrt{6}}{4}\] \[z_2 = \frac{1 - \sqrt{6}}{2}\]

Soluzione del Quesito 7

Indichiamo con \(l\) la lunghezza dell'arco corrispondente al settore circolare e con \(R\) il raggio della circonferenza di cui fa parte il settore. Il perimetro \(P\) del settore è costituito dall'arco e dai due raggi racchiusi:

\[l + 2R = 100 \quad (*)\]

L'area del settore circolare è espressa dalla formula:

\[\text{Area} = \frac{l \cdot R}{2}\]

Metodo 1: Approccio geometrico-algebrico

L'area è massima se lo è la quantità a numeratore \(l \cdot R\), che possiamo riscrivere come:

\[l \cdot R = \frac{1}{2} \cdot l \cdot (2R)\]

Poiché la somma tra le due grandezze \(l\) e \(2R\) è costante e pari a \(100\text{ m}\), il loro prodotto risulta massimo quando le due grandezze sono uguali tra loro:

\[l = 2R\]

Sostituendo questa relazione nel vincolo del perimetro \((*)\), otteniamo:

\[2R + 2R = 100 \implies 4R = 100 \implies R = 25\text{ m}\]

Di conseguenza, la lunghezza dell'arco ottimale è:

\[l = 2 \cdot 25 = 50\text{ m}\]

Detta \(\alpha\) l'ampiezza in radianti del settore circolare, sappiamo che sussiste la relazione geometrica \(l = \alpha \cdot R\). Il massimo richiesto si verifica quindi per un'ampiezza pari a:

\[\alpha = \frac{l}{R} = \frac{50}{25} = 2\text{ radianti}\]

Metodo 2: Studio della funzione mediante derivate

Possiamo giungere alla medesima conclusione ponendo il raggio come variabile indipendente \(R = x\). Poiché il diametro non può superare il perimetro totale, stabiliamo il dominio fisico della variabile: \(0 < 2x < 100 \implies 0 < x < 50\).

Ricavando la lunghezza dell'arco dalla relazione del vincolo \((*)\), otteniamo \(l = 100 - 2x\). Sostituiamo l'espressione nella formula dell'area per ottenere la funzione obiettivo da massimizzare:

\[y(x) = \frac{(100 - 2x) \cdot x}{2} = x(50 - x) = -x^2 + 50x\]

Calcoliamo la derivata prima della funzione area per studiarne la monotonia:

\[y'(x) = -2x + 50\]

Dallo studio del segno della derivata prima per la ricerca dei punti di massimo:

\[y'(x) \ge 0 \implies -2x + 50 \ge 0 \implies x \le 25\]

La funzione risulta strettamente crescente nell'intervallo \((0, 25)\) e strettamente decrescente in \((25, 50)\). In corrispondenza di \(x = 25\) si registra pertanto un punto di massimo assoluto.

• Il raggio ottimale è \(R = 25\text{ m}\).
• La lunghezza dell'arco ottimale è \(l = 100 - 2(25) = 50\text{ m}\).
• L'ampiezza del settore è \(\alpha = \frac{50}{25} = 2\text{ radianti}\).

Soluzione del Quesito 8

A prima vista il problema sembra paradossale: la corda si allunga di ben \(1\text{ metro}\) al secondo, mentre la formica avanza di appena \(1\text{ centimetro}\) al secondo. Tuttavia l'allungamento della corda avviene in modo uniforme su tutta la sua lunghezza. Quando la corda si tende, ogni suo punto viene trascinato in avanti nella stessa proporzione.

Analisi del movimento

Separiamo ciò che accade in ogni secondo in due fasi:

• Cammino della formica. Durante il secondo considerato la corda mantiene una lunghezza costante e la formica percorre \(1\text{ cm}\).
• Allungamento della corda. Allo scadere del secondo la corda viene tesa istantaneamente di un altro metro. Poiché la deformazione è uniforme, la posizione della formica come frazione della lunghezza totale non cambia.

All'inizio del movimento (\(t=0\)), la corda è lunga \(1\text{ m} = 100\text{ cm}\). Durante il primo secondo, la fune mantiene questa lunghezza e la formica avanza di \(1\text{ cm}\), coprendo una frazione di corda pari a \(\alpha_1 = \frac{1}{100}\). Allo scadere del primo secondo (\(t=1\)), la corda si allunga istantaneamente diventando di \(2\text{ m}\).

Durante il secondo intervallo la lunghezza della fune è stazionaria a \(2\text{ m} = 200\text{ cm}\), e la formica aggiunge una frazione pari a \(\alpha_2 = \frac{1}{200} = \frac{1}{100} \cdot \frac{1}{2}\). Generalizzando, durante l'\(n\)-esimo secondo la lunghezza complessiva della fune è pari a:

\[ L_n = n \cdot 100\text{ cm}. \]

La frazione di corda percorsa in quell'intervallo vale dunque:

\[ \alpha_n = \frac{1}{100n}. \]

Sommando i contributi di tutti i secondi trascorsi, la frazione totale percorsa dopo \(n\) secondi è:

\[ F(n) = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = \frac{1}{100} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \right). \]

La formica raggiungerà l'altro estremo della corda se esiste un istante finito per cui \(F(n)\ge 1\), il che equivale a richiedere che la somma tra parentesi soddisfi la condizione:

\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \ge 100. \]

Confronto con un integrale

Per verificare se tale somma possa raggiungere o superare il valore \(100\), utilizziamo un metodo geometrico basato sul calcolo integrale, studiando la funzione: \[ y=\frac{1}{x} \] positiva e strettamente decrescente per \(x>0\).

Costruiamo, per ogni intervallo unitario \([k, k+1]\) (con \(k\) intero da \(1\) a \(n\)), un rettangolo avente base pari a \(1\) e altezza pari al valore della funzione nell'estremo sinistro, ossia \(1/k\). L'area di ciascun rettangolo è quindi pari a \(1/k \cdot 1 = 1/k\).

Formalizzando geometricamente la disuguaglianza tra la somma dei rettangoli e l'area sottesa dall'iperbole otteniamo:

\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx. \]

Calcolando l'integrale definito:

\[ \int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_1^{n+1} = \ln(n+1) - \ln 1 = \ln(n+1). \]

Otteniamo quindi la pulita e fondamentale stima inferiore:

\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \ln(n+1). \]

Conclusione

Poiché la funzione logaritmo naturale cresce senza limitazioni superiori: \[ \lim_{n\to+\infty} \ln(n+1) = +\infty, \] anche la quantità \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\) è costretta a crescere all'infinito. Di conseguenza, la frazione totale percorsa \(F(n)\) supererà prima o poi il valore \(1\), assicurando il completamento del tragitto.

In virtù della disuguaglianza ricavata, per essere certi del superamento della fune è sufficiente imporre che il limite inferiore logaritmico sia pari a \(100\): \[ \ln(n+1)\ge100 \implies n+1\ge e^{100} \implies n\ge e^{100}-1. \]

Questo non rappresenta l'istante esatto dell'arrivo, ma costituisce una limitazione superiore che garantisce matematicamente che entro l'istante finito \(n = e^{100}-1\) la formica avrà certamente raggiunto e superato l'estremità opposta della fune.

Curiosità

Sebbene la risposta sia affermativa, il tempo fisico necessario è colossale. Come abbiamo calcolato, l'istante di arrivo si aggira intorno a: \[ n \approx e^{100} \approx 2.7 \times 10^{43} \text{ secondi}, \] equivalenti a circa \(8.5 \times 10^{35}\) anni. Si tratta di una durata inconcepibile, immensamente superiore all'età attuale dell'universo (stimata in circa \(1.4 \times 10^{10}\) anni). Dal punto di vista fisico la formica non arriverà mai, ma dal punto di vista puramente matematico ed analitico il tempo richiesto resta rigorosamente limitato e finito.