Simulazione 15 - Questionario - Esame di Stato 2026

Soluzione del Quesito 1

Definiamo gli eventi descritti dal testo:

• \(E\): l'abbonato ha il profilo "Studente"
• \(C\): l'abbonato ha il profilo "Classico"
• \(F\): l'abbonato ha il profilo "Famiglia"
• \(H\): l'abbonato ha attivato l'opzione "Ascolto offline"

Dai dati del problema ricaviamo le probabilità dei tre profili, ricordando che la somma delle probabilità degli eventi incompatibili e complementari che costituiscono una partizione dello spazio campionario deve essere pari a \(1\):

\[P(E) = 0.25\] \[P(F) = 0.15\] \[P(C) = 1 - (0.25 + 0.15) = 0.60\]

Le probabilità condizionate fornite sono:

\[P(H|E) = 0.45 \quad \text{e} \quad P(H|C) = 0.30\]

Inoltre, occorre prestare particolare attenzione alla formulazione linguistica del testo per evitare di confondere la probabilità dell'intersezione con una probabilità condizionata:

• Il testo specifica che il 12% "del totale complessivo degli abbonati" ha un profilo Famiglia e ascolta la musica offline. Poiché la percentuale è riferita all'intera popolazione della piattaforma (l'universo globale) e i due eventi si verificano contemporaneamente ("e" logica), il dato rappresenta direttamente la probabilità dell'intersezione: \[P(F \cap H) = 0.12\]
• Si distingua nettamente questo caso da quello degli studenti, in cui il 45% "degli abbonati Studente" usa l'offline. Lì l'universo di riferimento si restringe al solo sottoinsieme degli studenti, configurando una probabilità condizionata \((P(H|E) = 0.45)\), la cui intersezione globale va invece calcolata tramite la regola del prodotto.

Punto 1: Calcolo di \(P(H)\)

Per il teorema della probabilità totale, la probabilità che un abbonato generico utilizzi l'ascolto offline si esprime come:

\[P(H) = P(E \cap H) + P(C \cap H) + P(F \cap H)\]

Calcoliamo le singole probabilità delle intersezioni mancanti mediante la regola del prodotto:

\[P(E \cap H) = P(E) \cdot P(H|E) = 0.25 \cdot 0.45 = 0.1125\] \[P(C \cap H) = P(C) \cdot P(H|C) = 0.60 \cdot 0.30 = 0.1800\]

Sostituendo i valori numerici all'interno della relazione precedente si ottiene:

\[P(H) = 0.1125 + 0.1800 + 0.1200 = 0.4125\]

Punto 2: Calcolo della probabilità condizionata \(P(E|H)\)

Si richiede la probabilità che l'abbonato sia uno Studente sotto la condizione che utilizzi l'ascolto offline. Applicando il teorema di Bayes si ha:

\[P(E|H) = \frac{P(E \cap H)}{P(H)} = \frac{0.1125}{0.4125} = \frac{1125}{4125}\]

Semplificando la frazione si ricava il valore esatto:

\[P(E|H) = \frac{3}{11} \approx 0.273\]

Soluzione del Quesito 2

Punto 1: Determinazione del termine generale \(X_n\)

Metodo Principale: Approccio Euristico e Principio di Induzione

Mettiamoci nei panni di uno studente ed esploriamo l'andamento della popolazione calcolando esplicitamente i valori dei primi anni tramite la legge ricorsiva assegnata:

• Anno 0: \(X_0 = 600\)
• Anno 1: \(X_1 = 1{,}1 \cdot 600 - 50 = 660 - 50 = 610\)
• Anno 2: \(X_2 = 1{,}1 \cdot 610 - 50 = 671 - 50 = 621\)
• Anno 3: \(X_3 = 1{,}1 \cdot 621 - 50 = 683{,}1 - 50 = 633{,}1\)

Analizzando la struttura di questi risultati \((600, 610, 621, 633{,}1, \dots)\), possiamo scomporli per evidenziare una regolarità numerica legata alle potenze della ragione \(1{,}1\):

• \(X_0 = 500 + 100 = 500 + 100 \cdot (1{,}1)^0\)
• \(X_1 = 500 + 110 = 500 + 100 \cdot (1{,}1)^1\)
• \(X_2 = 500 + 121 = 500 + 100 \cdot (1{,}1)^2\)
• \(X_3 = 500 + 133{,}1 = 500 + 100 \cdot (1{,}1)^3\)

Formuliamo quindi la congettura che il termine generale sia:

\[X_n = 500 + 100 \cdot (1{,}1)^n\]

Per dimostrare questa congettura, applichiamo il Principio di Induzione (per un quadro teorico completo sul funzionamento di questo strumento, puoi consultare l'approfondimento su Matefilia):

• Base dell'induzione (\(n = 0\)): Sostituendo \(n=0\) nella formula ipotizzata si ottiene \(X_0 = 500 + 100 \cdot (1{,}1)^0 = 600\), che coincide con il dato iniziale. La base è verificata.
• Passo induttivo: Supponiamo vera la formula per un generico anno \(n\) (ipotesi induttiva) e dimostriamo che essa continua a valere per l'anno \(n+1\). Riprendiamo la legge ricorsiva del testo e sostituiamo l'ipotesi induttiva al posto di \(X_n\): \[X_{n+1} = 1{,}1 X_n - 50\] \[X_{n+1} = 1{,}1 \cdot \left[ 500 + 100 \cdot (1{,}1)^n \right] - 50\] Sviluppando i prodotti algebrici si ricava: \[X_{n+1} = 550 + 100 \cdot (1{,}1 \cdot (1{,}1)^n) - 50\] \[X_{n+1} = 550 - 50 + 100 \cdot (1{,}1)^{n+1} = 500 + 100 \cdot (1{,}1)^{n+1}\]

Il passo induttivo è dimostrato. La formula del termine generale è valida per ogni \(n \in \mathbb{N}\).

Metodo Alternativo: Determinazione algebrica tramite Punto Fisso

In alternativa, per via puramente algebrica, possiamo ricondurre la relazione non omogenea a una progressione geometrica pura tramite una traslazione. Cerchiamo il punto fisso (valore di equilibrio costante) del sistema ponendo \(X_{n+1} = X_n = \alpha\):

\[\alpha = 1{,}1\alpha - 50 \implies -0{,}1\alpha = -50 \implies \alpha = 500\]

Introduciamo la successione ausiliaria dello scarto dall'equilibrio \(Y_n = X_n - 500\). Sostituendo la relazione ricorsiva nel termine successivo si ottiene:

\[Y_{n+1} = X_{n+1} - 500 = (1{,}1X_n - 50) - 500 = 1{,}1X_n - 550 = 1{,}1(X_n - 500) = 1{,}1Y_n\]

La successione \(Y_n\) è una progressione geometrica di ragione \(q = 1{,}1\) e termine iniziale \(Y_0 = X_0 - 500 = 600 - 500 = 100\). Il suo termine generale è \(Y_n = 100 \cdot (1{,}1)^n\). Effettuando la contro-traslazione si torna alla popolazione reale: \(X_n = Y_n + 500 = 500 + 100 \cdot (1{,}1)^n\).

Punto 2: Studio asintotico e valore di soglia

Analizziamo il comportamento nel lungo periodo calcolando il limite per \(n \to +\infty\) della popolazione per \(X_0 = 600\):

\[\lim_{n \to +\infty} X_n = \lim_{n \to +\infty} \left[ 500 + 100 \cdot (1{,}1)^n \right] = +\infty\]

Essendo la ragione \(q = 1{,}1 > 1\), la componente geometrica cresce esponenzialmente. Nel caso di una popolazione iniziale superiore al valore di equilibrio \(500\), la crescita biologica prevale sull'effetto del prelievo costante dovuto alla pesca.

Per individuare la soglia critica di sopravvivenza al variare delle condizioni di partenza, estendiamo la formula del termine generale in funzione di un parametro iniziale generico \(X_0\):

\[X_n = 500 + (X_0 - 500) \cdot (1{,}1)^n\]

Da questa espressione emerge chiaramente il ruolo del punto di equilibrio \(500\) come spartiacque dinamico:

• Se \(X_0 = 500\), lo scarto iniziale si annulla e la popolazione rimane costante nel tempo: \(X_n = 500\). Si tratta di un equilibrio stazionario in cui la crescita biologica compensa esattamente il prelievo della pesca.
• Se \(X_0 < 500\), il coefficiente \((X_0 - 500)\) diventa negativo. La componente geometrica agisce quindi in sottrazione rispetto al valore di equilibrio e, poiché \((1{,}1)^n \to +\infty\), si ha \(X_n \to -\infty\). Dal punto di vista biologico, questo significa che la popolazione raggiunge lo zero e la specie è destinata all'estinzione.

Soluzione del Quesito 3

Punto 1: Coordinate dei vertici e volume

Poiché l'area della base quadrata è pari a \(16\), la lunghezza di ciascun lato del quadrato è \(\ell = \sqrt{16} = 4\).
Il quadrato ha il centro nell'origine \(O(0,0,0)\) e i lati paralleli agli assi coordinati; di conseguenza, i suoi vertici si trovano simmetrici rispetto agli assi nei quattro quadranti del piano \(z = 0\), a una distanza di \(2\) unità da ciascun asse.

Disponendo i vertici in ordine ciclico (antiorario), otteniamo le seguenti coordinate:

\[A(2, -2, 0), \quad B(2, 2, 0), \quad C(-2, 2, 0), \quad D(-2, -2, 0)\]

L'altezza \(h\) della piramide retta corrisponde alla quota del vertice \(V(0,0,3)\), dunque \(h = 3\). Il volume \(V\) si calcola con la classica formula geometrica:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \text{Area}_{\text{base}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16\]

Punto 2: Equazione della faccia e distanza dall'origine

Metodo 1: Approccio Analitico Tradizionale (Fascio di piani / Sistema)

Il piano della faccia \(VAB\) passa per i tre punti non allineati \(V(0,0,3)\), \(A(2,-2,0)\) e \(B(2,2,0)\). L'equazione cartesiana generale di un piano nello spazio è:

\[ax + by + cz + d = 0\]

Imponiamo il passaggio per i tre punti noti in modo da determinare i coefficienti impostando un sistema di equazioni:

• Passaggio per \(V(0,0,3) \implies a(0) + b(0) + c(3) + d = 0 \implies 3c + d = 0\)
• Passaggio per \(A(2,-2,0) \implies a(2) + b(-2) + c(0) + d = 0 \implies 2a - 2b + d = 0\)
• Passaggio per \(B(2,2,0) \implies a(2) + b(2) + c(0) + d = 0 \implies 2a + 2b + d = 0\)

Risolviamo il sistema per riduzione o sostituzione. Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla terza, otteniamo immediatamente:

\[(2a + 2b + d) - (2a - 2b + d) = 0 \implies 4b = 0 \implies b = 0\]

Sostituendo \(b = 0\), le equazioni rimanenti si riducono a:

\[\begin{cases} d = -3c \\ 2a + d = 0 \end{cases} \implies 2a - 3c = 0 \implies a = \frac{3}{2}c\]

Esprimiamo ora tutti i coefficienti in funzione del parametro \(c\): avremo \(a = \frac{3}{2}c\), \(b = 0\) e \(d = -3c\). Scegliendo arbitrariamente \(c = 2\) (valore ideale per eliminare la frazione e ottenere coefficienti interi minimi), ricaviamo:

\[a = 3, \quad b = 0, \quad c = 2, \quad d = -6\]

L'equazione del piano cercato è quindi:

\[3x + 2z - 6 = 0\]

Per trovare la distanza dell'origine \(O(0,0,0)\) dal piano appliciamo la formula standard della distanza punto-piano:

\[d(O, \pi) = \frac{|3(0) + 0(0) + 2(0) - 6|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 2^2}} = \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}\]

Metodo 2: Approccio Geometrico (Sezione della Piramide ed Euclide)

Possiamo giungere allo stesso risultato sfruttando le proprietà simmetriche della figura senza ricorrere alle equazioni cartesiane. Consideriamo il punto medio del segmento \(AB\), che è \(M(2, 0, 0)\). Il segmento \(OM\) rappresenta l'apotema della base e misura esattamente \(2\).

Il triangolo \(VOM\) formato dall'origine, dal centro del lato e dal vertice della piramide è un triangolo rettangolo in \(O\), dove i cateti sono l'altezza della piramide \(OV = 3\) e l'apotema di base \(OM = 2\). La distanza dell'origine dal piano della faccia laterale coincide esattamente con l'altezza \(OH\) del triangolo rettangolo \(VOM\) relativa all'ipotenusa \(VM\) (apotema della piramide).

Calcoliamo l'ipotenusa \(VM\) con il Teorema di Pitagora:

\[VM = \sqrt{OV^2 + OM^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\]

Sfruttando la formula dell'area del triangolo rettangolo (prodotto dei cateti diviso ipotenusa), ricaviamo immediatamente l'altezza \(OH\):

\[OH = \frac{OM \cdot OV}{VM} = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}\]

Punto 3: Equazione della sfera tangente

Una sfera con centro nell'origine \(O(0,0,0)\) e tangente a un piano ha come raggio \(R\) esattamente la distanza del centro dal piano stesso. Nel punto precedente abbiamo ricavato che la distanza dell'origine dalla faccia \(VAB\) è pari alla lunghezza del segmento \(OH\).

Di conseguenza, il raggio della sfera è \(R = OH = \frac{6}{\sqrt{13}}\). Elevando al quadrato per ricavare il termine della formula canonica otteniamo:

\[R^2 = \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2 = \frac{36}{13}\]

L'equazione cartesiana di una sfera centrata nell'origine è definita dalla relazione \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\). Sostituendo il valore del raggio al quadrato, si ricava direttamente l'equazione cercata:

\[x^2 + y^2 + z^2 = \frac{36}{13}\]

Soluzione del Quesito 4

Punto 1: Continuità e derivabilità in \(x = 1\)

I singoli rami della funzione (un polinomio di secondo grado e una funzione logaritmica traslata) sono continui e derivabili nei rispettivi intervalli di definizione. L'unico punto critico in cui verificare la regolarità della funzione è il punto di raccordo \(x = 1\).

Condizione di Continuità

Affinché la funzione sia continua in \(x = 1\), il limite sinistro, il limite destro e il valore della funzione in quel punto devono coincidere:

\[\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)\]

• Limite sinistro e valore della funzione: \(\lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = 1 + a + b\)
• Limite destro: \(\lim_{x \to 1^+} (\ln(x) + 2) = \ln(1) + 2 = 2\)

Uguagliando i due risultati otteniamo la prima equazione:

\[1 + a + b = 2 \implies a + b = 1\]

Condizione di Derivabilità

Una volta garantita la continuità, calcoliamo la derivata prima nei due rami aperti:

\[f'(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{se } 0 \le x < 1 \\ \frac{1}{x} & \text{se } x > 1 \end{cases}\]

Affinché la funzione sia derivabile in \(x = 1\), la derivata sinistra e la derivata destra devono essere uguali (assenza di punti angolosi):

\[\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \implies 2(1) + a = \frac{1}{1} \implies 2 + a = 1 \implies a = -1\]

Risoluzione del sistema

Sostituendo \(a = -1\) nella relazione della continuità (\(a + b = 1\)), ricaviamo:

\[-1 + b = 1 \implies b = 2\]

La funzione cercata è quindi:

\[f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 2 & \text{se } 0 \le x \le 1 \\ \ln(x) + 2 & \text{se } x > 1 \end{cases}\]

Punto 2: Applicazione del Teorema di Lagrange

Il Teorema di Lagrange (o del valor medio) richiede due ipotesi fondamentali nell'intervallo chiuso \([0, e]\):

1. Che la funzione sia continua nell'intervallo chiuso \([0, e]\).
2. Che la funzione sia derivabile nell'intervallo aperto \((0, e)\).

Entrambe le condizioni sono verificate grazie ai valori dei parametri calcolati nel Punto 1, poiché il punto di raccordo \(x=1\) appartiene all'intervallo considerato.

La tesi del teorema afferma che esiste almeno un punto \(c \in (0, e)\) tale che la derivata in quel punto sia uguale al rapporto incrementale della funzione agli estremi dell'intervallo:

\[f'(c) = \frac{f(e) - f(0)}{e - 0}\]

Calcoliamo i valori della funzione agli estremi:

• \(f(0) = 0^2 - 0 + 2 = 2\) (usando il primo ramo)
• \(f(e) = \ln(e) + 2 = 1 + 2 = 3\) (usando il secondo ramo)

Il rapporto incrementale (che rappresenta geometricamente il coefficiente angolare della retta passante per i punti estremi del grafico) è:

\[\frac{f(e) - f(0)}{e - 0} = \frac{3 - 2}{e} = \frac{1}{e}\]

Cerchiamo ora il punto \(c\) uguagliando l'espressione della derivata a \(\frac{1}{e}\), analizzando i due rami separatamente:

• Nel primo ramo (\(0 < c \le 1\)): \[2c - 1 = \frac{1}{e} \implies 2c = 1 + \frac{1}{e} \implies c = \frac{1}{2} + \frac{1}{2e}\] Poiché \(e \approx 2{,}718\), il valore ottenuto è circa \(0{,}5 + 0{,}184 = 0{,}684\). Questo valore appartiene strettamente all'intervallo \((0, 1)\), quindi è una soluzione accettabile.
• Nel secondo ramo (\(1 < c < e\)): \[\frac{1}{c} = \frac{1}{e} \implies c = e\] Tuttavia, il Teorema di Lagrange richiede che il punto \(c\) si trovi all'interno dell'intervallo aperto \((0, e)\). Essendo \(c = e\) un estremo, questa soluzione non è accettabile.

Soluzione del Quesito 5

Sia \(a\) la misura del lato maggiore e \(b\) la misura del lato minore del rettangolo iniziale \(ABCD\), con \(a > b\). Sappiamo che l'area del foglio è:

\[a \cdot b = 1 \implies b = \frac{1}{a}\]

Tagliando il foglio a metà parallelamente al lato minore \(b\) (condotta attraverso i punti medi \(E\) ed \(F\)), si ottengono due rettangoli più piccoli aventi dimensioni \(b\) e \(\frac{a}{2}\). Affinché vi sia similitudine, il rapporto tra il lato maggiore e il lato minore del nuovo rettangolo deve essere identico a quello del rettangolo di partenza \(\left(\frac{a}{b}\right)\). Analizziamo le relazioni possibili tra le nuove dimensioni:

Caso 1: \(\frac{a}{2} < b\) (Configurazione geometricamente coerente)

Se \(\frac{a}{2} < b\), nel nuovo rettangolo il lato maggiore è \(b\) e il lato minore è \(\frac{a}{2}\). Impostando la proporzione di similitudine tra i lati corrispondenti (\(\frac{\text{lato maggiore}}{\text{lato minore}}\)), otteniamo:

\[\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{2}} \implies \frac{a}{b} = \frac{2b}{a}\]

Moltiplicando incrociato si ricava:

\[a^2 = 2b^2 \implies a = b\sqrt{2}\]

Mettiamo a sistema questa relazione con la condizione sull'area (\(a \cdot b = 1 \implies b = \frac{1}{a}\)):

\[a^2 = 2\left(\frac{1}{a}\right)^2 \implies a^2 = \frac{2}{a^2} \implies a^4 = 2\]

Estraendo la radice quarta (considerando solo la soluzione reale positiva trattandosi di una lunghezza):

\[a = \sqrt[4]{2}\text{ m}\]

Di conseguenza, ricaviamo la dimensione del lato minore \(b\):

\[b = \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\text{ m}\]

Caso 2: \(\frac{a}{2} > b\)

Se \(\frac{a}{2} > b\), nel nuovo rettangolo il lato maggiore sarebbe \(\frac{a}{2}\) e il lato minore sarebbe \(b\). La proporzione di similitudine diventerebbe:

\[\frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{2}}{b} \implies \frac{a}{b} = \frac{a}{2b} \implies \frac{a}{2} = a\]

Tale uguaglianza è palesemente impossibile (\(1 = 2\)) per qualunque dimensione non nulla, determinando un assurdo matematico.

Caso 3: \(\frac{a}{2} = b\)

Se fosse \(\frac{a}{2} = b\), il taglio dividerebbe il rettangolo di partenza in due quadrati perfetti. Tuttavia, un quadrato può essere simile soltanto a un altro quadrato (avendo il rapporto tra i lati pari a \(1\)), mentre il rettangolo iniziale ha per ipotesi \(a = 2b\), ovvero un rapporto tra i lati pari a \(2\). Anche questo caso non è accettabile.

Soluzione del Quesito 6

Punto 1: Esistenza e unicità della soluzione

Poniamo \(f(x) = e^x + x - 4\): l'equazione data equivale a \(f(x) = 0\). La funzione \(f\) è continua e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\), essendo somma di una funzione esponenziale e di un polinomio.

Esistenza: Teorema degli zeri

Calcoliamo il valore di \(f\) agli estremi dell'intervallo \([1, 2]\):

\[f(1) = e + 1 - 4 \approx -0{,}28 < 0 \qquad f(2) = e^2 + 2 - 4 \approx 5{,}39 > 0\]

Poiché \(f\) è continua in \([1,2]\) e assume segni opposti agli estremi, per il teorema degli zeri esiste almeno una soluzione \(c \in (1,2)\) tale che \(f(c) = 0\).

Unicità: studio della monotonia

Calcoliamo la derivata prima:

\[f'(x) = e^x + 1\]

Poiché \(e^x > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), risulta \(f'(x) > 1 > 0\) su tutto il dominio: la funzione \(f\) è quindi strettamente crescente su \(\mathbb{R}\), e pertanto la soluzione individuata è unica.

Equivalentemente, l'equazione \(e^x + x - 4 = 0\) può essere riscritta come \(e^x = -x + 4\), ossia come intersezione tra il grafico della funzione esponenziale \(a(x) = e^x\) (strettamente crescente) e quello della retta \(b(x) = -x+4\) (strettamente decrescente): due funzioni con monotonia opposta possono intersecarsi in un solo punto, il punto \(A\) evidenziato in figura.

Punto 2: Approssimazione della soluzione (metodo di bisezione e delle tangenti)

Partiamo dall'intervallo \([1,2]\), in cui sono verificate le condizioni del teorema degli zeri. Applichiamo il metodo di bisezione dimezzando l'intervallo ad ogni passo:

Passo	\(a\)	\(b\)	\(m\)	\(f(m)\)	Segno	Nuovo intervallo
1	1	2	1,5	\(1{,}982\)	\(+\)	\([1; 1{,}5]\)
2	1	1,5	1,25	\(0{,}740\)	\(+\)	\([1; 1{,}25]\)
3	1	1,25	1,125	\(0{,}205\)	\(+\)	\([1; 1{,}125]\)

Dopo tre passi di bisezione, l'intervallo si è ristretto a \([1;\,1{,}125]\), con \(f(1{,}125) \approx 0{,}205 > 0\). Per accelerare la convergenza, applichiamo ora il metodo delle tangenti (Newton).

Condizioni di applicabilità: calcoliamo la derivata seconda:

\[f''(x) = e^x > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\]

La concavità è quindi sempre rivolta verso l'alto. Essendo \(f''(x) > 0\), conviene scegliere come punto di partenza l'estremo in cui \(f\) ha lo stesso segno di \(f''\), ovvero \(x_0 = 1{,}125\) (dove \(f(x_0) > 0\)).

Applichiamo la relazione iterativa \(x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\):

Iterazione	\(x_n\)	\(f(x_n)\)	\(f'(x_n)\)	\(x_{n+1}\)
0	1,125	\(0{,}2052\)	\(4{,}0802\)	\(1{,}125 - \frac{0{,}2052}{4{,}0802} \approx 1{,}0747\)
1	1,0747	\(\approx 0{,}0038\)	\(\approx 3{,}9291\)	\(1{,}0747 - \frac{0{,}0038}{3{,}9291} \approx 1{,}0737\)

Il valore si è già stabilizzato alla terza cifra decimale. Approssimando a meno di un centesimo:

Soluzione del Quesito 7

Punto 1: Studio qualitativo della funzione integrale

L'integranda \(f(t) = (1-t)e^t\) è una funzione continua su tutto l'asse reale \(\mathbb{R}\), in quanto prodotto di un polinomio e di un'esponenziale, entrambi continui.
Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (Torricelli-Barrow), l'esistenza e la regolarità della funzione integrale sono garantite su tutto l'intervallo di continuità dell'integranda. Di conseguenza, il dominio di \(F(x)\) è l'intero insieme dei numeri reali:

\[\text{Dominio: } (-\infty, +\infty)\]

Studio della Monotonia

Sempre per il Teorema Fondamentale del Calcolo, la funzione integrale \(F(x)\) è derivabile in tutto il suo dominio e la sua derivata prima coincide esattamente con la funzione integranda valutata nell'estremo superiore di integrazione \(x\):

\[F'(x) = f(x) = (1-x)e^x\]

Studiamo il segno della derivata prima ponendo \(F'(x) \ge 0\):

\[(1-x)e^x \ge 0\]

Poiché il fattore esponenziale \(e^x\) è strettamente positivo per qualsiasi valore reale di \(x\), il segno dipende esclusivamente dal termine lineare:

\[1-x \ge 0 \implies x \le 1\]

Da questo studio ricaviamo il comportamento di \(F(x)\):

• Per \(x < 1\), si ha \(F'(x) > 0\), dunque la funzione è strettamente crescente.
• Per \(x > 1\), si ha \(F'(x) < 0\), dunque la funzione è strettamente decrescente.
• In \(x = 1\) la derivata si annulla e la funzione passa da crescente a decrescente; pertanto, \(x = 1\) è un punto di massimo relativo e assoluto.

L'ordinata del punto di massimo corrisponde a \(F(1) = \int_0^1 (1-t)e^t \, dt\).

Punto 2: Calcolo analitico dell'integrale

Per ricavare l'espressione analitica di \(F(x)\), calcoliamo l'integrale indefinito associato ricorrendo al metodo di integrazione per parti, data la presenza del prodotto tra un polinomio e un'esponenziale \(\left(\int u \cdot v' \, dt = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dt\right)\):

• Fattore finito: \(u = 1-t \implies u' = -1\)
• Fattore differenziale: \(v' = e^t \implies v = e^t\)

Applicando la formula:

\[\int (1-t)e^t \, dt = (1-t)e^t - \int (-1)e^t \, dt = (1-t)e^t + e^t + c\]

Raccogliendo il termine \(e^t\), otteniamo la famiglia delle primitive:

\[\int (1-t)e^t \, dt = e^t(1-t+1) + c = (2-t)e^t + c\]

Determinazione di \(F(x)\)

Sfruttando la primitiva individuata, applichiamo la formula di Newton-Leibniz tra gli estremi di integrazione \(0\) e \(x\):

\[F(x) = \left[ (2-t)e^t \right]_0^x = (2-x)e^x - (2-0)e^0 = (2-x)e^x - 2\]

L'espressione analitica della funzione integrale è quindi:

\[F(x) = (2-x)e^x - 2\]

Verifica del punto di massimo

Per verificare la coerenza del risultato, deriviamo l'espressione analitica di \(F(x)\) appena calcolata, verificando che la sua derivata si annulli nel punto di estremo trovato al Punto 1 e che coincida con l'integranda iniziale:

\[F'(x) = \frac{d}{dx}\left[(2-x)e^x - 2\right] = (-1)e^x + (2-x)e^x = (-1 + 2 - x)e^x = (1-x)e^x\]

La derivata coincide perfettamente con la funzione integranda \(f(x)\). Studiando nuovamente il segno di \(F'(x) \ge 0\):

\[(1-x)e^x \ge 0 \implies 1-x \ge 0 \implies x \le 1\]

Questo conferma in modo indipendente che \(x = 1\) è l'unico punto di massimo relativo e assoluto per la funzione. Sostituendo infine \(x = 1\) nell'espressione di \(F(x)\), ne ricaviamo l'ordinata esatta:

\[F(1) = (2-1)e^1 - 2 = e - 2\]

Le coordinate cartesiane del punto di massimo sono quindi \(M(1, e-2)\), in perfetto e rigoroso accordo con le deduzioni geometriche e teoriche del Punto 1.

Soluzione del Quesito 8

Analisi della forma indeterminata e condizioni di applicabilità

Sostituendo direttamente \(x = 0\) all'interno del limite, otteniamo:

\[\frac{\cos(0) - 1 + k(0)^2}{0^4} = \frac{1 - 1 + 0}{0} = \left[\frac{0}{0}\right]\]

Ci troviamo di fronte a una forma indeterminata del tipo \(\left[\frac{0}{0}\right]\). Prima di procedere con il Teorema di de L'Hôpital, verifichiamo preliminarmente le sue rigide condizioni di applicabilità nell'intorno \(I\) di \(x_0 = 0\):

• Continuità e derivabilità: Le funzioni a numeratore \(f(x) = \cos(x) - 1 + kx^2\) e a denominatore \(g(x) = x^4\) sono combinazioni di funzioni elementari (un coseno e due polinomi) continue e derivabili infinite volte su tutto \(\mathbb{R}\), e quindi certamente in ogni intorno di \(x_0 = 0\).
• Annullamento della derivata del denominatore: La derivata del denominatore è \(g'(x) = 4x^3\). Essa si annulla solo per \(x = 0\); pertanto, in un intorno puntato di \(x_0\) (ovvero \(I \setminus \{0\}\)), si ha correttamente \(g'(x) \neq 0\).
• Esistenza del limite del rapporto delle derivate: Verificheremo questa condizione al termine del calcolo: se il limite del rapporto delle derivate esiste (finito o infinito), allora esisterà anche il limite di partenza e i due valori coincideranno.

Risoluzione (Primo passaggio)

Essendo soddisfatti i requisiti di validità, deriviamo separatamente il numeratore e il denominatore rispetto alla variabile \(x\):

\[f'(x) = -\sin(x) + 2kx \qquad \text{e} \qquad g'(x) = 4x^3\]

Il limite si trasformerà quindi nel rapporto delle derivate prime:

\[\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x) + 2kx}{4x^3}\]

Sostituendo nuovamente \(x = 0\), constatiamo il ripresentarsi di una forma indeterminata \(\left[\frac{0}{0}\right]\).
Le condizioni di de L'Hôpital sono ancora valide per questo nuovo rapporto (le funzioni sono nuovamente derivabili in un intorno di \(0\) e la nuova derivata del denominatore, \(12x^2\), non si annulla per \(x \neq 0\)). Procediamo quindi a derivare una seconda volta:

\[f''(x) = -\cos(x) + 2k \qquad \text{e} \qquad g''(x) = 12x^2\]

Ci riduciamo così a studiare il seguente limite:

\[\lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x) + 2k}{12x^2}\]

Discussione del parametro \(k\)

Analizziamo il comportamento del numeratore per \(x \to 0\): il termine \(-\cos(x) + 2k\) tende al valore numerico ben definito \(-1 + 2k\). La discussione si sposta sull'annullamento o meno di questa quantità.

• Caso 1: \(-1 + 2k \neq 0 \implies k \neq \frac{1}{2}\)
  Se il parametro è diverso da \(\frac{1}{2}\), il numeratore tende a un valore reale finito e non nullo (\(-1 + 2k\)), mentre il denominatore \(12x^2\) tende a \(0^+\) (essendo una potenza pari, mantiene segno positivo sia da destra sia da sinistra).
  Il limite del rapporto delle derivate diverge a infinito; il segno dipende interamente dal numeratore:
  • Se \(k > \frac{1}{2}\), si ha \(-1 + 2k > 0 \implies \text{il limite è } +\infty\).
  • Se \(k < \frac{1}{2}\), si ha \(-1 + 2k < 0 \implies \text{il limite è } -\infty\).
  Nota di coerenza: Poiché il limite del rapporto delle derivate esiste (vale \(\pm\infty\)), per il teorema di de L'Hôpital esiste anche il limite originario e ha lo stesso valore.
• Caso 2: \(-1 + 2k = 0 \implies k = \frac{1}{2}\) (Valore critico)
  Se il parametro assume il valore \(\frac{1}{2}\), il limite delle derivate seconde si presenta ancora nella forma \(\left[\frac{0}{0}\right]\): \[\lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x) + 1}{12x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{12x^2}\] Invece di procedere a oltranza con le derivate, l'isolamento della costante a denominatore permette di applicare il limite notevole del coseno \(\left(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}\right)\): \[\lim_{x \to 0} \frac{1}{12} \cdot \left[ \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \right] = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{24}\] Essendo \(\frac{1}{24}\) un valore reale determinato, la tesi del teorema è pienamente soddisfatta e il limite iniziale converge a tale valore.