Simulazione 6 - Problema 1 - Esame di Stato 2026

Soluzione del punto 1

Una funzione è simmetrica rispetto all'origine se e solo se è dispari, ovvero se vale la condizione \(f(-x) = -f(x)\) per ogni \(x\) del dominio. Verifichiamo direttamente:

\[f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x^3}{x^2 - 1} = -\frac{x^3}{x^2 - 1} = -f(x)\]

Soluzione del punto 2

Dominio

La funzione è una frazione algebrica; il denominatore si annulla per \(x^2 - 1 = 0\), ossia per \(x = \pm 1\). Il dominio è quindi:

\[D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\, 1\} = (-\infty;\,-1) \cup (-1;\,1) \cup (1;\,+\infty)\]

Intersezioni con gli assi

Per \(x = 0\): \(f(0) = 0\), quindi l'unica intersezione è l'origine \(O(0;\,0)\).
Per \(y = 0\): il numeratore \(x^3 = 0\) implica \(x = 0\). L'unico zero è confermato in \(x = 0\).

Segno della funzione

Studiamo il segno di \(\dfrac{x^3}{x^2 - 1} \ge 0\). Il numeratore \(x^3 \ge 0\) per \(x \ge 0\); il denominatore \(x^2 - 1 > 0\) per \(|x| > 1\). Con la regola dei segni:

\[f(x) \ge 0 \iff -1 < x \le 0 \quad \text{oppure} \quad x > 1\]

Limiti e asintoti

Limiti agli estremi del dominio:

\[ \begin{aligned} &\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^2} = -\infty \\[6pt] &\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2} = +\infty \end{aligned} \]

Non esistono asintoti orizzontali.

Asintoti verticali: In \(x = -1\) e \(x = 1\) il denominatore si annulla mentre il numeratore no:

\[ \begin{aligned} &\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty \\[6pt] &\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \end{aligned} \]

Le rette \(x = -1\) e \(x = 1\) sono asintoti verticali.

Asintoto obliquo: Essendo il grado del numeratore (3) superiore di 1 al grado del denominatore (2), cerchiamo un asintoto obliquo \(y = mx + q\):

\[m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1\] \[ \begin{aligned} q &= \lim_{x \to \pm\infty} \left[f(x) - x\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\frac{x^3}{x^2 - 1} - x\right] = \\ &= \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - x(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0 \end{aligned} \]

L'asintoto obliquo è \(y = x\), valido sia per \(x \to +\infty\) che per \(x \to -\infty\).

Derivata prima e monotonia

Applichiamo la regola del quoziente:

\[f'(x) = \frac{3x^2(x^2 - 1) - x^3 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2 - 1)^2} =\] \[=\frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}\]

Poiché \(x^2 \ge 0\) e \((x^2-1)^2 > 0\) sempre, il segno di \(f'(x)\) dipende da \(x^2 - 3\):

• \(f'(x) > 0\) per \(x < -\sqrt{3}\) oppure \(x > \sqrt{3}\): funzione crescente.
• \(f'(x) < 0\) per \(-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}\), \(x \neq \pm 1\): funzione decrescente.
• \(f'(x) = 0\) per \(x = 0\) (flesso) e per \(x = \pm\sqrt{3}\) (estremi relativi).

Quindi:

• Massimo relativo in \(x = -\sqrt{3}\): \(\quad f(-\sqrt{3}) = \dfrac{-3\sqrt{3}}{3-1} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2{,}6\)
• Minimo relativo in \(x = \sqrt{3}\): \(\quad f(\sqrt{3}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{3-1} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}6\)

Derivata seconda e concavità

Calcoliamo la derivata seconda:

\[f''(x) = \frac{2x^3 + 6x}{(x^2 - 1)^3}\]

Il segno di \(f''(x)\) dipende dal segno di \(\dfrac{x(2x^2+6)}{x^2-1} = \dfrac{x}{x^2-1}\) (poiché \(2x^2+6 > 0\) sempre):

• \(f''(x) > 0\) (concavità verso l'alto) per \(-1 < x \le 0\) oppure \(x > 1\).
• \(f''(x) < 0\) (concavità verso il basso) per \(x < -1\) oppure \(0 \le x < 1\).

Il punto \(x = 0\) è un flesso a tangente orizzontale (confermato dalla derivata prima).

Grafico

Soluzione del punto 3

Per verificare che \(F(x)\) è una primitiva di \(f(x)\), è sufficiente dimostrare che \(F'(x) = f(x)\). Calcoliamo la derivata di \(F(x)\) applicando le regole di derivazione elementari:

\[F'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln|x^2 - 1|\right) = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 - 1}\]

Raccogliendo al denominatore comune \(x^2 - 1\):

\[ \begin{aligned} F'(x) &= x + \frac{x}{x^2 - 1} = \frac{x(x^2 - 1) + x}{x^2 - 1} = \\ &= \frac{x^3 - x + x}{x^2 - 1} = \frac{x^3}{x^2 - 1} = f(x) \end{aligned} \]

Soluzione del punto 4

a) Errore tra trapezoide e trapezio

1. Calcolo di \(f(2)\) e \(f(3)\)

\[f(2) = \frac{2^3}{2^2 - 1} = \frac{8}{3}, \qquad f(3) = \frac{3^3}{3^2 - 1} = \frac{27}{8}\]

2. Area del trapezio \(ABCD\)

Il trapezio ha le basi parallele \(\overline{AD} = f(2) = \dfrac{8}{3}\) e \(\overline{BC} = f(3) = \dfrac{27}{8}\), con altezza \(h = 3 - 2 = 1\). Pertanto:

\[\text{Area}(ABCD) = \frac{\overline{AD} + \overline{BC}}{2} \cdot h = \frac{\dfrac{8}{3} + \dfrac{27}{8}}{2} \cdot 1 =\] \[=\frac{\dfrac{64}{24} + \dfrac{81}{24}}{2} = \frac{\dfrac{145}{24}}{2} = \frac{145}{48} \approx 3{,}02\]

3. Area del trapezoide (integrale definito)

L'area della regione compresa tra la curva \(\gamma\), l'asse \(x\) e le rette \(x = 2\), \(x = 3\) si calcola con l'integrale definito. Poiché \(f(x) > 0\) per \(x > 1\), l'integrale è direttamente l'area cercata. Sfruttiamo la primitiva \(F(x)\) trovata al punto 3:

\[ \begin{aligned} \int_2^3 \frac{x^3}{x^2-1}\,dx &= \int_2^3 \frac{x(x^2-1)+x}{x^2-1}\,dx = \int_2^3 x\,dx + \int_2^3 \frac{x}{x^2-1}\,dx = \\ &= \left[\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x^2-1|\right]_2^3 \end{aligned} \]

Calcoliamo i valori agli estremi:

\[F(3) = \frac{9}{2} + \frac{1}{2}\ln(8), \qquad F(2) = 2 + \frac{1}{2}\ln(3)\] \[ \begin{aligned} \int_2^3 f(x)\,dx &= F(3) - F(2) = \frac{9}{2} + \frac{1}{2}\ln(8) - 2 - \frac{1}{2}\ln(3) = \\ &= \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right) \approx 2{,}99 \end{aligned} \]

4. Calcolo dell'errore

\[ \varepsilon = \left|\frac{145}{48} - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)\right| \approx |3{,}0208 - 2{,}9896| \approx 0{,}03 \]

b) Metodo dei trapezi con \(n = 5\)

Applichiamo il metodo dei trapezi sull'intervallo \([2;\,3]\) con \(n = 5\) sottointervalli. Il passo è:

\[h = \frac{3 - 2}{5} = 0{,}2\]

I nodi e i valori della funzione sono:

Applicando la formula dei trapezi:

\[T_5 = \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + 2f(x_4) + f(x_5)\right]\] \[ \begin{aligned} T_5 &= \frac{0{,}2}{2}\bigl[2{,}6667 + 2(2{,}7729) + 2(2{,}9042) + 2(3{,}0514) + 2(3{,}2094) + 3{,}375\bigr] = \\ &= 0{,}1 \cdot \bigl[2{,}6667 + 5{,}5458 + 5{,}8084 + 6{,}1028 + 6{,}4188 + 3{,}375\bigr] = \\ &= 0{,}1 \cdot 29{,}9175 \approx 2{,}992 \end{aligned} \]