Tema di: MATEMATICA

1. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è data la parabola g di equazione:

1. verifichi che le tangenti a e b alla parabola g , rispettivamente in A’ e B’, s’incontrano in un punto E dell’asse y;
2. detti C e D i rispettivi punti d'intersezione di a e b con l’asse x, esprima in funzione di l l’area s del triangolo CED;
3. studi la funzione s(l ) e tracci, in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali O’l s, la curva C di equazione s = s(l );
4. detto l ₀ il valore di l per cui s assume valore minimo relativo, e detti a₀ e b₀ le posizioni di a e b per detto valore, calcoli l’area della regione finita del semipiano di equazione , compresa tra g , a₀ e b₀;
5. osservato che, nell'ipotesi posta di l >1, esistono due valori l ₁ e l ₂, con l ₁<l ₂, per cui il triangolo CED è equivalente al quadrato di lato OA, descriva una procedura che consenta di calcolare i valori approssimati di l ₁ con un’approssimazione di 10^-n e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.
   

2. In un piano a è assegnato il triangolo ABC, retto in B, i cui cateti AB e BC misurano rispettivamente 4 e 3.

1. dimostri, geometricamente o algebricamente, che, come tutte le altre facce del tetraedro VABC, anche la faccia VBC è un triangolo rettangolo, il cui angolo retto è VC;
2. calcoli il volume e la superficie totale del tetraedro;
3. detto M il punto medio di VA e P un punto dello stesso segmento a distanza x da V, esprima in funzione di x il volume v del tetraedro MPQR, essendo Q ed R le rispettive intersezioni degli spigoli VB e VC con il piano b parallelo ad a e passante per P;
4. studi come varia v al variare di P sul segmento VA, determinando in particolare la posizione di P in cui il volume v assume valore massimo assoluto;
5. detto D il punto medio di VB ed E il punto di AC tale che AE=AB, determini la posizione P* di P che rende minima la somma DP+PE (si consiglia di far ruotare il triangolo VAB attorno ad AV fino a portarlo nel piano del triangolo VAE, simmetricamente a quest’ultimo, e considerare la somma D’P+PE, essendo D’ il corrispondente di D nella suddetta rotazione).
   

3. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy sono dati i punti P(x,y), A(x’,y’), B(x",y"), P’(X,Y), legati dalle seguenti relazioni:

1. dica la natura delle trasformazioni T_l, T₂, T₃, rappresentate rispettivamente dalle predette equazioni;
2. determini la trasformazione T che fa passare da P a P’;
3. studi la trasformazione T enunciandone le proprietà e determinandone, in particolare, gli eventuali elementi uniti;
4. considerati i punti C(3,0), D(0,), E(0,-), e detti g la circonferenza per tali punti, a la retta CD, g ’ ed a’ i trasformati di g ed a mediante T, determini l'area delle regioni finite di piano delimitate da g ’ ed a’;
5. determini il perimetro delle stesse regioni.