Calcolo Combinatorio — Esercizi Interattivi
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- Al termine dei passi comparirà la soluzione completa con tutti i calcoli.
📊 In fondo alla pagina trovi il bottone Mostra riepilogo: cliccalo in qualsiasi momento per vedere quanti esercizi hai risolto al primo tentativo e il numero totale di errori commessi. Puoi aggiornarlo quante volte vuoi man mano che completi gli esercizi.
Esercizio 1
In una classe ci sono 10 studenti. Quanti gruppi di 3 studenti si possono formare?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la formula corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
\(\binom{10}{3} = ?\)
Soluzione completa
Poiché l'ordine non conta, usiamo le combinazioni semplici:
\[ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \]
Risultato: si possono formare 120 gruppi.
Esercizio 2
Quanti codici diversi si possono formare usando 3 lettere distinte dell'alfabeto italiano (21 lettere)?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la formula corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
\(D_{21,3} = ?\)
Soluzione completa
Poiché l'ordine conta e le lettere devono essere distinte, usiamo le disposizioni semplici:
\[ D_{21,3} = 21 \cdot 20 \cdot 19 = 7980 \]
Risultato: si possono formare 7980 codici.
Esercizio 3
In un negozio ci sono 5 tipi di frutta e vogliamo preparare un cesto con 3 frutti (con ripetizione possibile). Quanti cesti diversi possiamo formare?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la formula corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
\( C_{5+3-1,3} = ? \)
Soluzione completa
Poiché l'ordine non conta e i frutti possono ripetersi, usiamo le combinazioni con ripetizione:
\[ C_{5+3-1,3} = C_{7,3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \]
Risultato: si possono formare 35 cesti diversi.
💡 Perché le combinazioni con ripetizione?
Abbiamo 5 oggetti (i tipi di frutta) e vogliamo raggrupparli a 3 a 3, con eventuali ripetizioni (possiamo mettere più frutti dello stesso tipo nel cesto). L'ordine non conta: un cesto con mela, mela, pera è uguale a uno con pera, mela, mela. Il numero dei cesti diversi è quindi dato dalle combinazioni con ripetizione di 5 oggetti a 3 a 3.
Esercizio 4
Quante parole distinte si possono formare con le lettere della parola "MAMMA"?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la formula corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
\( \frac{5!}{3! \cdot 2!} = ? \)
Soluzione completa
Poiché ci sono lettere ripetute (M 3 volte, A 2 volte), usiamo le permutazioni con elementi identici:
\[ P = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 \]
Risultato: si possono formare 10 parole distinte.
Esercizio 5
In una gara di corsa ci sono 8 atleti e vogliamo assegnare le medaglie d’oro, argento e bronzo. Quante possibili combinazioni di podio si possono ottenere?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la formula corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
\( D_{8,3} = ? \)
Soluzione completa
Poiché l’ordine conta e vogliamo assegnare medaglie diverse, usiamo le disposizioni semplici:
\[ D_{8,3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 \]
Risultato: ci sono 336 possibili podi.
Esercizio 6
Una squadra di basket vuole scegliere 5 giocatori tra 12 disponibili. Quante squadre diverse possono formare?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la formula corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
\( C_{12,5} = ? \)
Soluzione completa
Poiché l'ordine non conta, usiamo le combinazioni semplici:
\[ C_{12,5} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
Risultato: si possono formare 792 squadre diverse.
Esercizio 7
Quante password di 4 caratteri si possono creare usando le cifre da 0 a 9, se possono ripetersi?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la formula corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
\( 10^4 = ? \)
Soluzione completa
Poiché l’ordine conta e le cifre possono ripetersi, usiamo le disposizioni con ripetizione:
\[ D^r_{10,4} = 10^4 = 10000 \]
Risultato: si possono formare 10.000 password.
Esercizio 8
Un pasticciere deve scegliere 6 cioccolatini da 4 tipi diversi. Quante scelte diverse può effettuare se può scegliere più cioccolatini dello stesso tipo?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la formula corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
\( C_{4+6-1,6} = C_{9,6} = ? \)
Soluzione completa
Usiamo le combinazioni con ripetizione perché i cioccolatini dello stesso tipo possono ripetersi:
\[ C^r_{4,6} = C^r_{9,6} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = 84 \]
Risultato: si possono creare 84 scelte diverse.
💡 Perché le combinazioni con ripetizione?
Abbiamo \(n = 4\) tipi di cioccolatini (gli oggetti) e vogliamo sceglierne \(k = 6\) (la classe), potendo ripetere lo stesso tipo. L'ordine non conta: una scelta con 2 fondenti e 4 al latte è uguale a una con 4 al latte e 2 fondenti. Il numero di scelte diverse è quindi dato dalle combinazioni con ripetizione di 4 oggetti a 6 a 6.
Esercizio 9
Quante parole di 5 lettere si possono formare con le lettere A, B, C, D, E se la A deve essere sempre la prima lettera?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la formula corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
\( (5-1)! = ? \)
Soluzione completa
Poiché la prima lettera è fissata, dobbiamo permutare le altre 4 lettere:
\[ (5-1)! = 4! = 24 \]
Risultato: si possono formare 24 parole.
Esercizio 10
Un'azienda deve selezionare un comitato di 4 persone tra 6 uomini e 5 donne, ma il comitato deve includere almeno 2 donne. Quante scelte diverse sono possibili?
1️⃣ Quale metodo bisogna usare?
2️⃣ Qual è la strategia corretta?
3️⃣ Calcoliamo il risultato
Comitati con 2 donne e 2 uomini: \( C_{5,2} \cdot C_{6,2} \)
Comitati con 3 donne e 1 uomo: \( C_{5,3} \cdot C_{6,1} \)
Comitati con 4 donne e 0 uomini: \( C_{5,4} \cdot C_{6,0} \)
Quindi le scelte possibili sono:
\[ C_{5,2} \cdot C_{6,2} + C_{5,3} \cdot C_{6,1} + C_{5,4} \cdot C_{6,0} = ? \]
Soluzione completa
Calcoliamo i casi separati:
2 donne + 2 uomini: \( C_{5,2} \cdot C_{6,2} = 10 \cdot 15 = 150 \)
3 donne + 1 uomo: \( C_{5,3} \cdot C_{6,1} = 10 \cdot 6 = 60 \)
4 donne: \( C_{5,4} \cdot C_{6,0} = 5 \cdot 1 = 5 \)
Somma totale: \(150 + 60 + 5 = 215\)
Risultato: si possono formare 215 comitati.