Soluzione quesito 1:

Punto a) — Dimostrazione che \(f(n) = 2^n\)

Basta applicare lo sviluppo del Binomio di Newton con \(a = 1\) e \(b = 1\):

\[ (a + b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n}b^n \]

Con \(a = 1\) e \(b = 1\) abbiamo:

\[ 2^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n} = f(n) \quad \text{c.v.d.} \]

Punto b) — Più piccolo \(n\) per cui \(a_n < 10^{-10}\)

Dal punto a) sappiamo che \(f(n) = 2^n\), quindi:

\[ a_n = \frac{f(n)}{3^n} = \frac{2^n}{3^n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n \]

La condizione \(a_n < 10^{-10}\) diventa:

\[ \frac{2^n}{3^n} < 10^{-10} \]

Applicando il logaritmo in base 10 a entrambi i membri:

\[ \log_{10} \frac{2^n}{3^n} < \log_{10}(10^{-10}) \] \[ \log_{10} 2^n - \log_{10} 3^n < -10 \] \[ n \log_{10} 2 - n \log_{10} 3 < -10 \] \[ n(\log_{10} 2 - \log_{10} 3) < -10 \]

Poiché \(\log_{10} 2 - \log_{10} 3 < 0\), dividendo per una quantità negativa si inverte il verso della disuguaglianza:

\[ n(\log_{10} 3 - \log_{10} 2) > 10 \] \[ n > \frac{10}{\log_{10} 3 - \log_{10} 2} \cong 56{,}8 \]

Quindi il più piccolo valore di \(n\) per cui risulta \(a_n < 10^{-10}\) è \(n = 57\).

N.B. Per \(n = 56\) risulta: \[ a_n = \frac{2^{56}}{3^{56}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{56} \cong 1{,}4 \cdot 10^{-10} > 10^{-10} \] Per \(n = 57\) si ha: \[ a_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{57} \cong 9{,}2 \cdot 10^{-11} < 10^{-10} \]

Soluzione quesito 2:

Punto a) — Cinquine possibili

Poiché l'ordine non conta, il numero di cinquine possibili è dato dalle combinazioni semplici di 90 elementi a 5 a 5:

\[ C_{90,5} = \binom{90}{5} = \frac{90 \times 89 \times 88 \times 87 \times 86}{5!} = \frac{90 \times 89 \times 88 \times 87 \times 86}{120} = 43.949.268 \]

Punto b) — \(\{1,2,3,4,5\}\) o \(\{2,3,5,8,13\}\)?

Le due cinquine sono equiprobabili! Ogni singola cinquina ha la stessa probabilità di uscire:

\[ P = \frac{1}{43.949.268} \]

Non ha alcuna importanza se i numeri sono consecutivi o meno: nel gioco del Lotto ogni cinquina è ugualmente probabile.

Punto c) — Cinquine successive o non successive?

Le cinquine di 5 numeri consecutivi tra 1 e 90 sono esattamente 86 (da \(\{1,2,3,4,5\}\) fino a \(\{86,87,88,89,90\}\)).

Tutte le altre cinquine sono:

\[ 43.949.268 - 86 = 43.949.182 \]

Punto d) — Cinquine che contengono il 90

Il numero 90 è fisso nella cinquina. Dobbiamo scegliere i restanti 4 numeri dagli 89 rimanenti:

\[ \binom{89}{4} = \frac{89 \times 88 \times 87 \times 86}{4!} = \frac{89 \times 88 \times 87 \times 86}{24} = 2.441.626 \]

Punto e) — Cinquine che contengono il numero 1 e il numero 2

I numeri 1 e 2 sono fissi nella cinquina. Dobbiamo scegliere i restanti 3 numeri dagli 88 rimanenti:

\[ \binom{88}{3} = \frac{88 \times 87 \times 86}{3!} = \frac{88 \times 87 \times 86}{6} = 109.736 \]

Punto f) — Più piccolo \(n\) per cui le cinquine con almeno un numero da 1 a \(n\) superano il 50%

Le cinquine che non contengono nessun numero da 1 a \(n\) si scelgono tutte tra i rimanenti \(90 - n\) numeri:

\[ \binom{90-n}{5} \]

Le cinquine che contengono almeno uno dei numeri da 1 a \(n\) devono superare il 50% del totale:

\[ \binom{90}{5} - \binom{90-n}{5} > \frac{1}{2}\binom{90}{5} \]

Ovvero:

\[ \binom{90-n}{5} < \frac{43.949.268}{2} = 21.974.634 \]

Calcolando per valori crescenti di \(n\):

\[ n=12: \quad \binom{78}{5} = 23.535.027 > 21.974.634 \quad \text{✗} \] \[ n=13: \quad \binom{77}{5} = 21.699.544 < 21.974.634 \quad \text{✓} \]

Soluzione quesito 3:

Punto a) — Delegazioni possibili

Dobbiamo scegliere 3 studenti da 16 (12 ragazzi + 4 ragazze), senza che l'ordine conti:

\[ \binom{16}{3} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3!} = \frac{3360}{6} = 560 \]

Punto b) — Delegazioni con esattamente 2 ragazze

Scegliamo 2 ragazze tra le 4 disponibili e 1 ragazzo tra i 12:

\[ \binom{4}{2} \times \binom{12}{1} = 6 \times 12 = 72 \]

Punto c) — Delegazioni con almeno 2 ragazze

Almeno 2 ragazze significa: esattamente 2 ragazze oppure esattamente 3 ragazze. Calcoliamo i due casi separatamente e sommiamo:

Esattamente 2 ragazze (dal punto b)): \(72\)

Esattamente 3 ragazze (e 0 ragazzi):

\[ \binom{4}{3} \times \binom{12}{0} = 4 \times 1 = 4 \]

Totale:

\[ 72 + 4 = 76 \]

Punto d) — Mazzi di fiori possibili

Dobbiamo scegliere 5 fiori tra 8 tipi disponibili, con ripetizione ammessa e senza che l'ordine conti: si tratta di combinazioni con ripetizione.

Abbiamo \(n = 8\) tipi di fiori e \(k = 5\) fiori da scegliere:

\[ C^r_{8,5} = \binom{8+5-1}{5} = \binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5!} = \frac{95.040}{120} = 792 \]

Soluzione quesito 4:

Primo membro

Applicando direttamente la definizione:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Secondo membro

Sviluppiamo separatamente i due addendi:

\[ \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} = \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \]

Ricordando che \(n! = (n-1)! \cdot n\), abbiamo:

• \(k! = (k-1)! \cdot k\), da cui \((k-1)! = \dfrac{k!}{k}\)
• \((n-k)! = (n-k-1)! \cdot (n-k)\), da cui \((n-k-1)! = \dfrac{(n-k)!}{n-k}\)

Sostituendo nel secondo membro:

\[ = \frac{(n-1)!}{ k! \cdot \dfrac{(n-k)!}{n-k} } + \frac{(n-1)!}{ \dfrac{k!}{k} \cdot (n-k)!} \] \[ = \frac{(n-1)! \cdot (n-k)}{k!(n-k)!} + \frac{(n-1)! \cdot k}{k!(n-k)!} \] \[ = \frac{(n-1)!\big[(n-k) + k\big]}{k!(n-k)!} \] \[ = \frac{(n-1)! \cdot n}{k!(n-k)!} \] \[ = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Confronto

Il primo membro e il secondo membro sono uguali:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} \]

Soluzione quesito 5:

Punto a) — Anagrammi totali di MATEMATICA

La parola MATEMATICA ha 10 lettere con le seguenti ripetizioni: M×2, A×3, T×2, E×1, I×1, C×1.

\[ P_{10}^{(2,3,2)} = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3.628.800}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3.628.800}{24} = 151.200 \]

Punto b) — Anagrammi con doppio vincolo

Solo le lettere che si ripetono possono occupare prima e ultima posizione con la stessa lettera: M (×2), A (×3), T (×2). Analizziamo i tre casi separatamente.

Caso 1: prima e ultima lettera sono A

Fissiamo A in prima e ultima posizione. Nelle 8 posizioni centrali restano: M×2, A×1, T×2, E×1, I×1, C×1:

\[ \frac{8!}{2! \cdot 2!} = \frac{40.320}{4} = 10.080 \]

Di questi, sottraiamo quelli con le due M adiacenti (blocco MM, restano 7 elementi con T×2):

\[ \frac{7!}{2!} = \frac{5.040}{2} = 2.520 \]

Caso 1 valido:

\[ 10.080 - 2.520 = 7.560 \]

Caso 2: prima e ultima lettera sono M

Fissiamo M in prima e ultima posizione (le due M sono entrambe usate). Nelle 8 posizioni centrali restano: A×3, T×2, E×1, I×1, C×1:

\[ \frac{8!}{3! \cdot 2!} = \frac{40.320}{12} = 3.360 \]

La condizione "M non adiacenti" è automaticamente soddisfatta: le due M si trovano già in prima e ultima posizione, quindi non possono essere adiacenti.

Caso 2 valido: 3.360

Caso 3: prima e ultima lettera sono T

Fissiamo T in prima e ultima posizione (le due T sono entrambe usate). Nelle 8 posizioni centrali restano: M×2, A×3, E×1, I×1, C×1:

\[ \frac{8!}{2! \cdot 3!} = \frac{40.320}{12} = 3.360 \]

Di questi, sottraiamo quelli con le due M adiacenti (blocco MM, restano 7 elementi con A×3):

\[ \frac{7!}{3!} = \frac{5.040}{6} = 840 \]

Caso 3 valido:

\[ 3.360 - 840 = 2.520 \]

Totale

Sommando i tre casi:

\[ 7.560 + 3.360 + 2.520 = 13.440 \]

Soluzione quesito 6:

Punto a) — Terne senza difettosi

Scegliamo 3 videogiochi tra i 10 non difettosi:

\[ \binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120 \]

Punto b) — Terne con almeno un difettoso

Calcoliamo prima il totale delle terne possibili:

\[ \binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3!} = \frac{2730}{6} = 455 \]

Le terne con almeno un difettoso si ottengono sottraendo le terne senza difettosi:

\[ 455 - 120 = 335 \]

Punto c) — Coppie di terne

Dobbiamo contare le coppie (prima terna con almeno 1 difettoso, seconda terna senza difettosi tra i 12 rimanenti). Analizziamo i tre casi in base al numero di difettosi nella prima terna:

Caso 1: prima terna con esattamente 1 difettoso

Prime terne possibili: \(\binom{5}{1} \times \binom{10}{2} = 5 \times 45 = 225\)

Rimangono 4 difettosi + 8 non difettosi. Seconde terne senza difettosi: \(\binom{8}{3} = 56\)

\[ 225 \times 56 = 12.600 \]

Caso 2: prima terna con esattamente 2 difettosi

Prime terne possibili: \(\binom{5}{2} \times \binom{10}{1} = 10 \times 10 = 100\)

Rimangono 3 difettosi + 9 non difettosi. Seconde terne senza difettosi: \(\binom{9}{3} = 84\)

\[ 100 \times 84 = 8.400 \]

Caso 3: prima terna con esattamente 3 difettosi

Prime terne possibili: \(\binom{5}{3} = 10\)

Rimangono 2 difettosi + 10 non difettosi. Seconde terne senza difettosi: \(\binom{10}{3} = 120\)

\[ 10 \times 120 = 1.200 \]

Totale:

\[ 12.600 + 8.400 + 1.200 = 22.200 \]

Soluzione quesito 7:

Sviluppo del binomio

Consideriamo la potenza del binomio \((2a^2 - 3b^3)^n\). Applicando il Binomio di Newton:

\[ (2a^2 - 3b^3)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2a^2)^k (-3b^3)^{n-k} \]

Identificazione del termine

Il termine generico dello sviluppo contiene \(a^{2k}\) e \(b^{3(n-k)}\). Il termine in \(a^4 b^9\) si ottiene imponendo:

\[ 2k = 4 \implies k = 2 \] \[ 3(n-k) = 9 \implies n - k = 3 \implies n = k + 3 = 5 \]

Verifica del coefficiente

Il coefficiente del termine \(a^4 b^9\) nello sviluppo di \((2a^2 - 3b^3)^5\) è:

\[ \binom{5}{2} \cdot 2^2 \cdot (-3)^3 = 10 \cdot 4 \cdot (-27) = -1080 \quad \checkmark \]

Soluzione quesito 8:

Scelta delle due lettere

La scelta delle due lettere (tra le 26 possibili) è data dalle disposizioni con ripetizione di 26 oggetti a 2 a 2:

\[ D^r_{26,2} = 26^2 = 676 \]

Scelta delle cifre

La scelta di \(n\) cifre (\(1 \leq n \leq 10\)) è data dalle disposizioni con ripetizione di 10 oggetti ad \(n\) ad \(n\):

\[ D^r_{10,n} = 10^n \]

Numero totale di codici

Il numero di codici unici possibili è dato da:

\[ D^r_{26,2} \cdot D^r_{10,n} = 676 \cdot 10^n \]

Condizione sui 5 milioni

Si vuole che i codici siano almeno 5 milioni, quindi deve essere:

\[ 676 \cdot 10^n \geq 5 \cdot 10^6 \]

Dividendo entrambi i membri per 676 e applicando il logaritmo in base 10:

\[ n \geq \log_{10} \frac{5 \cdot 10^6}{676} = \log_{10} 5 + 6 - \log_{10} 676 \cong 3{,}87 \]

Quindi \(n\) deve essere almeno 4.