Dominio
Per la funzione logaritmica, l'argomento deve essere strettamente positivo:
\[ x - 1 > 0 \implies x > 1 \]
Risultato: Il dominio è \(1 < x < +\infty\)
Problema 1 tipologia Esame di Stato
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Argomenti: studio di funzione logaritmica, simmetrie di curve, normale ad una curva, area con integrali, volume di solidi di rotazione con il metodo dei gusci cilindrici.
Sia \(\Gamma\) la curva d'equazione \(y = 2 \ln (x -1)\).
Domanda 1
Nel piano riferito a coordinate cartesiane \(Oxy\), si disegni \(\Gamma\). Si scriva l'equazione della curva che è simmetrica di \(\Gamma\) rispetto all'asse \(y\) e si scrivano altresì le equazioni delle curve simmetriche di \(\Gamma\) rispetto alle rette \(x = 2\) e \(y = x\).
Simmetrie notevoli
Non essendo il dominio simmetrico rispetto all'origine, non ci possono essere simmetrie notevoli: la funzione non può essere né pari né dispari.
Intersezioni con gli assi cartesiani
Con l'asse y (\(x = 0\)): non ha senso perché \(x = 0\) è fuori dal dominio.
Con l'asse x (\(y = 0\)):
\[ 2 \ln (x -1) = 0 \implies x-1 = 1 \implies x = 2 \]
Risultato: L'unica intersezione con gli assi è il punto \((2,\, 0)\)
Segno della funzione
\[ f(x) \geq 0 \iff x-1 \geq 1 \implies x \geq 2 \]
Risultato: \(f(x) \geq 0\) per \(x \geq 2\); \(f(x) < 0\) per \(1 < x < 2\)
Limiti e asintoti
\[ \lim_{x \to 1^+} 2 \ln(x-1) = -\infty \]
➜ \(x = 1\) è un asintoto verticale.
\[ \lim_{x \to +\infty} 2 \ln(x-1) = +\infty \]
Verifichiamo se esiste asintoto obliquo:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2 \ln(x-1)}{x} = 0^+ \]
Risultato: Esiste solo l'asintoto verticale \(x = 1\). Non esistono asintoti obliqui.
Derivata prima
\[ y' = \frac{2}{x-1} \]
Per \(x > 1\) (cioè nel dominio), \(y' > 0\) sempre.
Risultato: La funzione è sempre crescente nel suo dominio. Non ci sono massimi né minimi relativi.
Derivata seconda
\[ y'' = \frac{-2}{(x-1)^2} \]
\(y'' < 0\) per ogni \(x\) del dominio.
Risultato: La funzione è sempre concava verso il basso. Non ci sono flessi.
Grafico della funzione
Il grafico di \(y = 2 \ln (x -1)\) si ottiene a partire dal grafico di \(y = \ln (x)\) operando:
- una traslazione verso destra di 1 unità (da \(\ln x\) a \(\ln(x-1)\))
- una dilatazione verticale di fattore 2
Grafico di \(y = 2\ln(x-1)\)
Trasformazioni a partire da \(y = \ln x\)
Simmetrica rispetto all'asse y
Per ottenere la simmetrica rispetto all'asse \(y\), si sostituisce \(x\) con \(-x\):
\[ y = 2 \ln (x -1) \implies y = 2\ln(-x-1) \]
Simmetrica di \(\Gamma\) rispetto all'asse \(y\)
Risultato: Equazione della simmetrica: \(y = 2\ln(-x-1)\)
Simmetrica rispetto alla retta \(x = 2\)
Per riflettere rispetto alla retta verticale \(x = 2\), si applica la trasformazione \(x \to 4 - x\):
\[
\begin{cases}
x' = 4 - x \\
y' = y
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
x \to 4 - x \\
y \to y
\end{cases}
\]
Sostituendo nella curva originale:
\[ y = 2 \ln (x -1) \implies y = 2 \ln(4 - x - 1) \implies y = 2\ln(3 - x) \]
Simmetrica di \(\Gamma\) rispetto a \(x = 2\)
Risultato: Equazione della simmetrica: \(y = 2\ln(3 - x)\)
Simmetrica rispetto alla retta \(y = x\)
Per riflettere rispetto alla retta \(y = x\), si scambiano \(x\) e \(y\) e si ricava \(y\):
\[
y = 2 \ln (x -1)
\implies x = 2 \ln(y-1)
\implies \frac{x}{2} = \ln(y-1)
\implies y-1 = e^{x/2}
\]
Simmetrica di \(\Gamma\) rispetto a \(y = x\)
Risultato: Equazione della simmetrica: \(y = e^{x/2} + 1\)
Domanda 2
Si trovi l'equazione della normale a \(\Gamma\) nel suo punto di ascissa \(e^2+1\), dove \(e\) è il numero di Nepero.
Step 1 – Calcolo del punto e della tangente
Prima calcoliamo la derivata della funzione:
\[ y' = \frac{2}{x-1} \]
Poi valutiamo funzione e derivata nel punto \(x = e^2 + 1\):
\[
y(e^2 + 1) = 2 \ln (e^2) = 4
\qquad
y'(e^2 + 1) = \frac{2}{e^2}
\]
Il punto di tangenza è quindi \(\left(e^2 + 1,\; 4\right)\).
Step 2 – Equazione della normale
La normale è perpendicolare alla tangente: il suo coefficiente angolare è \(-\dfrac{1}{y'} = -\dfrac{e^2}{2}\).
\[ y - 4 = -\frac{e^2}{2} \left(x - e^2 - 1\right) \]
Normale a \(\Gamma\) nel punto di ascissa \(e^2 + 1\)
Risultato:
\[ y = -\frac{e^2}{2}\, x + \frac{e^4}{2} + \frac{e^2}{2} + 4 \]
Domanda 3
Si calcoli l'area della regione \(R\) del piano delimitata da \(\Gamma\), dall'asse \(x\) e dalla retta \(x = e^2 + 1\).
Step 1 – Impostazione dell'integrale
La regione \(R\) da integrare
Poiché la funzione è negativa per \(1 < x < 2\) e positiva per \(x > 2\), l'area è:
\[ \text{Area}(R) = \int_{2}^{e^2 + 1} 2 \ln(x-1) \, dx \]
(La parte tra \(x=1\) e \(x=2\) ha area nulla poiché la funzione tocca l'asse in \(x=2\) e la regione R parte da \(x=2\).)
Step 2 – Integrazione per parti
Calcoliamo una primitiva di \(\ln(x-1)\):
\[
\begin{align*}
\int \ln(x-1) \, dx &= x\ln(x-1) - \int \frac{x}{x-1} \, dx \\
&= x\ln(x-1) - \int \frac{x-1+1}{x-1} \, dx \\
&= x\ln(x-1) - x - \ln|x-1| + k
\end{align*}
\]
Step 3 – Calcolo del valore definito
\[
\begin{align*}
\text{Area}(R) &= 2\left[x\ln(x-1) - x - \ln|x-1|\right]_{2}^{e^2 + 1} \\
&= 2\left[(e^2 + 1) \cdot 2 - e^2 - 1 - 2 - (-2)\right] \\
&= 2(e^2 + 1)
\end{align*}
\]
Risultato: \(\text{Area}(R) = 2(e^2 + 1) \approx 16{,}78 \text{ u}^2\)
Domanda 4
La regione \(R\) ruotando attorno all'asse \(y\) genera il solido \(\Omega\). Si calcoli il volume di \(\Omega\).
Step 1 – Impostazione con il metodo dei gusci cilindrici
Il solido \(\Omega\) generato dalla rotazione di \(R\) attorno all'asse \(y\)
Il metodo dei gusci cilindrici permette di calcolare il volume di un solido di rotazione attorno all'asse \(y\) come:
\[ V(\Omega) = \int_{2}^{e^2 + 1} 2\pi x \cdot f(x) \, dx = 4\pi \int_{2}^{e^2 + 1} x \ln(x-1) \, dx \]
Step 2 – Integrazione per parti
Scegliamo:
\[
\begin{cases}
u = \ln(x-1) \implies du = \dfrac{1}{x-1}\,dx \\[6pt]
dv = x\,dx \implies v = \dfrac{x^2}{2}
\end{cases}
\]
Applichiamo \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\):
\[
\int x \ln(x-1) \, dx = \frac{x^2}{2}\ln(x-1) - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x-1} dx
\]
Step 3 – Scomposizione della frazione
Dividiamo il polinomio:
\[ \frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1} \]
Integrando termine a termine:
\[ \int \frac{x^2}{x-1} dx = \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| \]
Step 4 – Primitiva completa
\[
\int x \ln(x-1) \, dx = \frac{x^2}{2}\ln(x-1) - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\ln|x-1| + C
\]
Step 5 – Calcolo del volume
\[
\begin{align*}
V(\Omega) &= 4\pi \left[\frac{x^2}{2}\ln(x-1) - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\ln(x-1)\right]_{2}^{e^2 + 1}
\end{align*}
\]
Risultato:
\[ V(\Omega) = \pi(3e^4 + 4e^2 + 5) \approx 623{,}14 \text{ u}^3 \]
✅ Verifica con metodo alternativo (metodo delle sezioni)
Si può ottenere lo stesso risultato calcolando \(V(\Omega) = V_1 - V_2\), dove:
- \(V_1\) = volume del cilindro con raggio \(e^2+1\) e altezza 4
- \(V_2\) = volume ottenuto ruotando la regione tra \(\Gamma\), l'asse \(y\) e \(y=4\)
\[ V_1 = \pi(e^2+1)^2 \cdot 4 = 4\pi(e^4 + 2e^2 + 1) \]
Con la funzione inversa \(x = g(y) = e^{y/2} + 1\):
\[
V_2 = \pi \int_{0}^{4} (e^{y/2} + 1)^2 \, dy = \pi \left[e^y + 4e^{y/2} + y\right]_{0}^{4} = \pi(e^4 + 4e^2 - 1)
\]
\[ V(\Omega) = V_1 - V_2 = \pi(3e^4 + 4e^2 + 5) \text{ u}^3 \quad \checkmark \]
Per approfondire il Metodo dei gusci cilindrici: metodo-gusci-cilindrici.pdf