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Argomenti: studio di funzioni cubiche, intersezioni tra curve, problema di massimo, tangenti parallele, area fra due curve con integrali, volume di solido di rotazione con il metodo dei gusci cilindrici.
Con riferimento a un sistema di assi cartesiani ortogonali \((Oxy)\):
Domanda a
Studiare le funzioni:
\[ y = f(x) = \frac{-2x^3+6x^2}{3}, \qquad y = g(x) = \frac{x^3-6x^2+12x}{3} \]
e disegnare i loro grafici.
Domanda a. Studiare le funzioni: ipsilon uguale f di x uguale meno 2x cubo più 6x quadro il tutto diviso 3,
e ipsilon uguale g di x uguale x cubo meno 6x quadro più 12x il tutto diviso 3. Disegnare i loro grafici.
\[ g'(x) = x^2-4x+4 = (x-2)^2 \geq 0 \quad \text{per ogni } x \]
La funzione è sempre crescente.
\(x=2\): flesso a tangente orizzontale con \(g(2) = \dfrac{8}{3}\)
Derivata seconda e concavità
\[ g''(x) = 2x-4 \geq 0 \iff x \geq 2 \]
Concavità verso l'alto per \(x > 2\), verso il basso per \(x < 2\).
Flesso in \(x=2\) con \(g(2) = \dfrac{8}{3}\)
Grafico di g
Grafico di \(g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x\)
Domanda b
Dopo aver verificato che, oltre al punto \(O\), tali grafici hanno in comune un altro punto \(A\), determinare sul segmento \(OA\) un punto \(P\) tale che, condotta per esso la retta parallela all'asse \(y\), sia massima la lunghezza del segmento \(RS\), dove \(R\) ed \(S\) sono i punti in cui la retta interseca i due grafici.
Domanda b. Dopo aver verificato che, oltre al punto O, i due grafici hanno in comune un altro punto A,
determinare sul segmento OA un punto P tale che, condotta per esso la retta parallela all'asse ipsilon,
sia massima la lunghezza del segmento RS, dove R ed S sono i punti in cui la retta interseca i due grafici.
I due grafici si intersecano in \(O=(0;\,0)\) e in \(A=\!\left(2;\,\dfrac{8}{3}\right)\)
I due grafici si intersecano in \(O=(0;\,0)\) e in \(A=\!\left(2;\,\dfrac{8}{3}\right)\)
Step 2 – Impostazione del problema di massimo
La retta \(OA\) ha equazione \(y = \frac{4}{3}x\). Il punto \(P\) sul segmento \(OA\) ha coordinate \(P = \!\left(t;\,\frac{4}{3}t\right)\) con \(0 \leq t \leq 2\).
La retta verticale per \(P\) è \(x = t\) e interseca le due curve in:
\[ R = \left(t;\; -\frac{2}{3}t^3 + 2t^2\right), \qquad S = \left(t;\; \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 4t\right) \]
Il punto \(P\) richiesto è \(P = \!\left(\dfrac{2}{3};\;\dfrac{8}{9}\right)\)
Domanda c
Determinare le coordinate dei punti di ascisse uguali in cui le due curve hanno tangenti parallele e verificare che, oltre al punto \(A\), si ritrovano i punti \(R\) ed \(S\).
Domanda c. Determinare le coordinate dei punti di ascisse uguali in cui le due curve hanno tangenti parallele
e verificare che, oltre al punto A, si ritrovano i punti R ed S.
Indicata con \(S\) la regione finita di piano delimitata dai grafici di \(f\) e \(g\), calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di \(S\) attorno all'asse \(y\).
Domanda e. Indicata con S la regione finita di piano delimitata dai grafici di f e g,
calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di S attorno all'asse ipsilon.
Step 1 – Formula dei gusci cilindrici
Utilizziamo il metodo dei gusci cilindrici. Per una regione delimitata da due curve
\(y = g(x)\) e \(y = f(x)\) con \(g(x) \geq f(x)\) nell'intervallo \([a, b]\), il volume del solido
ottenuto dalla rotazione attorno all'asse \(y\) è:
\[ V = 2\pi \int_a^b x \cdot [g(x) - f(x)]\, dx \]
Step 2 – Impostazione dell'integrale
Nel nostro caso \(a = 0\), \(b = 2\) e abbiamo già calcolato nella domanda d che:
Nel seguente grafico, in verde è rappresentata la superficie esterna del solido
(generata dall'arco di curva di \(f\)) e in rosa la superficie interna
(generata dall'arco di curva di \(g\)).
Il solido richiesto è una specie di calice (senza piede).
Solido di rotazione di \(S\) attorno all'asse \(y\)
Grafico di \(f(x) = -\dfrac{2}{3}x^3 + 2x^2\)
