Problema 3 tipologia Esame di Stato

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Argomenti: studio di funzione con parametro, parità e derivabilità, studio di funzione con valore assoluto, retta tangente, area con integrali.

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Si consideri la funzione \[ f_a(x) = \frac{e^{|x|+a}}{|x|+a} \] con \(a\) parametro reale.

Testo introduttivo. Si consideri la funzione f con indice a di ics uguale e tutto elevato a modulo di ics più a tutto fratto modulo di ics più a, con a parametro reale.

Domanda a

Dimostrare che:

\(f_a\) è una funzione pari per ogni \(a \in \mathbb{R}\);
\(f_a\) ha dominio \(D = \mathbb{R}\) se e solo se \(a > 0\);
\(f_a\) è derivabile per ogni \(x \in \mathbb{R}\) se e solo se \(a = 1\).

Domanda a. Dimostrare che: primo, f sub a è una funzione pari per ogni a reale; secondo, f sub a ha dominio uguale a tutti i reali se e solo se a è maggiore di zero; terzo, f sub a è derivabile per ogni x reale se e solo se a è uguale a 1.

Strategia: calcolare \(f_a(-x)\)

Una funzione è pari se \(f(-x) = f(x)\) per ogni \(x\) del dominio.

Calcolo

\[ f_a(-x) = \frac{e^{|-x|+a}}{|-x|+a} = \frac{e^{|x|+a}}{|x|+a} = f_a(x) \]

Abbiamo usato il fatto che \(|-x| = |x|\).

✅ Quindi \(f_a\) è pari per ogni valore di \(a \in \mathbb{R}\).

Quando è definita la funzione?

La funzione è definita quando il denominatore è diverso da zero:

\[ |x| + a \neq 0 \]

Poiché \(|x| \geq 0\) per ogni \(x\), si ha \(|x| + a = 0\) solo se \(a \leq 0\).

Conclusione

✅ La funzione è definita su tutto \(\mathbb{R}\) se e solo se \(a > 0\):
con \(a > 0\) il denominatore \(|x|+a \geq a > 0\) non si azzera mai.

Forma a tratti della funzione

Con \(a > 0\), scriviamo \(f_a\) togliendo il valore assoluto:

\[ f_a(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{-x+a}}{-x+a} & \text{se } x < 0 \\[8pt] \dfrac{e^a}{a} & \text{se } x = 0 \\[8pt] \dfrac{e^{x+a}}{x+a} & \text{se } x > 0 \end{cases} \]

Derivabilità per \(x \neq 0\)

Per \(x \neq 0\) la funzione è un quoziente di funzioni derivabili. Il punto critico è solo \(x = 0\).

Limiti della derivata in \(x = 0\)

\[ \lim_{x \to 0^-} f'_a(x) = -\frac{e^a(a-1)}{a^2} \]

\[ \lim_{x \to 0^+} f'_a(x) = +\frac{e^a(a-1)}{a^2} \]

Per la derivabilità i due limiti devono essere uguali:

\[ -\frac{e^a(a-1)}{a^2} = \frac{e^a(a-1)}{a^2} \implies a - 1 = 0 \implies a = 1 \]

✅ \(f_a\) è derivabile su tutto \(\mathbb{R}\) se e solo se \(a = 1\).

Domanda b

Poniamo d'ora in poi \(a = 1\). Studiare la funzione \[ f_1(x) = \frac{e^{|x|+1}}{|x|+1} \] e tracciare il suo grafico rappresentativo \(\Gamma\).

Domanda b. Poniamo a uguale a 1. Studiare la funzione f sub 1 di x uguale e elevato a modulo di x più 1, il tutto diviso modulo di x più 1. Tracciare il suo grafico rappresentativo Gamma.

Strategia: riduzione al caso senza valore assoluto

Il grafico di \(f(|x|)\) si ottiene da quello di \(f(x)\) confermando la parte per \(x > 0\) e ribaltandola a sinistra rispetto all'asse \(y\).

Posto \(f(x) = \dfrac{e^{x+1}}{x+1}\), studiamo prima la funzione ausiliaria:

\[ g(x) = \frac{e^x}{x} \]

poi otteniamo \(f(x)\) con una traslazione di vettore \((-1,\, 0)\).

Studio di \(g(x) = e^x / x\)

Dominio: \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\).

Segno: positiva per \(x > 0\), negativa per \(x < 0\).

Intersezioni: non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani.

Limiti e asintoti di \(g\)

Agli estremi del dominio:

\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x} = \left[\frac{0^+}{-\infty}\right] = 0^- \]

Asintoto orizzontale \(y = 0\) per \(x \to -\infty\).

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \]

(\(e^x\) è infinito di ordine superiore rispetto a \(x\), quindi non ci sono asintoti per \(x \to +\infty\).)

In prossimità dell'asintoto verticale \(x = 0\):

\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x}{x} = \left[\frac{1}{0^-}\right] = -\infty \]

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x} = \left[\frac{1}{0^+}\right] = +\infty \]

Asintoto verticale \(x = 0\); asintoto orizzontale \(y = 0\) per \(x \to -\infty\).

Derivata prima e monotonia di \(g\)

Applichiamo la regola del quoziente:

\[ g'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2} \]

Poiché \(e^x > 0\) e \(x^2 > 0\) sempre, il segno dipende solo da \((x-1)\):

\(x\)	\((-\infty,0)\)	\(0\)	\((0,1)\)	\(1\)	\((1,+\infty)\)
\(g'(x)\)	\(-\)	n.d.	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(g(x)\)	\(\searrow\)	—	\(\searrow\)	min	\(\nearrow\)

Minimo relativo in \(x = 1\) con \(g(1) = e\). Punto: \((1,\, e)\).

Derivata seconda e concavità di \(g\)

Deriviamo \(g'(x) = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}\) con la regola del quoziente, ponendo \(u = e^x(x-1)\) e \(v = x^2\):

\[ u' = e^x(x-1) + e^x = e^x \cdot x \]

\[ g''(x) = \frac{e^x \cdot x \cdot x^2 - e^x(x-1) \cdot 2x}{x^4} =\] \[=\frac{e^x x\left[x^2 - 2(x-1)\right]}{x^4} = \frac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3} \]

Il discriminante di \(x^2-2x+2\) è \(\Delta = 4-8 = -4 < 0\), quindi \(x^2-2x+2 > 0\) sempre. Il segno di \(g''(x)\) dipende solo da \(x^3\):

\(x\)	\((-\infty, 0)\)	\(0\)	\((0, +\infty)\)
\(g''(x)\)	\(-\)	n.d.	\(+\)
concavità	verso il basso	—	verso l'alto

Non ci sono flessi (la derivata seconda non si annulla nel dominio).

Grafico di \(g(x) = e^x/x\)

Grafico di \(g(x) = \dfrac{e^x}{x}\)

Traslazione: da \(g\) a \(f(x) = e^{x+1}/(x+1)\)

Si trasla il grafico di \(g\) di \((-1, 0)\): l'asintoto si sposta a \(x=-1\) e il minimo a \((0,e)\).

Grafico della funzione f(x) = e^(x+1)/(x+1)

Grafico di \(f(x) = \dfrac{e^{x+1}}{x+1}\)

Grafico finale di \(f_1(x)\): ribaltamento.

Si prende la parte del grafico di \(f\) per \(x \geq 0\) e la si ribalta rispetto all'asse \(y\). Il risultato è una funzione pari con minimo in \(x = 0\).

Grafico \(\Gamma\) di \(f_1(x) = \dfrac{e^{|x|+1}}{|x|+1}\)

Domanda c

Determinare l'equazione della retta tangente al grafico \(\Gamma\) nel suo punto di ascissa \(1\).

Domanda c. Determinare l'equazione della retta tangente al grafico Gamma nel suo punto di ascissa 1.

Step 1 – Trovare il punto di tangenza

Per \(x = 1 > 0\) si ha \(f_1(1) = \dfrac{e^{1+1}}{1+1} = \dfrac{e^2}{2}\).

Punto di tangenza: \(P = \!\left(1,\; \dfrac{e^2}{2}\right)\)

Step 2 – Calcolare la derivata per \(x > 0\)

Per \(x > 0\) si ha \(f_1(x) = \dfrac{e^{x+1}}{x+1}\). Applichiamo la regola del quoziente:

\[ f'_1(x) = \frac{e^{x+1}(x+1) - e^{x+1}}{(x+1)^2} = \frac{e^{x+1} \cdot x}{(x+1)^2} \]

Step 3 – Coefficiente angolare in \(x = 1\)

\[ m = f'_1(1) = \frac{e^2 \cdot 1}{(1+1)^2} = \frac{e^2}{4} \]

Step 4 – Equazione della tangente

Usiamo la formula \(y - y_P = m(x - x_P)\):

\[ y - \frac{e^2}{2} = \frac{e^2}{4}(x - 1) \implies y = \frac{e^2}{4}x + \frac{e^2}{4} \]

✅ Retta tangente: \(y = \dfrac{e^2}{4}x + \dfrac{e^2}{4}\)

Domanda d

A partire dal grafico di \(\Gamma\), dedurre il grafico \(\Omega\) della curva di equazione \(g(x) = \dfrac{1}{f_1(x)}\).

Determinare l'area della regione finita di piano delimitata da \(\Omega\), dall'asse delle ascisse e dalle rette \(x = -1\) e \(x = 1\).

Domanda d. A partire dal grafico di Gamma, dedurre il grafico Omega della curva di equazione g di x uguale 1 diviso f sub 1 di x. Determinare l'area della regione finita di piano delimitata da Omega, dall'asse delle ascisse e dalle rette x uguale meno 1 e x uguale 1.

Step 1 – Proprietà di \(g(x) = 1/f_1(x)\)

Dominio: tutto \(\mathbb{R}\) (poiché \(f_1(x) > 0\) sempre).

Parità: essendo \(f_1(x)\) pari, anche \(g(x)\) è pari.

Intersezione con l'asse \(y\): \(g(0) = \dfrac{1}{f_1(0)} = \dfrac{1}{e}\).

Limiti all'infinito: poiché \(g(x) = \dfrac{1}{f_1(x)}\), il limite di \(g\) si ricava direttamente da quello di \(f_1\):

\[ \lim_{x \to \pm\infty} f_1(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{e^{|x|+1}}{|x|+1} = +\infty \]

Quindi:

\[ \lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{f_1(x)} = \frac{1}{+\infty} = 0^+ \]

Asintoto orizzontale \(y = 0\).

Monotonia: dove \(f_1\) cresce, \(g\) decresce e viceversa.

\(x = 0\) è massimo di \(g\) con valore \(\dfrac{1}{e}\).

Step 2 – Flessi di \(g(x)\)

Per \(x > 0\) si ha \(g(x) = \dfrac{x+1}{e^{x+1}}\). Calcoliamo \(g'(x)\) con la regola del quoziente:

\[ g'(x) = \frac{1 \cdot e^{x+1} - (x+1) \cdot e^{x+1}}{(e^{x+1})^2} = \frac{e^{x+1}[1-(x+1)]}{e^{2x+2}} = \frac{-x}{e^{x+1}} \]

Deriviamo ancora per ottenere \(g''(x)\):

\[ g''(x) = \frac{-1 \cdot e^{x+1} - (-x) \cdot e^{x+1}}{(e^{x+1})^2} = \frac{e^{x+1}(-1+x)}{e^{2x+2}} = \frac{x-1}{e^{x+1}} \]

\(g''(x) = 0\) per \(x = 1\): cambio di concavità, quindi flesso in \(x = 1\).

Per la parità di \(g(x)\), per simmetria rispetto all'asse delle ordinate c'è un altro flesso in \(x = -1\).

Grafico di \(g(x)\)

Grafico \(\Omega\) di \(g(x) = \dfrac{1}{f_1(x)} = \dfrac{|x|+1}{e^{|x|+1}}\)

Step 3 – Impostazione dell'integrale per l'area

Per la simmetria rispetto all'asse \(y\), l'area su \([-1, 1]\) è il doppio dell'area su \([0, 1]\):

\[ \text{Area} = 2\int_0^1 g(x)\,dx = 2\int_0^1 \frac{x+1}{e^{x+1}}\,dx \]

Regione delimitata da \(\Omega\), asse \(x\), \(x=-1\) e \(x=1\)

Step 4 – Calcolo dell'integrale (per parti)

Poniamo \(u = x+1\) e \(dv = e^{-(x+1)}dx\):

\[ \int (x+1)e^{-x-1}\,dx = -(x+1)e^{-x-1} - e^{-x-1} = -e^{-x-1}(x+2) + c \]

Calcoliamo l'integrale definito:

\[ \text{Area} = 2\!\left[-e^{-x-1}(x+2)\right]_0^1 = 2\!\left(-3e^{-2} + 2e^{-1}\right) \]

✅ \(\text{Area} = \dfrac{4}{e} - \dfrac{6}{e^2} \approx 0{,}66 \text{ u}^2\)

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