Sia \(f\) la funzione definita in \(\mathbb{R}\) data da
\[ f(x)=x+\ln(4)+\frac{2}{e^x+1} \]
e sia \(\Gamma\) il suo grafico.
Testo introduttivo. Sia f la funzione definita in R data da f di x uguale a x più logaritmo naturale di 4 più 2 fratto e elevato a x più 1. Sia Gamma il suo grafico.
Domanda 1
Si determini il limite di \( f(x) \) per \( x \to +\infty \) e per \( x \to -\infty \). Si calcoli \( f(x)+f(-x) \) e si spieghi perché dal risultato si può dedurre che il punto \( A=(0;\, 1+\ln(4)) \) è centro di simmetria per \( \Gamma \).
Domanda 1. Si determini il limite di f di x per x che tende a più infinito e per x che tende a meno infinito. Si calcoli f di x più f di meno x e si spieghi perché dal risultato si può dedurre che il punto A di coordinate 0 e 1 più logaritmo di 4 è centro di simmetria per Gamma.
💡 Suggerimento 1
Analizza separatamente i tre addendi di \( f(x) = x + \ln(4) + \dfrac{2}{e^x+1} \): cosa succede a ciascuno per \( x \to +\infty \) e per \( x \to -\infty \)?
💡 Suggerimento 2
Il termine dominante è \( x \): va a \( +\infty \) o \( -\infty \) a seconda del segno all'infinito. Il termine \( \ln(4) \) è costante. Concentrati su \( \dfrac{2}{e^x+1} \): che valore assume per \( x \to +\infty \)? E per \( x \to -\infty \)? (Ricorda che \( e^{+\infty} = +\infty \) e \( e^{-\infty} = 0 \).)
💡 Suggerimento 3
Per \( x \to +\infty \): \( \dfrac{2}{e^x+1} \to \dfrac{2}{+\infty} = 0 \), quindi \( f(x) \to +\infty \).
Per \( x \to -\infty \): \( \dfrac{2}{e^x+1} \to \dfrac{2}{0+1} = 2 \), ma il termine \( x \to -\infty \) domina, quindi \( f(x) \to -\infty \).
Poiché \( \lim_{x \to -\infty} x = -\infty \) e \( \lim_{x \to -\infty} \dfrac{2}{e^x+1} = \dfrac{2}{0+1} = 2 \), abbiamo:
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \]
💡 Suggerimento 1
Calcola \( f(-x) \) sostituendo \( -x \) al posto di \( x \) nella funzione. Il passaggio più delicato è semplificare \( \dfrac{2}{e^{-x}+1} \).
💡 Suggerimento 2
Per semplificare \( \dfrac{2}{e^{-x}+1} \), moltiplica numeratore e denominatore per \( e^x \):
\[ \frac{2}{e^{-x}+1} \cdot \frac{e^x}{e^x} = \frac{2e^x}{1+e^x} \]
Ora somma \( f(x) + f(-x) \) e semplifica.
💡 Suggerimento 3
Un punto \( (x_0, y_0) \) è centro di simmetria se vale \( f(x_0+h)+f(x_0-h)=2y_0 \) per ogni \( h \). Con \( x_0=0 \) questa diventa \( f(x)+f(-x)=2y_0 \). Confronta con il valore che hai trovato per \( f(x)+f(-x) \).
Step 1 — Calcolo di \( f(-x) \)
\[ f(-x) = (-x)+\ln(4)+\frac{2}{e^{-x}+1} \]
Manipoliamo la frazione: moltiplichiamo numeratore e denominatore per \( e^x \):
✅ Il punto \( A=(0;\, 1+\ln(4)) \) è centro di simmetria per \( \Gamma \).
Domanda 2
Si provi che, per tutti i reali \( m \), l'equazione \( f(x)=m \) ammette una ed una sola soluzione in \( \mathbb{R} \). Sia \( \alpha \) la soluzione dell'equazione \( f(x)=3 \); per quale valore di \( m \) il numero \( -\alpha \) è soluzione dell'equazione \( f(x)=-m \)?
Domanda 2. Si provi che per tutti i reali m l'equazione f di x uguale m ammette una ed una sola soluzione in R. Sia alfa la soluzione dell'equazione f di x uguale 3. Per quale valore di m il numero meno alfa è soluzione dell'equazione f di x uguale meno m?
💡 Suggerimento 1
Per l'esistenza: poni \( g(x)=f(x)-m \). Dai limiti calcolati in Domanda 1, \( g \) tende a \( -\infty \) e \( +\infty \): cosa garantisce il teorema degli zeri?
💡 Suggerimento 2
Per l'unicità: calcola \( f'(x) \). Deriva termine per termine: \( (x)'=1 \), \( (\ln 4)'=0 \), e per la frazione usa la regola della catena con \( (e^x+1)^{-1} \). Studia poi il segno di \( f'(x) \).
💡 Suggerimento 3
Per trovare \( m \): sappiamo che \( f(\alpha)=3 \) e dalla simmetria \( f(\alpha)+f(-\alpha)=2\ln(4)+2 \). Ricava \( f(-\alpha) \), poi imponi \( f(-\alpha)=-m \).
Step 1 — Esistenza di almeno uno zero
\( f(x)=m \) equivale a \( f(x)-m=0 \). Pongo \( g(x)=f(x)-m \). Dai limiti calcolati in precedenza:
Si provi che, per tutti gli \( x \) reali, \( f(x)=x+2+\ln(4)-\dfrac{2e^x}{e^x+1} \).
Si provi altresì che la retta \( r \) di equazione \( y=x+\ln(4) \) e la retta \( s \) di equazione \( y=x+2+\ln(4) \) sono asintoti di \( \Gamma \) e che \( \Gamma \) è interamente compresa nella striscia piana delimitata da \( r \) e da \( s \).
Domanda 3. Si provi che per tutti x reali f di x è uguale a x più 2 più logaritmo di 4 meno 2 per e elevato a x fratto e elevato a x più 1. Si provi che la retta r di equazione ipsilon uguale x più logaritmo di 4 e la retta s di equazione ipsilon uguale x più 2 più logaritmo di 4 sono asintoti di Gamma, e che Gamma è compresa nella striscia delimitata da r e da s.
💡 Suggerimento 1
Non devi ricavare la nuova forma da zero: devi verificare che le due espressioni siano uguali. Sottrai membro a membro e mostra che la differenza è zero, oppure trasforma un membro per ottenere l'altro.
💡 Suggerimento 2
Dopo aver semplificato \( x \) e \( \ln(4) \) da entrambi i membri, l'identità da provare si riduce a:
\[ \frac{2}{e^x+1} = 2 - \frac{2e^x}{e^x+1} \]
Riduci il secondo membro ad un'unica frazione con denominatore \( e^x+1 \).
💡 Suggerimento 3
Il secondo membro diventa:
\[ \frac{2(e^x+1) - 2e^x}{e^x+1} = \frac{2e^x+2-2e^x}{e^x+1} = \frac{2}{e^x+1} \]
che coincide con il primo membro. L'identità è provata.
Strategia
Dobbiamo verificare che le due espressioni di \( f(x) \) siano uguali, cioè che:
Un asintoto obliquo \( y=mx+q \) per \( x \to +\infty \) si trova con le formule:
\[ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \qquad q = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) \]
Applica le stesse formule anche per \( x \to -\infty \).
💡 Suggerimento 2
Per \( x \to +\infty \): \( m = \lim \frac{f(x)}{x} = 1 \) (dividi tutto per \( x \) e calcola il limite). Poi \( q = \lim (f(x)-x) = \ln(4) \) perché \( \frac{2}{e^x+1}\to 0 \).
💡 Suggerimento 3
Per \( x \to -\infty \), usa la forma alternativa \( f(x)=x+2+\ln(4)-\dfrac{2e^x}{e^x+1} \). Poiché \( e^x \to 0 \), la frazione \( \dfrac{2e^x}{e^x+1} \to 0 \), quindi \( q = \lim (f(x)-x) = 2+\ln(4) \).
Ricorda: come si trova un asintoto obliquo \( y = mx+q \)
✅ La retta \( s: y=x+2+\ln(4) \) è asintoto obliquo per \( x \to -\infty \).
💡 Suggerimento 1
Per dimostrare che \( \Gamma \) è compresa tra \( r \) e \( s \), devi provare due disuguaglianze: \( f(x) > x+\ln(4) \) e \( f(x) < x+2+\ln(4) \) per ogni \( x \).
💡 Suggerimento 2
Calcola \( f(x)-(x+\ln(4)) \) usando la prima forma di \( f \), e poi \( f(x)-(x+2+\ln(4)) \) usando la seconda forma. Studia il segno di ciascuna espressione.
💡 Suggerimento 3
\( f(x)-(x+\ln(4)) = \dfrac{2}{e^x+1} \): il denominatore è sempre positivo, quindi questa differenza è sempre \( > 0 \) (\( \Gamma \) sta sopra \( r \)).
\( f(x)-(x+2+\ln(4)) = -\dfrac{2e^x}{e^x+1} \): poiché \( e^x > 0 \) sempre, questa è sempre \( < 0 \) (\( \Gamma \) sta sotto \( s \)).
\(\Gamma\) sta sopra \(r\)
Calcoliamo la differenza tra \( f(x) \) e la retta \( r \):
\[ f(x) - (x+\ln(4)) = \frac{2}{e^x+1} \]
Poiché \( e^x+1 > 0 \) sempre, questa differenza è sempre positiva.
✅ \(\Gamma\) è sempre al di sopra di \(r\).
\(\Gamma\) sta sotto \(s\)
Calcoliamo la differenza tra \( f(x) \) e la retta \( s \):
\[ f(x) - (x+2+\ln(4)) = -\frac{2e^x}{e^x+1} \]
Poiché \( e^x > 0 \) sempre, questa differenza è sempre negativa.
✅ \(\Gamma\) è sempre al di sotto di \(s\).
Grafico
Grafico di \(\Gamma\) e delle rette \(r\) ed \(s\)
✅ \(\Gamma\) è interamente compresa nella striscia piana delimitata da \(r\) e \(s\).
Domanda 4
Posto \( I(\beta)=\int_0^\beta [f(x)-x-\ln(4)]\, dx \), si calcoli il limite per \( \beta \to +\infty \) di \( I(\beta) \). Qual è il significato geometrico ottenuto?
Domanda 4. Posto I di beta uguale all'integrale da 0 a beta di f di x meno x meno logaritmo di 4, si calcoli il limite per beta che tende a più infinito di I di beta. Qual è il significato geometrico ottenuto?
💡 Suggerimento 1
Prima di integrare, semplifica l'integranda: sostituisci l'espressione di \( f(x) \) e calcola \( f(x)-x-\ln(4) \). Vedrai che molti termini si cancellano.
💡 Suggerimento 2
Dopo la semplificazione ottieni \( \dfrac{2}{e^x+1} \). Per integrare, riscrivila come:
\[ \frac{2}{e^x+1} = 2 - \frac{2e^x}{e^x+1} \]
Il primo termine è facile; il secondo è della forma \( k \cdot \dfrac{f'(x)}{f(x)} \).
💡 Suggerimento 3
L'integrale di \( \dfrac{f'(x)}{f(x)} \) è \( \ln|f(x)| \). Qui \( f(x)=e^x+1>0 \), quindi:
\[ \int \frac{2e^x}{e^x+1}\,dx = 2\ln(e^x+1) \]
Applica poi il teorema fondamentale tra \( 0 \) e \( \beta \).
Il secondo integrale si risolve osservando che \( \dfrac{2e^x}{e^x+1} \) è della forma \( k \cdot \dfrac{f'(x)}{f(x)} \), il cui integrale è \( k\ln|f(x)| \). Poiché \( e^x+1 > 0 \) sempre, possiamo omettere il valore assoluto.
Parti dall'espressione trovata: \( I(\beta) = 2\beta - 2\ln(e^\beta+1) + 2\ln(2) \). Il limite per \( \beta \to +\infty \) ha la forma \( +\infty - \infty \): devi risolvere l'indeterminazione.
💡 Suggerimento 2
Raccogli \( e^\beta \) dentro il logaritmo: \( \ln(e^\beta+1) = \ln(e^\beta(1+e^{-\beta})) \). Poi usa \( \ln(ab)=\ln a + \ln b \) e ricorda che \( \ln(e^\beta)=\beta \).
💡 Suggerimento 3
Dopo la semplificazione rimane \( -2\ln(1+e^{-\beta})+2\ln(2) \). Poiché \( e^{-\beta}\to 0 \) per \( \beta\to+\infty \), si ha \( \ln(1+e^{-\beta})\to\ln(1)=0 \). Concludi.
Un integrale definito \( \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx \), con \( f(x)>g(x) \), rappresenta l'area della regione compresa tra le curve \( y=f(x) \) e \( y=g(x) \). Chi è \( g(x) \) in questo caso?
💡 Suggerimento 2
L'integranda è \( f(x)-x-\ln(4) = \dfrac{2}{e^x+1} > 0 \): questo è la distanza verticale tra la curva \( \Gamma \) e la retta \( r: y=x+\ln(4) \). Quindi \( I(\beta) \) rappresenta un'area da \( 0 \) a \( \beta \).
💡 Suggerimento 3
Passando al limite \( \beta\to+\infty \), l'intervallo di integrazione diventa illimitato. Il limite \( \ln(4) \) è quindi l'area dell'intera regione (illimitata) compresa tra \( \Gamma \) e \( r \) per \( x \geq 0 \).
Interpretazione dell'integrale
L'integranda è:
\[ f(x)-x-\ln(4) = \frac{2}{e^x+1} > 0 \]
Questa quantità rappresenta la distanza verticale tra la curva \( \Gamma \) e l'asintoto obliquo \( r: y=x+\ln(4) \). Poiché è sempre positiva, \( \Gamma \) sta sempre al di sopra di \( r \).
Significato geometrico del limite
\( I(\beta) \) rappresenta l'area della regione compresa tra \( \Gamma \) e \( r \) nell'intervallo \( [0, \beta] \).
Passando al limite per \( \beta \to +\infty \), otteniamo l'area dell'intera regione illimitata compresa tra \( \Gamma \) e \( r \) per \( x \geq 0 \).
✅ \( \ln(4) \) è l'area della regione illimitata delimitata da \( \Gamma \) e dalla retta \( r \) per \( x \geq 0 \).
Grafico
Animazione della regione delimitata da \(\Gamma\) e \(r\)
