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Problema 5 tipologia Esame di Stato

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Argomenti: rette tangenti comuni, grafici deducibili, punti di non derivabilità, confronto di integrali, zero di una funzione, volume di un solido di rotazione.

📚 Versione Standard

Le funzioni \(g_1, g_2, g_3, g_4\) sono definite nel modo seguente: \[ g_1(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} \] \[ g_2(x) = |x| - 1 \] \[ g_3(x) = -\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \] \[ g_4(x) = \ln(|x|) \]
Testo introduttivo. Le funzioni g1, g2, g3, g4 sono definite nel modo seguente. g1 di x uguale a un mezzo x quadro meno un mezzo. g2 di x uguale al valore assoluto di x meno 1. g3 di x uguale a meno 2 fratto pi greco per coseno di pi greco su 2 per x. g4 di x uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di x.

Domanda 1

Verifica che nei punti \(x=1\) e \(x=-1\) le funzioni \(g_1, g_2, g_3, g_4\) condividono le stesse rette tangenti.

Domanda 1. Verifica che nei punti x uguale a 1 e x uguale a meno 1 le funzioni g1, g2, g3, g4 condividono le stesse rette tangenti.
💡 Suggerimento 1

Calcola il valore di ciascuna funzione in \(x=1\) e \(x=-1\): devi verificare che abbiano tutte lo stesso valore.

💡 Suggerimento 2

Calcola le derivate delle quattro funzioni e valutale in \(x=1\) e \(x=-1\): devono coincidere.

💡 Suggerimento 3

Con punto di tangenza e coefficiente angolare uguali per tutte le funzioni, la retta tangente è la stessa. Scrivine l'equazione.

Step 1 — Calcolo delle derivate

Calcoliamo le derivate delle quattro funzioni:

\[ g_1'(x) = x \] \[ g_2'(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x > 0 \\ -1 & \text{se } x < 0 \end{cases} \] \[ g_3'(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \] \[ g_4'(x) = \frac{1}{x} \]

Step 2 — Coefficienti angolari in \(x=1\) e \(x=-1\)

\[ g_1'(1) = 1, \quad g_2'(1) = 1, \quad g_3'(1) = 1, \quad g_4'(1) = 1 \] \[ g_1'(-1) = -1, \quad g_2'(-1) = -1, \quad g_3'(-1) = -1, \quad g_4'(-1) = -1 \]

Step 3 — Valori delle funzioni in \(x=1\) e \(x=-1\)

\[ g_1(1) = 0, \quad g_2(1) = 0, \quad g_3(1) = 0, \quad g_4(1) = 0 \] \[ g_1(-1) = 0, \quad g_2(-1) = 0, \quad g_3(-1) = 0, \quad g_4(-1) = 0 \]

Step 4 — Equazioni delle rette tangenti

Poiché tutte le funzioni passano per gli stessi punti con gli stessi coefficienti angolari, le rette tangenti sono uniche:

✅ Retta tangente in \((1;\, 0)\): \(\quad y = x - 1\)

✅ Retta tangente in \((-1;\, 0)\): \(\quad y = -x - 1\)

Domanda 2

Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni \(g_1, g_2, g_3, g_4\) deduci quelli delle funzioni:

\[ f_1(x) = \begin{cases} \ln|x| & \text{se } |x| \ge 1 \\ -g_1(x) & \text{se } |x| < 1 \end{cases} \] \[ f_2(x) = \begin{cases} \ln|x| & \text{se } |x| \ge 1 \\ -g_2(x) & \text{se } |x| < 1 \end{cases} \] \[ f_3(x) = \begin{cases} \ln|x| & \text{se } |x| \ge 1 \\ -g_3(x) & \text{se } |x| < 1 \end{cases} \]

Classifica gli eventuali punti di non derivabilità di \(f_1, f_2, f_3\) e posto:

\[ I_1 = \int_{-e}^{e} f_1(x) \,dx, \quad I_2 = \int_{-e}^{e} f_2(x) \,dx, \quad I_3 = \int_{-e}^{e} f_3(x) \,dx \]

verifica le disuguaglianze: \(I_1 < I_3 < I_2\).

Domanda 2. Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni g1, g2, g3, g4, deduci quelli delle funzioni f1, f2, f3, definite come segue. f1 di x è uguale a: logaritmo del valore assoluto di x, se il valore assoluto di x è maggiore o uguale a 1; meno g1 di x, se il valore assoluto di x è minore di 1. f2 di x è uguale a: logaritmo del valore assoluto di x, se il valore assoluto di x è maggiore o uguale a 1; meno g2 di x, se il valore assoluto di x è minore di 1. f3 di x è uguale a: logaritmo del valore assoluto di x, se il valore assoluto di x è maggiore o uguale a 1; meno g3 di x, se il valore assoluto di x è minore di 1. Classifica gli eventuali punti di non derivabilità di f1, f2 e f3. Posto I1 uguale all'integrale da meno e a e di f1 di x in di ics, I2 uguale all'integrale da meno e a e di f2 di x in di ics, I3 uguale all'integrale da meno e a e di f3 di x in di ics, verifica le disuguaglianze: I1 minore di I3 minore di I2.

Grafici delle funzioni g:

💡 Suggerimento per \(g_1\)

\(g_1(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\) è una parabola. Individua vertice, asse di simmetria e concavità.

💡 Suggerimento per \(g_2\)

\(g_2(x) = |x| - 1\) si ottiene da \(y=|x|\) con una traslazione verticale verso il basso di 1.

💡 Suggerimento per \(g_3\)

\(g_3(x) = -\frac{2}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) è un coseno con periodo \(T=4\) e valori compresi tra \(-\frac{2}{\pi}\) e \(\frac{2}{\pi}\).

💡 Suggerimento per \(g_4\)

\(g_4(x) = \ln|x|\) si ottiene dal grafico di \(\ln x\) aggiungendo la sua simmetrica rispetto all'asse \(y\).

Grafico di \(g_1(x)\)

\(g_1(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\) è una parabola con vertice in \((0;\,-\frac{1}{2})\), asse di simmetria l'asse \(y\) e concavità verso l'alto.

Grafico della funzione g1(x)

Grafico di \(g_2(x)\)

\(g_2(x) = |x| - 1\) si ottiene da \(y=|x|\) traslando verso il basso di 1. Ha un punto angoloso in \(x=0\) e si annulla in \(x=\pm 1\).

Grafico della funzione g2(x)

Grafico di \(g_3(x)\)

\(g_3(x) = -\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) è una funzione coseno con periodo \(T = 4\), compresa tra \(-\frac{2}{\pi}\) e \(\frac{2}{\pi}\).

Grafico della funzione g3(x)

Grafico di \(g_4(x)\)

\(g_4(x) = \ln(|x|)\) si ottiene da \(\ln(x)\) aggiungendo la sua simmetrica rispetto all'asse \(y\). Ha un asintoto verticale in \(x=0\).

Grafico della funzione g4(x)

Grafici delle funzioni f:

💡 Suggerimento per \(f_1\)

Per \(|x| \ge 1\) il grafico coincide con \(\ln|x|\); per \(|x| < 1\) usa \(-g_1(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2\). Controlla la continuità in \(x=\pm 1\).

💡 Suggerimento per \(f_2\)

Per \(|x| < 1\) hai \(-g_2(x) = 1 - |x|\), che ha un punto angoloso in \(x=0\). Controlla la continuità in \(x=\pm 1\).

💡 Suggerimento per \(f_3\)

Per \(|x| < 1\) hai \(-g_3(x) = \frac{2}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)\). Verifica che si raccordi senza angoli con \(\ln|x|\) in \(x=\pm 1\).

Grafico di \(f_1(x)\)

Per \(|x| \ge 1\) coincide con \(\ln|x|\); per \(|x| < 1\) è la parabola \(-g_1(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2\) con vertice in \((0;\,\frac{1}{2})\). Ha punti angolosi in \(x=\pm 1\).

Grafico della funzione f1(x)

Grafico di \(f_2(x)\)

Per \(|x| \ge 1\) coincide con \(\ln|x|\); per \(|x| < 1\) è \(-g_2(x) = 1 - |x|\), con vertice in \((0;\,1)\). Ha punti angolosi in \(x=0\) e in \(x=\pm 1\).

Grafico della funzione f2(x)

Grafico di \(f_3(x)\)

Per \(|x| \ge 1\) coincide con \(\ln|x|\); per \(|x| < 1\) è \(-g_3(x) = \frac{2}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)\). Si raccorda senza angoli in \(x=\pm 1\).

Grafico della funzione f3(x)

Analisi e confronto:

💡 Suggerimento 1

Controlla le derivate laterali in \(x=\pm 1\) per tutte e tre le funzioni, e in \(x=0\) per \(f_2\).

Punti di non derivabilità

Tutte e tre le funzioni presentano punti angolosi in \(x=-1\) e \(x=1\) (dove la derivata di \(\ln|x|\) e quella delle funzioni interne non coincidono).

Inoltre, \(f_2\) ha un ulteriore punto angoloso in \(x=0\) (dove \(-g_2(x) = 1-|x|\) ha la "punta" del valore assoluto).

✅ \(f_1\): punti angolosi in \(x=\pm 1\)

✅ \(f_2\): punti angolosi in \(x=0\) e \(x=\pm 1\)

✅ \(f_3\): punti angolosi in \(x=\pm 1\)
💡 Suggerimento 1

Per \(|x| \ge 1\) le tre funzioni coincidono: la differenza tra gli integrali dipende solo dall'intervallo \([-1, 1]\).

💡 Suggerimento 2

Nell'intervallo \([-1, 1]\) confronta graficamente \(-g_1\), \(-g_2\), \(-g_3\) e stabilisci l'ordine.

Strategia: dove differiscono le tre funzioni?

Per \(|x| > 1\) le funzioni \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) coincidono tutte con \(\ln|x|\). Quindi:

\[ I_k = 2\int_1^e \ln(x)\,dx + \int_{-1}^{1} f_k(x)\,dx \]

La differenza tra \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) dipende solo dall'intervallo \([-1, 1]\).

Confronto nell'intervallo \([-1, 1]\)

In \([-1, 1]\) le tre funzioni sono \(-g_1\), \(-g_2\), \(-g_3\). Osservando il grafico:

Grafici delle funzioni f1, f2, f3 a confronto ─ f₁   ─ f₂   ─ f₃

Nell'intervallo \([-1, 1]\) risulta \(f_1 < f_3 < f_2\), da cui:

✅ \(I_1 < I_3 < I_2\)

Domanda 3

Posto:

\[ h(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \le 0 \\ g_1(x) & \text{se } 0 < x < 1 \\ \ln(|x|) & \text{se } x \ge 1 \end{cases} \]

Dimostra che la funzione \(H(x) = \displaystyle\int_0^x h(t)\,dt\) ammette uno zero nell'intervallo \([\sqrt{e};\, e]\).

Domanda 3. Posto acca piccolo di x uguale a 0 per x minore o uguale a 0, g1 di x per x compreso tra 0 e 1, logaritmo naturale del valore assoluto di x per x maggiore o uguale a 1. Dimostra che la funzione acca grande di x uguale all'integrale da 0 a x di acca piccolo di t in di ti ammette uno zero nell'intervallo da radice quadrata di e ad e.
💡 Suggerimento 1

Osserva il grafico di \(h(x)\): per \(0 < x < 1\) la funzione è negativa, per \(x \ge 1\) è positiva. Quindi \(H(x)\) prima decresce poi cresce.

💡 Suggerimento 2

Calcola \(H(1)\) integrando \(g_1\) su \([0,1]\). Poi usa il teorema degli zeri su \([1, e]\) calcolando \(H(\sqrt{e})\) e \(H(e)\) e confrontandoli.

💡 Suggerimento 3

Mostra che \(H(\sqrt{e}) < 0\) e \(H(e) > 0\): per il teorema degli zeri lo zero esiste nell'intervallo.

Esistenza di uno zero di \(H(x)\) in \([\sqrt{e}; e]\)

Grafico di \(h(x)\)

Grafico della funzione h(x)

Impostazione del problema

Lo zero richiesto è il punto \(a>1\) tale che:

\[ \int_0^1 g_1(x) \,dx + \int_1^a g_4(x) \,dx = 0 \]

quindi:

\[ \int_1^a \ln(x) \,dx = - \int_0^1 \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\right) \,dx \] \[ = -\left[\frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x\right]_0^1 \] \[ = -\left[\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\right] = -\left[\frac{1 - 3}{6}\right] = -\left[-\frac{2}{6}\right] = \frac{1}{3} \]

Primitiva di \(\ln(x)\)

Determiniamo per parti una primitiva di \(\ln(x)\):

\[ \int \ln(x) \,dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \,dx = x\ln(x) - x + C \]

Quindi:

\[ \int_1^a \ln(x) \,dx = [x\ln(x) - x]_1^a = a\ln a - a + 1 = \frac{1}{3} \]

da cui: \(\ln a = \dfrac{a-2}{3a}\)

Conclusione

Dimostrare che \(H(x)\) ha uno zero nell'intervallo \([\sqrt{e}, e]\) equivale a dimostrare che l'equazione \(\ln a = \dfrac{a-2}{3a}\) ha una soluzione per \(a\) compreso tra \(\sqrt{e}\) ed \(e\), ovvero che la funzione \(\ln a - \dfrac{a-2}{3a}\) cambia segno in quell'intervallo.

In \(a = \sqrt{e}\): \(\ln\sqrt{e} = \dfrac{1}{2}\), mentre \(\dfrac{\sqrt{e}-2}{3\sqrt{e}} \approx 0.6\), quindi \(\ln a - \dfrac{a-2}{3a} \approx \dfrac{1}{2} - 0.6 < 0\).

In \(a = e\): \(\ln e = 1\), mentre \(\dfrac{e-2}{3e} \approx 0.8\), quindi \(\ln a - \dfrac{a-2}{3a} \approx 1 - 0.8 > 0\).

Poiché la funzione \(\ln a - \dfrac{a-2}{3a}\) è continua e cambia segno tra \(\sqrt{e}\) ed \(e\), per il teorema degli zeri esiste almeno un \(a \in (\sqrt{e}, e)\) che soddisfa l'equazione, cioè tale che \(H(a) = 0\).

✅ \(H(x)\) ammette uno zero nell'intervallo \([\sqrt{e};\, e]\).

Domanda 4

Calcola il volume del solido ottenuto facendo ruotare di \(\dfrac{\pi}{3}\) radianti intorno all'asse \(x\) la regione di piano delimitata dalle rette di equazioni \(x=-1\), \(x=+1\) e dai grafici di \(g_2\) e \(g_1.\)

Domanda 4. Calcola il volume del solido ottenuto facendo ruotare di pi greco terzi radianti intorno all'asse x la regione di piano delimitata dalle rette x uguale a meno 1 e x uguale a 1 e dai grafici di g2 e g1.
💡 Suggerimento 1

La formula per la rotazione di \(\alpha\) radianti della regione compresa tra i grafici di \(f\) e \(g\) (con \(f > g\)) intorno all'asse \(x\) è: \[ V = \frac{\alpha}{2} \int_a^b [f^2(x) - g^2(x)]\,dx \]

💡 Suggerimento 2

Poiché \(g_1\) e \(g_2\) sono funzioni pari, l'integrale su \([-1,1]\) è il doppio di quello su \([0,1]\). Su \([0,1]\) verifica quale delle due funzioni è maggiore.

💡 Suggerimento 3

Su \([0,1]\): \(g_1(x)\) va da \(-\frac{1}{2}\) a \(0\), mentre \(g_2(x) = x-1\) va da \(-1\) a \(0\). Quindi \(g_1(x) \ge g_2(x)\). Poiché la regione è sotto l'asse \(x\), considera la simmetrica rispetto all'asse \(x\).

La regione R

Grafico della regione R per il calcolo del volume Nell'intervallo \([-1, 1]\): g₁ (rosso) è sopra g₂ (blu)

La regione \(R\) è delimitata superiormente da \(g_1(x)\) e inferiormente da \(g_2(x)\) nell'intervallo \([-1,1]\). Poiché entrambe le funzioni risultano negative, la regione si trova completamente sotto l'asse \(x\).

Step 1 — Formula del volume con rotazione parziale

Il volume generato dalla rotazione completa (\(2\pi\)) di una regione compresa tra due curve \(f(x)\) (superiore) e \(g(x)\) (inferiore) è dato da:

\[ V = \pi \int_a^b \left[f^2(x) - g^2(x)\right] dx \]

Se la rotazione è completa (\(2\pi\)), il volume è:

\[ V = \pi \int_a^b \left[f^2(x) - g^2(x)\right] dx \]

Questo perché ogni sezione genera un disco (o una corona circolare) che compie un giro completo.

Se invece la rotazione avviene solo per un angolo \(\alpha\), il solido ottenuto è una “frazione” del solido completo. Poiché il volume è proporzionale all'angolo di rotazione, vale:

\[ \frac{V'}{V} = \frac{\alpha}{2\pi} \]

Da cui si ricava:

\[ V' = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot V \]

Sostituendo l'espressione di \(V\):

\[ V' = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi \int_a^b [f^2(x) - g^2(x)]\,dx = \frac{\alpha}{2} \int_a^b [f^2(x) - g^2(x)]\,dx \]

Otteniamo quindi la formula del volume nel caso di rotazione parziale.

Nel nostro caso \(\alpha = \frac{\pi}{3}\), quindi utilizzeremo questo fattore nella formula.

Step 2 — Simmetria e riduzione a \([0,1]\)

Le funzioni sono pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all'asse \(y\). Di conseguenza:

\[ \int_{-1}^{1} = 2 \int_0^1 \]

Inoltre la regione è sotto l'asse \(x\). Per applicare correttamente la formula dei dischi, consideriamo la regione simmetrica \(R'\) sopra l'asse: il volume non cambia.

In \(R'\), le funzioni diventano \(-g_1\) e \(-g_2\), e vale: \[ -g_2(x) > -g_1(x) \] quindi il “raggio esterno” è \(-g_2\) e quello interno è \(-g_1\).

\[ V = 2 \cdot \frac{\pi/3}{2} \int_0^1 \left[(-g_2)^2 - (-g_1)^2\right]dx = \frac{\pi}{3} \int_0^1 \left[g_2^2(x) - g_1^2(x)\right]dx \]

Step 3 — Sviluppo algebrico

Sostituiamo le espressioni delle funzioni: \[ g_2(x) = x - 1, \quad g_1(x) = \frac{x^2 - 1}{2} \]

\[ = \frac{\pi}{3} \int_0^1 \left[(x-1)^2 - \left(\frac{x^2-1}{2}\right)^2\right]dx \] \[ = \frac{\pi}{3} \int_0^1 \left[(x^2-2x+1) - \frac{x^4-2x^2+1}{4}\right]dx \] \[ = \frac{\pi}{3} \int_0^1 \left(-\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{4}\right)dx \]

Abbiamo quindi ridotto il problema al calcolo di un integrale di un polinomio.

Step 4 — Calcolo dell'integrale

Calcoliamo la primitiva termine per termine:

\[ = \frac{\pi}{3} \left[-\frac{1}{20}x^5 + \frac{1}{2}x^3 - x^2 + \frac{3}{4}x\right]_0^1 \] \[ = \frac{\pi}{3} \left(-\frac{1}{20} + \frac{1}{2} - 1 + \frac{3}{4}\right) \] \[ = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{-1 + 10 - 20 + 15}{20} \]

Sommando i termini si ottiene:

\[ V = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{4}{20} = \boxed{\dfrac{\pi}{15}} \]

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