Consideriamo la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), così definita:
\[f(x) = \ln(ae^{bx}+c)\]
al variare di \( a, b, c \) parametri reali positivi.
Testo introduttivo. Sia f la funzione definita da: f di x uguale al logaritmo naturale di, aperta parentesi, a per e alla b x, più c, chiusa parentesi.
I parametri a, b e c sono numeri reali positivi.
Domanda 1
Verifica che, comunque si scelgano i parametri reali positivi \(a, b, c\), per la funzione \(f(x) = \ln(ae^{bx} + c)\) si ha:
\[f'(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\]
\[f''(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\]
Domanda 1. Verifica che, comunque si scelgano i parametri reali positivi a, b e c, si ha che la derivata prima di f di x è maggiore di zero per ogni x appartenente ai reali, e la derivata seconda di f di x è maggiore di zero per ogni x appartenente ai reali.
💡 Suggerimento 1
Calcola \(f'(x)\) usando la regola di derivazione del logaritmo: \(\frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{u'}{u}\). Poi studia il segno del risultato ricordando che \(a, b, c > 0\) e \(e^{bx} > 0\).
💡 Suggerimento 2
Per la derivata seconda \(f''(x)\), deriva \(f'(x)\) usando la regola del quoziente. Nel numeratore, raccogliere il termine comune \(ab^2e^{bx}\) ti aiuterà a semplificare notevolmente l'espressione.
💡 Suggerimento 3
Dopo la semplificazione dovresti ottenere \(f''(x) = \frac{ab^2ce^{bx}}{(ae^{bx}+c)^2}\). Verifica che numeratore e denominatore siano entrambi positivi per ogni \(x\) reale, sapendo che i parametri sono positivi.
Step 1 — Studio della derivata prima \(f'(x)\)
Data la funzione \(f(x) = \ln(ae^{bx}+c)\), applichiamo la regola \(\frac{u'}{u}\):
Numeratore: \(a, b^2, c\) sono positivi, \(e^{bx} > 0\). Quindi il numeratore è sempre positivo.
Denominatore: è un quadrato \((ae^{bx}+c)^2\), quindi è sempre positivo.
✅ Il rapporto di due quantità positive è positivo, quindi: \(f''(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\).
Domanda 2
Verifica che, comunque si scelgano i parametri, la funzione \(f\) ha un asintoto orizzontale per \(x \to -\infty\) e un asintoto obliquo per \(x \to +\infty\).
Determina poi \(a, b, c\) in modo che:
L'asintoto orizzontale per \(x \to -\infty\) sia la retta \(y = 0\).
L'asintoto obliquo per \(x \to +\infty\) sia la retta \(y = x\).
Domanda 2. Verifica che, comunque si scelgano i parametri, la funzione f ha un asintoto orizzontale per x che tende a meno infinito e un asintoto obliquo per x che tende a più infinito. Determina poi a, b e c in modo che l'asintoto orizzontale sia la retta y uguale a zero e l'asintoto obliquo sia la retta y uguale a x.
💡 Suggerimento 1
Per \(x \to -\infty\), l'esponenziale \(e^{bx} \to 0\). Calcola il limite di \(f(x)\) e imponi che il risultato (che sarà \(\ln c\)) sia uguale a 0 per trovare \(c\).
💡 Suggerimento 2
Per l'asintoto obliquo (\(x \to +\infty\)), calcola \(m\) dividendo la funzione per \(x\). Ricorda che per grandi valori di \(x\), il termine \(ae^{bx}\) domina all'interno del logaritmo.
💡 Suggerimento 3
Dopo aver trovato \(m = b\), calcola la quota \(q = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx]\). Per avere l'asintoto \(y = x\), dovrai imporre \(m = 1\) (quindi \(b = 1\)) e \(q = 0\).
Step 1 — Asintoto orizzontale per \(x \to -\infty\)
Calcoliamo il limite della funzione per \(x\) che tende a meno infinito:
\[ q = \lim_{x \to +\infty} \left[ \ln(ae^{x}+c) - x \right] = \lim_{x \to +\infty} \left[ \ln\left(e^x(a + \frac{c}{e^x})\right) - x \right] \]
\[ q = \lim_{x \to +\infty} \left[ x + \ln(a + \frac{c}{e^x}) - x \right] = \ln a \]
Affinché l'asintoto sia \(y = x\), la quota \(q\) deve essere 0:
\[ \ln a = 0 \implies \mathbf{a = 1} \]
Step 4 — Conclusione
✅ I valori cercati sono: a = 1, b = 1, c = 1.
La funzione diventa quindi: \(f(x) = \ln(e^x + 1)\).
Domanda 3
Ponendo \(a = b = c = 1\), la funzione diventa \(f(x) = \ln(e^x + 1)\).
Dimostra che per ogni \(x \in \mathbb{R}\) si ha la doppia disuguaglianza:
\[ x < f(x) < e^x \]
Domanda 3. Ponendo a, b e c uguali a 1, la funzione diventa f di x uguale al logaritmo naturale di e alla x più 1. Dimostra che, per ogni x reale, x è minore di f di x, che a sua volta è minore di e alla x.
💡 Suggerimento 1
Per \(f(x) > x\), scrivi \(x\) come \(\ln(e^x)\) e confronta gli argomenti dei due logaritmi.
💡 Suggerimento 2
Per \(f(x) < e^x\), analizza il grafico della funzione: studia i limiti a \(-\infty\) e \(+\infty\) e confrontali con l'andamento dell'esponenziale.
💡 Suggerimento 3:
Analizza il comportamento agli estremi: per \(x \to -\infty\), \(f(x) \to 0\) mentre \(e^x \to 0\) con lo stesso ordine (verifica il limite del rapporto). Per \(x \to +\infty\), \(f(x) \sim x\) mentre \(e^x \to +\infty\) molto più velocemente.
Parte 1: Dimostrazione di \(f(x) > x\)
Sappiamo che per ogni \(x \in \mathbb{R}\), la quantità \(e^x + 1\) è sempre maggiore di \(e^x\):
\[ e^x + 1 > e^x \]
Applichiamo il logaritmo naturale (che è una funzione strettamente crescente) ad entrambi i membri:
\[ \ln(e^x + 1) > \ln(e^x) \]
Poiché \(\ln(e^x) = x\), otteniamo direttamente:
✅ \(f(x) > x \quad \forall x \in \mathbb{R}\)
Parte 2: Analisi qualitativa per \(f(x) < e^x\)
Per dimostrare la seconda parte, analizziamo l'andamento della funzione \(f(x) = \ln(e^x+1)\):
Limiti: Per \(x \to -\infty\), \(f(x) \to 0\). Per \(x \to +\infty\), \(f(x) \sim x\).
Monotonia e Concavità: Dal punto 1 sappiamo che la funzione è sempre crescente (\(f' > 0\)) e sempre convessa (\(f'' > 0\)).
─ Grafico di \(f(x) = \ln(e^x+1)\)
Parte 3: Confronto tra le tre curve
Mettiamo a confronto \(y = x\), \(y = f(x)\) e \(y = e^x\):
A sinistra (\(x \to -\infty\)): \(f(x)\) ed \(e^x\) tendono entrambi a \(0\), ma \(\ln(1+e^x)\) è l'infinitesimo più piccolo.
In \(x = 0\): \(f(0) = \ln 2 \approx 0,69\) mentre \(e^0 = 1\). Quindi \(f(0) < e^0\).
A destra (\(x \to +\infty\)): \(f(x)\) cresce come una retta (\(y=x\)), mentre \(e^x\) cresce molto più velocemente.
─ \(y = e^x\)
─ \(y = f(x)\)
─ \(y = x\)
✅ Poiché le curve non si intersecano mai e mantengono l'ordine verificato nei limiti e nel punto \(x=0\), resta dimostrato che: \(x < f(x) < e^x \quad \forall x \in \mathbb{R}\)
Domanda 4
Ponendo \(a = b = c = 1\), detta \(A\) l'area della parte di piano compresa tra il grafico di \(h(x) = f(-|x|)\) e l'asse \(x\), verifica che \(A < 2\).
Inoltre, a partire dalle caratteristiche del grafico di \(h(x)\), determina un numero reale \(S\), quanto più grande possibile, tale che \(A > S\).
Domanda 4. Ponendo a uguale a b uguale a c uguale a 1, detta A l'area della parte di piano compresa tra il grafico di h di x uguale a f di meno valore assoluto di x e l'asse x,
verifica che A è minore di 2.
Inoltre, a partire dalle caratteristiche del grafico di h di x, determina un numero reale S quanto più grande possibile, tale che A sia maggiore di S.
💡 Suggerimento 1
Il grafico di \(h(x) = f(-|x|)\) è simmetrico rispetto all'asse \(y\), quindi \(A = 2\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx\). Per dimostrare \(A < 2\) basta mostrare che \(\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx < 1\).
💡 Suggerimento 2
Usa il risultato del punto 3: \(f(x) < e^x\) per ogni \(x\). Quindi \(\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx < \int_{-\infty}^{0} e^x\,dx = 1\).
💡 Suggerimento 3
Per trovare \(S\), considera il triangolo formato dalle due semi-tangenti al grafico di \(h(x)\) nel punto angoloso \(C = (0;\,\ln 2)\) e l'asse \(x\). Calcola base e altezza del triangolo.
Step 1 — Come si ottiene \(h(x)\)
Il grafico di \(h(x) = f(-|x|)\) si costruisce in due passi:
1. Riflessione rispetto all'asse \(y\): si passa da \(y = f(x)\) a \(y = f(-x)\).
─ \(y = f(x)\)
- - \(y = f(-x)\)
2. Applicazione del valore assoluto: si prende la parte di \(f(-x)\) per \(x \ge 0\) e si ribalta per \(x < 0\), ottenendo \(h(x)\).
─ \(y = h(x) = f(-|x|)\)
Step 2 — Dimostrazione che \(A < 2\)
Per la simmetria di \(h(x)\) rispetto all'asse \(y\):
\[ A = 2\int_{-\infty}^{0} f(x)\,dx \]
Dal punto 3 sappiamo che \(f(x) < e^x\) per ogni \(x\), quindi:
