Sia \( f(x) \) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che \( f(0)=2 \). Calcolare:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x e^t f(t)\, dt}{e^x - 1} \]
dove \( e \) è la base dei logaritmi naturali.
Sia f di x una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che f di zero è uguale a 2.
Calcolare il limite per x che tende a zero del rapporto tra l'integrale da zero a x di e alla t per f di t in di ti, e la quantità e alla x meno 1.
Passo 1 — Verifica della forma indeterminata
Per \(x \to 0\), il numeratore \(\int_0^x e^t f(t)\,dt \to 0\) e il denominatore \(e^x - 1 \to 0\): il limite si presenta nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Sono verificate le condizioni per applicare la regola di de L'Hôpital.
Passo 2 — Applicazione di de L'Hôpital e del Teorema di Torricelli
Deriviamo numeratore e denominatore. Per il Teorema di Torricelli, la derivata della funzione integrale è la funzione integranda:
Quesito 2 — Geometria solida: cubo diviso in quattro parti
Si consideri il cubo di spigoli AA', BB', CC', DD', in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e A'B'C'D'. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC'A' e D'DE dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.
Si consideri il cubo di spigoli A A primo, B B primo, C C primo, D D primo, in cui le due facce opposte sono i quadrati ABCD e A primo B primo C primo D primo.
Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani che passano per A, C, C primo, A primo e per D primo, D, E
dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.
Passo 1 — Impostazione del problema
Le quattro parti sono prismi di altezza uguale \( AA' \) e basi le quattro parti in cui il quadrato \( ABCD \) resta diviso da \( DE \) ed \( AC \). Poniamo lo spigolo del cubo uguale a 2; risulta:
\[ AE = 1, \quad DE = \sqrt{5} \]
Fig. 1 — Rappresentazione 3D del cubo
Fig. 2 — La base quadrata ABCD con le diagonali
Passo 2 — Posizione del punto O (intersezione di AC e DE)
Il triangolo \( AEO \) è simile al triangolo \( DOC \) ed essendo \( AE = \frac{1}{2} CD \), risulta:
\[ AO = \frac{1}{2} OC \]
Essendo \( AC = 2\sqrt{2} \):
\[ AO = \frac{1}{3} AC = \frac{2\sqrt{2}}{3}, \qquad OC = 2AO = \frac{4\sqrt{2}}{3} \]
Passo 3 — Calcolo delle aree di base dei quattro prismi
Poiché il volume di un prisma è \( V = \text{Area(base)} \cdot h \) e i quattro prismi hanno la stessa altezza, il rapporto fra i volumi è uguale al rapporto fra le aree di base:
Risultato: Il prisma più esteso (base CBEO) ha volume quintuplo rispetto al prisma meno esteso (base AOE).
Quesito 3 — Massimi e minimi con parametro
Considerata la funzione:
\[ f(x) = ax^3 + 2ax^2 - 3x \]
dove \( a \) è un parametro reale non nullo, determinare i valori di \( a \) per cui essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti.
Considerata la funzione f di x uguale a a per x cubo più 2a per x quadro meno 3x,
dove a è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui la funzione ha
un massimo e un minimo relativi, e quelli per cui non ha punti estremanti.
Passo 1 — Derivata prima
Poiché \( f \) è continua e derivabile su tutto \( \mathbb{R} \), per avere estremanti relativi è necessario che si annulli la derivata prima:
\[ f'(x) = 3ax^2 + 4ax - 3 = 0 \]
Passo 2 — Condizione per massimo e minimo (discriminante positivo)
Se \( \frac{\Delta}{4} > 0 \), la derivata ha due radici reali e distinte, quindi \(f\) ha un massimo e un minimo relativi:
\[ \frac{\Delta}{4} = 4a^2 + 9a > 0 \]
Questa disequazione è verificata per:
\[ a < -\frac{9}{4} \quad \text{oppure} \quad a > 0 \]
Passo 3 — Condizione per nessun estremante (discriminante non positivo)
Se \( \frac{\Delta}{4} \leq 0 \), la derivata non cambia segno e \(f\) non ha estremanti:
\[ -\frac{9}{4} \leq a < 0 \]
Risultato
Massimo e minimo relativi quando \( a \in \left(-\infty,\, -\dfrac{9}{4}\right) \cup (0,\, +\infty) \)
Nessun estremante quando \( a \in \left[-\dfrac{9}{4},\, 0\right) \)
Quesito 4 — Numero di soluzioni di un'equazione
Determinare il numero delle soluzioni dell'equazione:
\[ x e^x + x e^{-x} - 2 = 0 \]
Determinare il numero delle soluzioni dell'equazione: x per e alla x, più x per e alla meno x, meno 2, uguale zero.
Passo 1 — Riscrittura dell'equazione
Osserviamo che \(x = 0\) non è soluzione (il primo membro varrebbe \(-2 \neq 0\)). Per \(x \neq 0\) dividiamo per \(x\) e riscriviamo:
In verde \(g(x) = e^x + e^{-x}\), in blu \(h(x) = \frac{2}{x}\). Le due curve si intersecano una sola volta, per \(x > 0\).
Fig. 3
Per \(x < 0\): \(g(x) > 0\) mentre \(h(x) < 0\), quindi non ci sono intersezioni.
Per \(x > 0\): \(g(x)\) parte da 2 e cresce; \(h(x)\) parte da \(+\infty\) e decresce verso 0. Le due curve si intersecano esattamente una volta.
Risultato: L'equazione ha una sola soluzione reale, positiva e compresa tra 0 e 2.
Quesito 5 — Geometria analitica dello spazio: retta, piano e sfera
Data la retta \(r\) passante per \(A(1, 0, 2)\) e \(B(3, 2, 0)\) e il piano \(\pi: x + 2y + z = 6\):
Trovare il punto \(P\) di intersezione tra \(r\) e \(\pi\).
Trovare l'equazione della sfera di centro \(P\) e passante per \(A\).
Calcolare l'angolo che la retta \(r\) forma con il piano \(\pi\), approssimato in gradi sessagesimali.
Data la retta r passante per A con coordinate 1, 0, 2 e B con coordinate 3, 2, 0,
e il piano pi greco di equazione x più 2 ipsilon più z uguale 6:
primo: trovare il punto P di intersezione tra la retta r e il piano pi greco.
secondo: trovare l'equazione della sfera di centro P e passante per A.
terzo: calcolare l'angolo che la retta r forma con il piano pi greco, approssimato in gradi sessagesimali.
Passo 1 — Equazione parametrica della retta r
Il vettore direzione di \(r\) ha componenti uguali alle differenze delle coordinate dei due punti:
Figura 2: La sfera centrata nel punto di intersezione \(P\). ●Sfera: raggio \(R = \frac{3\sqrt{3}}{2}\). ●Punto \(A\): sulla superficie sferica.
Passo 4 — Angolo tra la retta r e il piano
Il triangolo \(PAH\), dove \(H\) è il piede della perpendicolare da \(A\) al piano, è rettangolo in \(H\). Quindi:
\[ \sin\alpha = \frac{AH}{AP} \]
Figura 3: Costruzione dell'angolo \(\alpha\). ●Punto \(H\): proiezione di \(A\) sul piano. ⊿Triangolo \(PAH\): evidenzia la relazione \(\sin\alpha = AH/AP\).
Calcoliamo \(AH\) con la formula della distanza punto-piano:
Calcolare l'area della regione di piano delimitata dalla parabola \(y = x^2 - 2x\) e dalla retta \(y = x\):
con il calcolo integrale;
con il Teorema di Archimede.
Calcolare l'area della regione di piano delimitata dalla parabola ipsilon uguale x quadro meno 2x
e dalla retta ipsilon uguale x, prima con il calcolo integrale, poi con il Teorema di Archimede.
Passo 1 — Punti di intersezione tra parabola e retta
Il punto di tangenza è \(T\!\left(\dfrac{3}{2},\, -\dfrac{3}{4}\right)\) e l'equazione della tangente è:
\[ t:\; y = x - \frac{9}{4} \quad \text{ovvero} \quad x - y - \frac{9}{4} = 0 \]
In blu la parabola, in verde la retta \(y = x\), in rosso la tangente \(t\) nel punto \(T\!\left(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4}\right)\). \(H\) è il piede della perpendicolare da \(T\) alla corda \(OA\), con \(h = TH\) altezza del rettangolo circoscritto.
Fig. 2
Passo 4 — Calcolo della corda OA e dell'altezza
La base del rettangolo circoscritto è la corda \(OA\):
Risultato (Teorema di Archimede): \(\text{Area} = \dfrac{9}{2} \text{ u}^2 \checkmark\)
I due metodi concordano.
Quesito 7 — Calcolo combinatorio
In una classe di 15 studenti (8 maschi e 7 femmine) si deve formare una commissione di 5 persone.
Quante commissioni è possibile formare?
Quante commissioni contengono almeno una femmina?
Quante commissioni contengono esattamente 3 maschi e 2 femmine?
La commissione deve eleggere al proprio interno un presidente e un segretario. In quanti modi è possibile farlo, partendo da una commissione già formata?
In una classe di 15 studenti, 8 maschi e 7 femmine, si deve formare una commissione di 5 persone.
Primo: quante commissioni è possibile formare?
Secondo: quante commissioni contengono almeno una femmina?
Terzo: quante commissioni contengono esattamente 3 maschi e 2 femmine?
Quarto: la commissione deve eleggere al proprio interno un presidente e un segretario. In quanti modi è possibile farlo, partendo dalla commissione già formata?
Passo 1 — Commissioni totali
Il numero di commissioni di 5 persone scelte da 15 è dato dalla combinazione:
Risultato: Le commissioni con esattamente 3 maschi e 2 femmine sono 1176.
Passo 4 — Elezione di presidente e segretario
Dobbiamo scegliere 2 persone per ruoli distinti: si tratta di una disposizione (l'ordine conta).
\[ D_{5,2} = 5 \cdot 4 = 20 \]
Risultato: I modi per eleggere presidente e segretario sono 20.
Quesito 8 — Distribuzione binomiale
Uno studente risponde a caso a 8 domande a risposta multipla, ciascuna con 4 opzioni di cui una sola corretta.
Calcolare la probabilità che indovini esattamente 3 risposte.
Calcolare la probabilità che indovini almeno 2 risposte.
Calcolare la probabilità che prenda la sufficienza, fissata in almeno 5 risposte corrette su 8 (più del 50%).
Uno studente risponde a caso a 8 domande a risposta multipla, ciascuna con 4 opzioni di cui una sola corretta.
Primo: calcolare la probabilità che indovini esattamente 3 risposte.
Secondo: calcolare la probabilità che indovini almeno 2 risposte.
Terzo: calcolare la probabilità che prenda la sufficienza, fissata in almeno 5 risposte corrette su 8.
Impostazione del problema
La probabilità di indovinare una risposta a caso è \(p = \dfrac{1}{4}\), quella di sbagliare è \(q = \dfrac{3}{4}\). Il numero di domande è \(n = 8\).
La variabile aleatoria \(X\) = numero di risposte corrette segue una distribuzione binomiale con formula generale:
Risultato: \(P(X \geq 5) = \dfrac{1789}{65536} \approx 0{,}0273 = 2{,}7\%\) Rispondere a caso dà meno del 3% di probabilità di prendere la sufficienza!
