Questionario 2 con quesiti tipologia Esame di Stato

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Argomenti: funzioni crescenti e funzione inversa, probabilità con il Totocalcio, funzione integrale e teorema di Torricelli, geometria analitica dello spazio, area con parametro e triangolo di area massima, trigonometria applicata alla navigazione, calcolo combinatorio e probabilità, teorema di Rolle.

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Quesito 1 — Funzione crescente e derivata della funzione inversa

Verificare che la funzione: \[ y = f(x) = 3x + \log x \] è strettamente crescente.

Detta \(g\) la funzione inversa, calcolare \(g'(3)\).

Passo 1 — Dominio e derivata prima

La funzione è definita per \(x > 0\) ed ha derivata:

\[ f'(x) = 3 + \frac{1}{x} \]

Poiché \(\dfrac{1}{x} > 0\) per ogni \(x > 0\), risulta:

\[ f'(x) = 3 + \frac{1}{x} > 0 \quad \forall\, x > 0 \]

La funzione è strettamente crescente nel suo dominio.

Passo 2 — Calcolo di \(g(3)\)

Troviamo \(g(3)\) risolvendo \(f(x) = 3\):

\[ 3x + \log x = 3 \]

Verifichiamo che \(x = 1\) è soluzione:

\[ 3(1) + \log 1 = 3 + 0 = 3 \quad \checkmark \]

Quindi \(g(3) = 1\).

Passo 3 — Calcolo di \(f'(1)\)

\[ f'(1) = 3 + \frac{1}{1} = 4 \]

Passo 4 — Teorema della funzione inversa

\[ g'(3) = \frac{1}{f'(g(3))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4} \]

Risultato: \(g'(3) = \dfrac{1}{4}\)

Quesito 2 — Probabilità al Totocalcio

Assumendo che i risultati X, 1, 2 delle 13 partite del Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.

Primo metodo — Conteggio diretto

I casi possibili sono tutte le sequenze di 13 risultati scelti tra X, 1, 2:

\[ \text{casi possibili} = 3^{13} \]

I casi favorevoli sono: una partita con risultato 1 oppure 2 (2 scelte), le restanti 12 con risultato X, e la partita "non pareggio" può essere una qualsiasi delle 13 (13 scelte):

\[ \text{casi favorevoli} = 13 \times 2 = 26 \]

\[ p = \frac{26}{3^{13}} \]

Secondo metodo — Distribuzione binomiale

Modelliamo il problema come una distribuzione binomiale con:

probabilità di pareggio (successo): \(p = \dfrac{1}{3}\)
probabilità di non pareggio: \(q = \dfrac{2}{3}\)
numero di prove: \(n = 13\)
numero di successi richiesti: \(k = 12\)

\[ p(13,12) = \binom{13}{12} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{12} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{1} = \frac{26}{3^{13}} \]

Risultato: I due metodi concordano: la probabilità richiesta è \(\dfrac{26}{3^{13}}\).

Quesito 3 — Funzione integrale e Teorema di Torricelli

Trovare \(f(4)\) sapendo che: \[ \int_{0}^{x} f(t)\, dt = x \cos(\pi x) \]

Passo 1 — Applicazione del Teorema di Torricelli

Per il Teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli), la derivata della funzione integrale è la funzione integranda. Deriviamo entrambi i membri rispetto a \(x\):

\[ f(x) = \frac{d}{dx}\left[x \cos(\pi x)\right] \]

Passo 2 — Calcolo della derivata (regola del prodotto)

\[ f(x) = \cos(\pi x) + x \cdot (-\pi \sin(\pi x)) = \cos(\pi x) - \pi x \sin(\pi x) \]

Passo 3 — Calcolo di \(f(4)\)

\[ f(4) = \cos(4\pi) - 4\pi \sin(4\pi) = 1 - 4\pi \cdot 0 = 1 \]

Risultato: \(f(4) = 1\)

Quesito 4 — Geometria analitica dello spazio: sfera e sorgente luminosa

In un riferimento cartesiano \(Oxyz\):

Verificare che la circonferenza \(\gamma\), intersezione della sfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) e del piano \(z = 1\), ha centro in \((0,0,1)\) e raggio \(\sqrt{3}\).
Determinare la distanza dal centro della sfera a cui deve trovarsi una sorgente luminosa \(S\) sul semiasse positivo delle \(z\) affinché \(\gamma\) sia il confine tra la zona illuminata e quella in ombra.

Rappresentazione grafica della sfera con sorgente luminosa

Parte 1 — Equazione della circonferenza

Sostituiamo \(z = 1\) nell'equazione della sfera:

\[ x^2 + y^2 + 1 = 4 \implies x^2 + y^2 = 3 \]

Questa è l'equazione di una circonferenza nel piano \(z = 1\) con centro \((0, 0, 1)\) e raggio \(\sqrt{3}\). \(\checkmark\)

Parte 2 — Posizione della sorgente luminosa

Poniamo \(S = (0, 0, t)\) con \(t > 2\) (sopra la sfera). Indichiamo con:

\(O = (0,0,0)\) il centro della sfera (raggio \(r = 2\))
\(A = (0,0,1)\) il centro di \(\gamma\)
\(D\) un punto generico su \(\gamma\) (raggio \(DA = \sqrt{3}\))

Il raggio \(SD\) è tangente alla sfera in \(D\), quindi il triangolo \(SDO\) è rettangolo in \(D\) e per il teorema di Pitagora:

\[ SD^2 = SO^2 - OD^2 = t^2 - 4 \]

Applicando Pitagora al triangolo \(SDA\), rettangolo in A:

\[ SD^2 = SA^2 + DA^2 = (t-1)^2 + 3 \]

Uguagliando le due espressioni:

\[ (t-1)^2 + 3 = t^2 - 4 \implies t^2 - 2t + 4 = t^2 - 4 \implies t = 4 \]

Risultato: La sorgente luminosa deve trovarsi a 4 unità dal centro della sfera.

Metodo alternativo — Secondo teorema di Euclide

Nel triangolo rettangolo \(SDO\) (rettangolo in \(D\)), il segmento \(DA\) è l'altezza relativa all'ipotenusa \(SO\). Il secondo teorema di Euclide dà:

\[ DA^2 = AO \cdot SA \implies 3 = 1 \cdot SA \implies SA = 3 \implies t-1=3 \implies t = 4 \]

Quesito 5 — Area con parametro e triangolo di area massima

Sia data la parabola \(y = f(x) = x^2 - k\) e la retta \(y = g(x) = x + 2\).

Determinare il valore di \(k\) affinché le due curve si intersechino nel punto di ascissa \(x = 3\).
Con il valore di \(k\) trovato, calcolare l'area della regione di piano delimitata dalle due curve.
Indicati con \(A\) e \(B\) i punti di intersezione della parabola con la retta, determinare il punto \(P\) sull'arco di parabola \(AB\) che, insieme ad \(A\) e \(B\), individua il triangolo di area massima.

Punto a) — Determinazione di \(k\)

Imponiamo che \(x = 3\) sia l'ascissa di un punto di intersezione tra la parabola e la retta, cioè che \(f(3) = g(3)\):

\[ 9 - k = 3 + 2 \implies k = 4 \]

Risultato: \(k = 4\), quindi la parabola è \(y = x^2 - 4\).

Grafico della parabola e della retta

Punto b) — Area della regione delimitata

Troviamo le intersezioni tra \(y = x^2 - 4\) e \(y = x + 2\):

\[ x^2 - 4 = x + 2 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies (x+2)(x-3) = 0 \]

Le intersezioni sono in \(x = -2\) e \(x = 3\), cioè \(A = (-2,\, 0)\) e \(B = (3,\, 5)\).

Nell'intervallo \([-2,\, 3]\) la retta sta sopra la parabola, quindi:

\[ \text{Area} = \int_{-2}^{3} \left[(x+2) - (x^2-4)\right] dx = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6)\, dx \]

\[ = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x\right]_{-2}^{3} = \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(\frac{8}{3} + 2 - 12\right) = \frac{125}{6} \]

Risultato: \(\text{Area} = \dfrac{125}{6} \text{ u}^2\)

Punto c) — Punto P di area massima

L'area del triangolo \(ABP\) è massima quando la distanza di \(P\) dalla retta \(AB\) è massima, cioè quando la tangente alla parabola in \(P\) è parallela ad \(AB\) (stessa pendenza \(m = 1\)).

Triangolo ABP di area massima con tangente parallela ad AB

La tangente \(t\) in \(P\) è parallela ad \(AB\)

\[ f'(x) = 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \]

\[ y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 = -\frac{15}{4} \]

La distanza di \(P = \!\left(\dfrac{1}{2};\; -\dfrac{15}{4}\right)\) dalla retta \(AB\) con equazione \(x - y + 2 = 0\) è:

\[ d = \frac{\left|\dfrac{1}{2} + \dfrac{15}{4} + 2\right|}{\sqrt{2}} = \frac{\dfrac{25}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{25\sqrt{2}}{8} \]

La lunghezza della corda \(AB\) è:

\[ AB = \sqrt{(3-(-2))^2 + (5-0)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

\[ \text{Area}(\triangle ABP) = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{25\sqrt{2}}{8} = \frac{125}{8} \text{ u}^2 \]

Risultato: Il punto è \(P = \!\left(\dfrac{1}{2};\; -\dfrac{15}{4}\right)\) e l'area massima del triangolo è \(\dfrac{125}{8} \text{ u}^2\).

Nota: \(\dfrac{125}{8} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{125}{6}\), in accordo con il Teorema di Archimede, che afferma che l'area del triangolo inscritto massimo è sempre \(\dfrac{3}{4}\) dell'area del segmento parabolico.

Quesito 6 — Navigazione: rotta in mare

Una barca parte da \(A\) e percorre 12 km in direzione nord fino al punto \(B\). Qui cambia rotta virando di 120° verso destra e percorre altri 8 km fino al punto \(C\).

Calcolare la minima distanza \(CA\) che la nave deve percorrere per ritornare in \(A\).
Calcolare l'angolo \(\hat{A}\) che la rotta \(CA\) forma con la rotta \(AB\).
La nave percorre il tratto \(AB\) alla velocità di 36 km/h e il tratto \(BC\) alla velocità di 40 km/h. Sapendo che il viaggio triangolare \(A \to B \to C \to A\) deve essere completato in 45 minuti, calcolare la velocità approssimata all'unità in km/h che la nave deve tenere nel tratto \(CA\).

Punto a) — Distanza CA

Le tre rotte \(u\), \(v\), \(w\) e gli angoli del triangolo \(ABC\)

La barca vira di 120° verso destra rispetto alla direzione nord, quindi l'angolo interno del triangolo in \(B\) è:

\[ \hat{B} = 180° - 120° = 60° \]

Applichiamo il teorema del coseno:

\[ CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\hat{B} = 144 + 64 - 192 \cdot \frac{1}{2} = 112 \]

Risultato: \(CA = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \approx 10{,}58 \text{ km}\)

Punto b) — Angolo \(\hat{A}\)

Applichiamo il teorema dei seni:

\[ \frac{BC}{\sin\hat{A}} = \frac{CA}{\sin\hat{B}} \implies \sin\hat{A} = \frac{BC \cdot \sin\hat{B}}{CA} = \frac{8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}} \]

Risultato: \(\hat{A} = \arcsin\!\left(\sqrt{\dfrac{3}{7}}\right) \approx 40{,}9°\)

Punto c) — Velocità nel tratto CA

Calcoliamo i tempi dei tratti già percorsi (ricordando che il tempo è uguale allo spazio fratto la velocità):

\[ t_{AB} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \text{ h} = 20 \text{ min}, \qquad t_{BC} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} \text{ h} = 12 \text{ min} \]

Il tempo disponibile per il tratto \(CA\) è:

\[ t_{CA} = 45 - 20 - 12 = 13 \text{ min} = \frac{13}{60} \text{ h} \]

\[ w = \frac{4\sqrt{7}}{\dfrac{13}{60}} = \frac{240\sqrt{7}}{13} \approx 48{,}8 \text{ km/h} \]

Risultato: La nave deve navigare nel tratto \(CA\) a circa \(49 \text{ km/h}\).

Quesito 7 — Calcolo combinatorio e probabilità

Considera la parola MATEMATICA.

Quanti anagrammi ha la parola MATEMATICA?
Quanti di questi anagrammi iniziano e finiscono con una A?
Un'urna contiene tutti gli anagrammi della parola MATEMATICA e una seconda urna contiene tutti gli anagrammi della parola FISICA. Si estrae a caso un anagramma da ciascuna urna. Calcolare la probabilità che l'anagramma estratto dalla prima urna abbia le due M consecutive e contemporaneamente l'anagramma estratto dalla seconda urna inizi con F.

Analisi delle lettere

La parola MATEMATICA ha 10 lettere: A×3, M×2, T×2, E×1, I×1, C×1.

Punto a) — Anagrammi totali di MATEMATICA

Le permutazioni di 10 elementi con ripetizioni sono:

\[ \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{3628800}{24} = 151200 \]

Risultato: Gli anagrammi di MATEMATICA sono 151200.

Punto b) — Anagrammi che iniziano e finiscono con A

Fissiamo una A in prima posizione e una A in ultima. Restano 8 lettere da disporre: M, A, T, E, M, T, I, C (con A×1, M×2, T×2):

\[ \frac{8!}{1! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{40320}{4} = 10080 \]

Risultato: Gli anagrammi che iniziano e finiscono con A sono 10080.

Punto c) — Probabilità dell'evento doppio

Prima urna — anagrammi con MM consecutive:

Trattiamo il blocco [MM] come un unico elemento. Restano 9 elementi: [MM], A, T, E, A, T, I, C, A (con A×3, T×2):

\[ \frac{9!}{3! \cdot 2!} = \frac{362880}{12} = 30240 \]

\[ p_1 = \frac{30240}{151200} = \frac{1}{5} \]

Seconda urna — anagrammi di FISICA (F, I, S, I, C, A con I×2):

\[ \text{Totali: } \frac{6!}{2!} = 360 \qquad \text{Iniziano con F: } \frac{5!}{2!} = 60 \]

\[ p_2 = \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \]

I due eventi sono indipendenti, quindi:

\[ p = p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{30} \]

Risultato: La probabilità dell'evento è \(\dfrac{1}{30} \approx 3{,}3\%\).

Quesito 8 — Teorema di Rolle

Utilizzando il teorema di Rolle, provare che tra due radici reali di: \[ x^3 - 3x = 1 \] esiste almeno una radice reale di: \[ x^2 = 1 \]

Passo 1 — Definizione della funzione

Riscriviamo l'equazione \(x^3 - 3x = 1\) come \(x^3 - 3x - 1 = 0\) e definiamo:

\[ f(x) = x^3 - 3x - 1 \]

Le radici dell'equazione \(x^3 - 3x = 1\) coincidono con gli zeri della funzione \(f(x) = x^3 - 3x - 1\).

La funzione \(f\) è un polinomio, quindi è continua e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\).

Passo 2 — Esistenza di almeno due radici reali

Calcoliamo \(f\) in alcuni punti significativi:

\[ f(-2) = -8 + 6 - 1 = -3 < 0, \qquad f(-1) = -1 + 3 - 1 = 1 > 0 \]

\[ f(0) = -1 < 0, \qquad f(2) = 8 - 6 - 1 = 1 > 0 \]

Per il teorema degli zeri:

esiste almeno una radice \(x_1 \in (-2, -1)\) poiché \(f(-2) < 0\) e \(f(-1) > 0\)
esiste almeno una radice \(x_2 \in (-1, 0)\) poiché \(f(-1) > 0\) e \(f(0) < 0\)
esiste almeno una radice \(x_3 \in (0, 2)\) poiché \(f(0) < 0\) e \(f(2) > 0\)

Per il teorema degli zeri la cubica ha almeno tre radici reali. Poiché un polinomio di grado 3 ha al massimo tre radici, concludiamo che \(f\) ha esattamente tre radici reali distinte.

Passo 3 — Applicazione del teorema di Rolle

Siano \(a\) e \(b\) due zeri consecutivi di \(f\), con \(a < b\). La funzione \(f\) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo \([a, b]\):

\(f\) è continua in \([a, b]\)
\(f\) è derivabile in \((a, b)\)
\(f(a) = f(b) = 0\)

Quindi esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Passo 4 — Calcolo della derivata

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

L'equazione \(f'(c) = 0\) diventa:

\[ 3c^2 - 3 = 0 \implies c^2 = 1 \]

Esiste quindi almeno un valore \(c\) che soddisfa \(x^2 = 1\), cioè almeno una radice reale di \(x^2 = 1\).

Grafico di f(x) = x³ - 3x - 1 e g(x) = x² - 1

In figura i grafici qualitativi delle funzioni \(f(x) = x^3 - 3x - 1\) e \(g(x) = x^2 - 1\), che mostrano quanto richiesto.

Osservazione

Dal grafico si vede che tra le radici \(x_1\) e \(x_2\), oppure tra \(x_2\) e \(x_3\), l'equazione \(x^2 = 1\) ammette una soluzione. Invece considerando l'intervallo più ampio tra \(x_1\) e \(x_3\), l'equazione \(x^2 - 1 = 0\) ammette due soluzioni.

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