La funzione è definita per \( x > 0 \) ed ha derivata:

Poiché \( \frac{1}{x} > 0 \) per ogni \( x > 0 \), risulta:

Quindi la funzione è strettamente crescente nel suo dominio.

Per trovare \( g'(3) \), procediamo come segue:

1. Troviamo \( g(3) \) risolvendo \( f(x) = 3 \):

Verifichiamo che \( x = 1 \) è soluzione:

2. Calcoliamo \( f'(1) \):

3. Applichiamo il teorema della funzione inversa:

PRIMO METODO (Conteggio diretto dei casi favorevoli)

1. Casi possibili totali: \(3^{13}\) (3 risultati possibili per ognuna delle 13 partite).

2. Casi favorevoli:

• 13 modi per scegliere quale unica partita non termina in X (posizioni da 1 a 13).
• Per ciascuna di queste scelte, la partita "diversa" può essere 1 o 2 → 2 opzioni.

\[ \text{Casi favorevoli} = 13 \times 2 = 26 \]

3. Probabilità:

\[ p = \frac{\text{Casi favorevoli}}{\text{Casi possibili}} = \frac{26}{3^{13}} \]

SECONDO METODO (Distribuzione binomiale)

• Probabilità successo (X): \(p = \frac{1}{3}\)

• 13 prove indipendenti

• 12 successi (X) e 1 insuccesso (1 o 2)

Probabilità:

\[ p(13,12) = \binom{13}{12} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{12} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{1} = \frac{26}{3^{13}} \]

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale:

$$ f(x) = \frac{d}{dx} [x \cos(\pi x)] = \cos(\pi x) - \pi x \sin(\pi x) $$

Quindi:

$$ f(4) = \cos(4\pi) - 4\pi \sin(4\pi) = 1 - 0 = 1 $$

Parte 1

Sostituendo \(z = 1\) nell'equazione della sfera:

$$ x^2 + y^2 + 1 = 4 \implies x^2 + y^2 = 3 $$

Circonferenza con centro \((0,0,1)\) e raggio \(\sqrt{3}\).

Parte 2

Poniamo \(S = (0,0,t)\) con \(t > 2\).

Consideriamo:

• \(SA = t - 1\) (distanza S-centro circonferenza)
• \(DA = \sqrt{3}\) (raggio circonferenza)
• \(SD = \sqrt{(t-1)^2 + 3}\) (teorema di Pitagora)

Ma \(SD\) è anche tangente alla sfera, quindi:

$$ SD^2 = SO^2 - OD^2 = t^2 - 4 $$

Uguagliando:

$$ (t-1)^2 + 3 = t^2 - 4 \implies t = 4 $$

Distanza richiesta: 4 unità.

N.B.

Osservato che il triangolo \(SDO\) è rettangolo in \(D\) e che \(AD\) è l’altezza relativa all’ipotenusa, applicando il secondo teorema di Euclide si ottiene più velocemente \(t\).

Si ha infatti:

$$ DA^2 = AO \cdot SA $$

$$ 3 = 1 \cdot SA $$

$$ SA = 3 $$

$$ t - 1 = 3 $$

$$ t = 4 $$