Soluzione quesito 1:

Passo 1 — Dominio e derivata prima

La funzione è definita per \(x > 0\) ed ha derivata:

\[ f'(x) = 3 + \frac{1}{x} \]

Poiché \(\dfrac{1}{x} > 0\) per ogni \(x > 0\), risulta:

\[ f'(x) = 3 + \frac{1}{x} > 0 \quad \forall\, x > 0 \]

Quindi la funzione è strettamente crescente nel suo dominio.

Passo 2 — Calcolo di \(g(3)\)

Troviamo \(g(3)\) risolvendo \(f(x) = 3\):

\[ 3x + \log x = 3 \]

Verifichiamo che \(x = 1\) è soluzione:

\[ 3(1) + \log 1 = 3 + 0 = 3 \quad \checkmark \]

Quindi \(g(3) = 1\).

Passo 3 — Calcolo di \(f'(1)\)

\[ f'(1) = 3 + \frac{1}{1} = 4 \]

Passo 4 — Applicazione del teorema della funzione inversa

\[ g'(3) = \frac{1}{f'(g(3))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4} \]

Risultato

Il valore della derivata della funzione inversa è \(g'(3) = \dfrac{1}{4}\).

Soluzione quesito 2:

Primo metodo — Conteggio diretto

I casi possibili sono tutte le sequenze di 13 risultati scelti tra X, 1, 2:

\[ \text{casi possibili} = 3^{13} \]

I casi favorevoli sono: una partita con risultato 1 oppure 2 (2 scelte), le restanti 12 con risultato X, e la partita "non pareggio" può essere una qualsiasi delle 13 (13 scelte):

\[ \text{casi favorevoli} = 13 \times 2 = 26 \]

Probabilità:

\[ p = \frac{26}{3^{13}} \]

Secondo metodo — Distribuzione binomiale

Modelliamo il problema come una distribuzione binomiale con:

• probabilità di pareggio (successo): \(p = \dfrac{1}{3}\)
• probabilità di non pareggio: \(q = \dfrac{2}{3}\)
• numero di prove: \(n = 13\)
• numero di successi richiesti: \(k = 12\)

\[ p(13,12) = \binom{13}{12} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{12} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{1} = \frac{26}{3^{13}} \]

Risultato

I due metodi concordano: la probabilità richiesta è \(\dfrac{26}{3^{13}}\).

Soluzione quesito 3:

Passo 1 — Applicazione del Teorema di Torricelli

Per il Teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli), la derivata della funzione integrale è la funzione integranda. Deriviamo entrambi i membri rispetto a \(x\):

\[ f(x) = \frac{d}{dx}\left[x \cos(\pi x)\right] \]

Passo 2 — Calcolo della derivata (regola del prodotto)

\[ f(x) = \cos(\pi x) + x \cdot (-\pi \sin(\pi x)) = \cos(\pi x) - \pi x \sin(\pi x) \]

Passo 3 — Calcolo di \(f(4)\)

\[ f(4) = \cos(4\pi) - 4\pi \sin(4\pi) = 1 - 4\pi \cdot 0 = 1 \]

Risultato

\(f(4) = 1\).

Soluzione quesito 4:

Parte 1 — Equazione della circonferenza

Sostituiamo \(z = 1\) nell'equazione della sfera:

\[ x^2 + y^2 + 1 = 4 \implies x^2 + y^2 = 3 \]

Questa è l'equazione di una circonferenza nel piano \(z = 1\) con centro \((0, 0, 1)\) e raggio \(\sqrt{3}\). \(\checkmark\)

Parte 2 — Posizione della sorgente luminosa

Poniamo \(S = (0, 0, t)\) con \(t > 2\) (sopra la sfera). Indichiamo con:

• \(O = (0,0,0)\) il centro della sfera (raggio \(r = 2\))
• \(A = (0,0,1)\) il centro di \(\gamma\)
• \(D\) un punto generico su \(\gamma\) (raggio \(DA = \sqrt{3}\))

Il raggio \(SD\) è tangente alla sfera in \(D\), quindi il triangolo \(SDO\) è rettangolo in \(D\) e per il teorema di Pitagora:

\[ SD^2 = SO^2 - OD^2 = t^2 - 4 \]

D'altra parte, applicando Pitagora al triangolo \(SDA\), rettangolo in A:

\[ SD^2 = SA^2 + DA^2 = (t-1)^2 + 3 \]

Uguagliando le due espressioni:

\[ (t-1)^2 + 3 = t^2 - 4 \implies t^2 - 2t + 1 + 3 = t^2 - 4 \implies -2t + 4 = -4 \implies t = 4 \]

Metodo alternativo — Secondo teorema di Euclide

Nel triangolo rettangolo \(SDO\) (rettangolo in \(D\)), il segmento \(DA\) è l'altezza relativa all'ipotenusa \(SO\). Il secondo teorema di Euclide dà:

\[ DA^2 = AO \cdot SA \implies 3 = 1 \cdot SA \implies SA = 3 \implies t - 1 = 3 \implies t = 4 \]

Risultato

La sorgente luminosa deve trovarsi a 4 unità dal centro della sfera.

Soluzione quesito 5:

Punto a) — Determinazione di \(k\)

Imponiamo che \(x = 3\) sia l'ascissa un punto di intersezione tra la parabola e la retta, cioè che \(f(3) = g(3)\):

\[ 9 - k = 3 + 2 \implies k = 4 \]

Punto b) — Area della regione delimitata dalle due curve

Troviamo le intersezioni tra \(y = x^2 - 4\) e \(y = x + 2\):

\[ x^2 - 4 = x + 2 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies (x+2)(x-3) = 0 \]

Le intersezioni sono in \(x = -2\) e \(x = 3\), cioè \(A = (-2,\, 0)\) e \(B = (3,\, 5)\).

Nell'intervallo \([-2,\, 3]\) la retta sta sopra la parabola, quindi l'area è:

\[ \text{Area} = \int_{-2}^{3} \left[(x+2) - (x^2-4)\right] dx = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6)\, dx \] \[ = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x\right]_{-2}^{3} = \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(\frac{8}{3} + 2 - 12\right) = \frac{125}{6} \]

Punto c) — Punto P di area massima

L'area del triangolo \(ABP\) è:

\[ \text{Area}(\triangle ABP) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d(P,\, AB) \]

Poiché la lunghezza \(AB\) è fissa, massimizzare l'area equivale a massimizzare la distanza di \(P\) dalla retta \(AB\).

La distanza è massima nel punto in cui la tangente alla parabola è parallela alla retta \(AB\), cioè ha la stessa pendenza \(m = 1\). Imponiamo quindi:

\[ f'(x) = 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \] \[ y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4} \]

Calcoliamo ora l'area del triangolo. La distanza di \(P = \!\left(\dfrac{1}{2};\; -\dfrac{15}{4}\right)\) dalla retta \(AB\), che ha equazione \(x - y + 2 = 0\), è:

\[ d = \frac{\left|\dfrac{1}{2} - \left(-\dfrac{15}{4}\right) + 2\right|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\left|\dfrac{2}{4} + \dfrac{15}{4} + \dfrac{8}{4}\right|}{\sqrt{2}} = \frac{\dfrac{25}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{25}{4\sqrt{2}} = \frac{25\sqrt{2}}{8} \]

La lunghezza della corda \(AB\) è:

\[ AB = \sqrt{(3-(-2))^2 + (5-0)^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2} \]

Quindi l'area del triangolo è:

\[ \text{Area}(\triangle ABP) = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{25\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{125 \cdot 2}{8} = \frac{125}{8} \text{ u}^2 \]

Nota: non è un caso che \(\text{Area}(\triangle ABP) = \dfrac{3}{4} \cdot \text{Area} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{125}{6} = \dfrac{125}{8}\): è proprio il contenuto del Teorema di Archimede sul segmento parabolico, che afferma che l'area del triangolo inscritto massimo è sempre \(\dfrac{3}{4}\) dell'area del segmento parabolico.

Soluzione quesito 6:

Punto a) — Distanza CA

La barca vira di 120° verso destra rispetto alla direzione nord, quindi l'angolo interno del triangolo in \(B\) è:

\[ \hat{B} = 180° - 120° = 60° \]

Applichiamo il teorema del coseno:

\[ CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\hat{B} = 144 + 64 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 208 - 192 \cdot \frac{1}{2} = 112 \]

Punto b) — Angolo \(\hat{A}\)

Applichiamo il teorema dei seni per trovare \(\hat{A}\):

\[ \frac{BC}{\sin\hat{A}} = \frac{CA}{\sin\hat{B}} \implies \sin\hat{A} = \frac{BC \cdot \sin\hat{B}}{CA} = \frac{8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}} \] \[ \hat{A} = \arcsin\!\left(\sqrt{\frac{3}{7}}\right) \approx \arcsin(0{,}655) \approx 40{,}9° \]

Punto c) — Velocità nel tratto CA

Calcoliamo i tempi dei tratti già percorsi (ricordando che il tempo è uguale allo spazio fratto la velocità):

\[ t_{AB} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \text{ h} = 20 \text{ min}, \qquad t_{BC} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} \text{ h} = 12 \text{ min} \]

Il tempo disponibile per il tratto \(CA\) è:

\[ t_{CA} = 45 - 20 - 12 = 13 \text{ min} = \frac{13}{60} \text{ h} \]

La velocità nel tratto \(CA\) è quindi:

\[ w = \frac{CA}{t_{CA}} = \frac{4\sqrt{7}}{\dfrac{13}{60}} = \frac{240\sqrt{7}}{13} \approx \frac{240 \cdot 2{,}646}{13} \approx \frac{634}{13} \approx 48{,}8 \text{ km/h} \]

Soluzione quesito 7:

Analisi delle lettere

La parola MATEMATICA ha 10 lettere con le seguenti molteplicità:

Lettera	A	M	T	E	I	C
Molteplicità	3	2	2	1	1	1

Punto a) — Anagrammi totali di MATEMATICA

Le permutazioni di 10 elementi con ripetizioni sono:

\[ \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{3628800}{6 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{3628800}{24} = 151200 \]

Punto b) — Anagrammi che iniziano e finiscono con A

Fissiamo una A in prima posizione e una A in ultima. Restano 8 lettere da disporre nelle posizioni centrali:

\[ \text{M, A, T, E, M, T, I, C} \quad \text{(con A×1, M×2, T×2)} \] \[ \frac{8!}{1! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{40320}{4} = 10080 \]

Punto c) — Probabilità dell'evento doppio

Prima urna — anagrammi di MATEMATICA con MM consecutive:

Trattiamo il blocco MM come un unico elemento. Restano 9 elementi da disporre: [MM], A, T, E, A, T, I, C, A (con A×3, T×2):

\[ \frac{9!}{3! \cdot 2!} = \frac{362880}{12} = 30240 \]

Probabilità di estrarre un anagramma con MM consecutive:

\[ p_1 = \frac{30240}{151200} = \frac{1}{5} \]

Seconda urna — anagrammi di FISICA:

La parola FISICA ha 6 lettere: F, I, S, I, C, A (con I×2).

Anagrammi totali di FISICA:

\[ \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360 \]

Anagrammi che iniziano con F: fissiamo F in prima posizione, restano 5 lettere I, S, I, C, A (con I×2):

\[ \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \]

Probabilità di estrarre un anagramma che inizia con F:

\[ p_2 = \frac{60}{360} = \frac{1}{6} \]

Probabilità congiunta:

I due eventi sono indipendenti (estrazioni da urne diverse), quindi:

\[ p = p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{30} \]

Soluzione quesito 8:

Passo 1 — Definizione della funzione

Riscriviamo l'equazione \(x^3 - 3x = 1\) come \(x^3 - 3x - 1 = 0\) e definiamo:

\[ f(x) = x^3 - 3x - 1 \]

Le radici dell'equazione \(x^3 - 3x = 1\) coincidono con gli zeri della funzione \(f(x) = x^3 - 3x - 1\).

La funzione \(f\) è un polinomio, quindi è continua e derivabile su tutto \(\mathbb{R}\).

Passo 2 — Esistenza di almeno due radici reali

Calcoliamo f in alcuni punti significativi:

\[ f(-2) = -8 + 6 - 1 = -3 < 0, \qquad f(-1) = -1 + 3 - 1 = 1 > 0 \] \[ f(0) = -1 < 0, \qquad f(2) = 8 - 6 - 1 = 1 > 0 \]

Per il teorema degli zeri:

• esiste almeno una radice \(x_1 \in (-2, -1)\) poiché \(f(-2) < 0\) e \(f(-1) > 0\)
• esiste almeno una radice \(x_2 \in (-1, 0)\) poiché \(f(-1) > 0\) e \(f(0) < 0\)
• esiste almeno una radice \(x_3 \in (0, 2)\) poiché \(f(0) < 0\) e \(f(2) > 0\)

Per il teorema degli zeri la cubica ha almeno tre radici reali. Poiché un polinomio di grado 3 ha al massimo tre radici, concludiamo che \(f\) ha esattamente tre radici reali distinte.

Passo 3 — Applicazione del teorema di Rolle

Siano \(a\) e \(b\) due zeri consecutivi di \(f\), con \(a < b\). La funzione \(f\) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo \([a, b]\):

• \(f\) è continua in \([a, b]\)
• \(f\) è derivabile in \((a, b)\)
• \(f(a) = f(b) = 0\)

Quindi esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Passo 4 — Calcolo della derivata

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

L'equazione \(f'(c) = 0\) diventa:

\[ 3c^2 - 3 = 0 \implies c^2 = 1 \]

Osservazione: Dal grafico si vede che tra le radici \(x_1\) e \(x_2\), oppure tra \(x_2\) e \(x_3\), l'equazione \(x^2 = 1\) ammette una soluzione. Invece considerando l'intervallo più ampio tra \(x_1\) e \(x_3\), l'equazione \(x^2 - 1 = 0\) ammette due soluzioni.