Questionario 3 — Versione DSA

Passo 1 — Unicità della soluzione

Poniamo \(f(x) = x^3 + x - \cos x\). Calcoliamo i limiti agli estremi:

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]

La derivata prima è:

\[ f'(x) = 3x^2 + 1 + \sin x \]

Poiché \(3x^2 + 1 \geq 1\) e \(-1 \leq \sin x \leq 1\), si ha \(f'(x) > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).

La funzione è quindi strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\) e ammette un'unica soluzione reale.

Passo 2 — Localizzazione in \((0, 1)\)

Valutiamo \(f\) negli estremi dell'intervallo:

\[ f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0 \] \[ f(1) = 1 + 1 - \cos 1 \approx 2 - 0.5403 \approx 1.46 > 0 \]

Per il teorema degli zeri, la soluzione appartiene a \((0, 1)\).

Restringiamo ulteriormente:

\[ f(0.6) \approx 0.216 + 0.6 - 0.8253 \approx -0.009 < 0 \] \[ f(0.7) \approx 0.343 + 0.7 - 0.7648 \approx 0.278 > 0 \]

Passo 3 — Metodo di bisezione

Applichiamo il metodo di bisezione nell'intervallo \([0.6,\, 0.7]\):

Iterazione	a	b	Punto medio c	f(c)
1	0.6	0.7	0.65	0.1254
2	0.6	0.65	0.625	0.0564
3	0.6	0.625	0.6125	0.0230
4	0.6	0.6125	0.60625	0.0067

Passo 4 — Metodo di Newton

Partendo da \(x_0 = 0.6\):

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^3 + x_n - \cos x_n}{3x_n^2 + 1 + \sin x_n} \]

Iterazione	\(x_n\)	\(f(x_n)\)
0	0.6	−0.0093
1	0.6016	0.0001

Il metodo converge rapidamente a \(\alpha \approx 0.6016\).

Passo 1 — Dominio

Il logaritmo è definito solo per argomento positivo, quindi serve:

\[ \frac{ax-7}{x^2} > 0 \]

Poiché \(x^2 > 0\) per ogni \(x \neq 0\), la condizione si riduce a:

\[ ax - 7 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{7}{a} \quad (a > 0) \]

Passo 2 — Condizione per il Teorema di Rolle

Per applicare il Teorema di Rolle in \([1,7]\) occorre \(f(1) = f(7)\):

\[ \ln(a - 7) = \ln\!\left(\frac{7a-7}{49}\right) \] \[ a - 7 = \frac{a-1}{7} \quad \Rightarrow \quad 7a - 49 = a - 1 \quad \Rightarrow \quad 6a = 48 \quad \Rightarrow\] \[ a = 8 \]

Con \(a = 8\) la funzione diventa \(f(x) = \ln\!\left(\dfrac{8x-7}{x^2}\right)\), definita, continua e derivabile per \(x > \dfrac{7}{8}\).

Nell'intervallo \([1,7]\) valgono tutte le ipotesi del Teorema di Rolle:

1. Continua in \([1,7]\)
2. Derivabile in \((1,7)\)
3. \(f(1) = f(7)\)

Passo 3 — Calcolo del punto

Calcoliamo la derivata e la poniamo uguale a zero:

\[ f'(x) = \frac{-8x^2 + 14x}{x^2(8x-7)} = 0 \] \[ -8x^2 + 14x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(8x - 14) = 0 \]

Soluzioni: \(x = 0\) (non accettabile perché fuori dal dominio) e \(x = \dfrac{7}{4} = c\).

Calcoliamo \(f\!\left(\dfrac{7}{4}\right)\):

\[ f\!\left(\frac{7}{4}\right) = \ln\!\left(\frac{8 \cdot \frac{7}{4} - 7}{\left(\frac{7}{4}\right)^2}\right) = \ln\!\left(\frac{7}{\frac{49}{16}}\right) = \ln\!\left(\frac{16}{7}\right) \]

Passo 1 — Equazione della tangente in P

Sia \(P = (a, b)\) con \(ab = k\) il generico punto dell'iperbole. Per la formula di sdoppiamento, l'equazione della tangente \(t\) in \(P\) è:

\[ \frac{ay + bx}{2} = k \quad \Rightarrow \quad bx + ay - 2k = 0 \]

Troviamo i punti di intersezione con gli assi:

• Con l'asse \(y\) (\(x = 0\)): \(\quad A = \left(0,\; \dfrac{2k}{a}\right)\)
• Con l'asse \(x\) (\(y = 0\)): \(\quad B = \left(\dfrac{2k}{b},\; 0\right)\)

Passo 2 — Calcolo delle aree

Calcoliamo l'area del triangolo \(BPO\) (base \(OB\), altezza \(|b|\)):

\[ \text{Area}(BPO) = \frac{1}{2} \left|\frac{2k}{b}\right| \cdot |b| = |k| \]

Calcoliamo l'area del triangolo \(APO\) (base \(OA\), altezza \(|a|\)):

\[ \text{Area}(APO) = \frac{1}{2} \left|\frac{2k}{a}\right| \cdot |a| = |k| \]

Nota — Proprietà generale dell'iperbole

Esiste una proprietà più generale: l'area del triangolo formato dal centro dell'iperbole e dalle intersezioni della tangente con gli asintoti è costante al variare di \(P\). Nel nostro caso tale triangolo ha area costante \(|2k|\).

Passo 1 — Continuità e forma a tratti

La funzione è definita e continua su tutto \(\mathbb{R}\). Scriviamola a tratti:

\[ f(x) = \begin{cases} x - 1 + \sqrt[3]{x^3 + x^2} & \text{se } x \geq 1 \\ -x + 1 + \sqrt[3]{x^3 + x^2} & \text{se } x < 1 \end{cases} \]

Passo 2 — Derivata prima

\[ f'(x) = \begin{cases} 1 + \dfrac{3x^2 + 2x}{3\sqrt[3]{(x^3 + x^2)^2}} & \text{se } x > 1 \\[10pt] -1 + \dfrac{3x^2 + 2x}{3\sqrt[3]{(x^3 + x^2)^2}} & \text{se } x < 1 \end{cases} \]

La derivata non esiste quando \((x^3 + x^2)^2 = 0\), cioè per \(x = 0\) e \(x = -1\).

Passo 3 — Analisi dei limiti laterali

Per \(x \to 0^\pm\):

\[ \lim_{x \to 0^\pm} f'(x) = \pm\infty \]

Per \(x \to -1\):

\[ \lim_{x \to -1} f'(x) = +\infty \]

In \(x = 1\) le derivate laterali sono finite ma diverse:

\[ f'_+(1) = 1 + \frac{5}{3\sqrt[3]{4}} \qquad f'_-(1) = -1 + \frac{5}{3\sqrt[3]{4}} \]

Passo 1 — Forma parametrica di s

\[ \begin{cases} x + y = 3 \\ y - z = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \lambda \\ x = 3 - \lambda \\ z = \lambda - 1 \end{cases} \]

I vettori direttori sono: \(\vec{v}_r = (1,2,1)\) e \(\vec{v}_s = (-1,1,1)\).

Poiché i vettori non sono proporzionali, le rette non sono parallele.

Passo 2 — Le rette non si intersecano

Imponiamo il sistema di intersezione:

\[ \begin{cases} 1 + t = 3 - \lambda \\ 2t = \lambda \\ -1 + t = \lambda - 1 \end{cases} \]

Dalla seconda equazione: \(\lambda = 2t\). Sostituendo nella prima: \(t = \dfrac{2}{3}\). Sostituendo nella terza: \(t = 0\). Contraddizione!

Passo 3 — Distanza tra le rette

Prendiamo i punti generici \(R(1+t,\;2t,\;-1+t) \in r\) e \(S(3-\lambda,\;\lambda,\;\lambda-1) \in s\).

Il vettore \(\overrightarrow{RS} = (2 - \lambda - t,\;\lambda - 2t,\;\lambda - t)\) deve essere perpendicolare a entrambe le rette.

Perpendicolarità a r: \(\overrightarrow{RS} \cdot \vec{v}_r = 0 \Rightarrow \lambda = 3t - 1\)

Perpendicolarità a s: \(\overrightarrow{RS} \cdot \vec{v}_s = 0 \Rightarrow \lambda = \dfrac{2 + 2t}{3}\)

Uguagliando: \(t = \dfrac{5}{7}\), \(\lambda = \dfrac{8}{7}\).

Quindi: \(R\!\left(\dfrac{12}{7},\dfrac{10}{7},-\dfrac{2}{7}\right)\) e \(S\!\left(\dfrac{13}{7},\dfrac{8}{7},\dfrac{1}{7}\right)\).

\[ RS = \sqrt{\left(\frac{1}{7}\right)^2 + \left(-\frac{2}{7}\right)^2 + \left(\frac{3}{7}\right)^2} = \frac{\sqrt{14}}{7} \]

a) Distribuzione di X

Ogni domanda è una prova di Bernoulli con probabilità di successo \(p = \dfrac{1}{4}\) e \(q = \dfrac{3}{4}\). Con \(n = 10\) prove indipendenti:

\[ X \sim B\!\left(10,\; \tfrac{1}{4}\right) \]

b) Probabilità di esattamente 3 risposte corrette

\[ P(X = 3) = \binom{10}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^7 \] \[ \binom{10}{3} = 120 \] \[ P(X=3) = 120 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{2187}{16384} \approx 0.250 \]

c) Probabilità di almeno 2 risposte corrette

Usiamo il complemento:

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \] \[ P(X=0) = \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \approx 0.0563 \] \[ P(X=1) = 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^9 \approx 0.1877 \] \[ P(X \geq 2) \approx 1 - 0.0563 - 0.1877 \approx 0.756 \]

d) Valore atteso, varianza e deviazione standard

\[ E(X) = np = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2.5 \] \[ \sigma^2 = npq = 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = 1.875 \] \[ \sigma = \sqrt{1.875} \approx 1.37 \]

a) Calcolo del lato BC

Applichiamo il teorema del coseno:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ \] \[ BC^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52 \] \[ BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

b) Area del triangolo

\[ A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \]

c) Calcolo degli angoli

Teorema del coseno per \(\widehat{ABC}\):

\[ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{36 + 52 - 64}{24\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \]

\(B \approx 73.9^\circ\) e \(C = 180^\circ - 60^\circ - B \approx 46.1^\circ\)

d) Raggio della circonferenza circoscritta

\[ R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{2\sqrt{13}}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}} \]

Passo 1 — Forma indeterminata

Il limite si presenta nella forma \(\dfrac{0}{0}\):

• Il denominatore: \((1 - \cos x) \to 0\) per \(x \to 0^+\)
• Il numeratore: \(\displaystyle\int_{0}^{0} (e^{\sin t} - 1) \, dt = 0\)

Possiamo applicare la Regola di De L'Hôpital.

Passo 2 — Applicazione di De L'Hôpital

Deriviamo numeratore e denominatore separatamente.

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale:

\[ D\left[ \int_{0}^{x} (e^{\sin t} - 1) \, dt \right] = e^{\sin x} - 1 \]

Derivata del denominatore:

\[ D[1 - \cos x] = \sin x \]

Il limite diventa:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \]

Passo 3 — Limite notevole

Applichiamo il limite notevole della funzione esponenziale:

\[ \lim_{f(x) \to 0} \frac{e^{f(x)} - 1}{f(x)} = 1 \]

Poiché per \(x \to 0^+\) anche \(\sin x \to 0\):

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} = 1 \]