Questionario 4 — Versione DSA

Passo 1 — Sostituzione nell'integrale

Poniamo \( u = \dfrac{1}{t} \), da cui \( du = -\dfrac{1}{t^2}\,dt \), cioè \(\dfrac{1}{t^2}\,dt = -du\).

Gli estremi diventano: se \(t = a\) allora \(u = \dfrac{1}{a}\); se \(t = \dfrac{2}{\pi}\) allora \(u = \dfrac{\pi}{2}\).

Passo 2 — Calcolo dell'integrale

L'integrale si trasforma in:

\[ F\!\left(\frac{2}{\pi}\right) = \int_{1/a}^{\pi/2} \cos(u)\,(-du)=\] \[ = -\bigl[\sin u\bigr]_{1/a}^{\pi/2} = -\!\left(\sin\frac{\pi}{2} - \sin\frac{1}{a}\right) = \sin\frac{1}{a} - 1 \]

Passo 3 — Determinazione di \(a\)

Imponendo la condizione \( F\!\left(\dfrac{2}{\pi}\right) = -\dfrac{1}{2} \):

\[ \sin\frac{1}{a} - 1 = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin\frac{1}{a} = \frac{1}{2} \]

Le soluzioni generali di \( \sin\theta = \tfrac{1}{2} \) sono:

• \( \theta = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \)  ⟹  \( a = \dfrac{6}{\pi(1+12k)} \)
• \( \theta = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \)  ⟹  \( a = \dfrac{6}{\pi(5+12k)} \)

con \( k \geq 0 \) intero (poiché \(a > 0\)).

Passo 4 — Selezione del valore massimo

Applichiamo la condizione \( a \leq \dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}6366 \):

• Famiglia 1, \(k=0\): \( a = \dfrac{6}{\pi} \approx 1{,}91 \) → non accettabile (troppo grande).
• Famiglia 2, \(k=0\): \( a = \dfrac{6}{5\pi} \approx 0{,}382 \) → accettabile.
• Famiglia 1, \(k=1\): \( a = \dfrac{6}{13\pi} \approx 0{,}147 \) → accettabile ma più piccolo.

Passo 1 — Spazio campionario

I casi possibili sono tutte le combinazioni di 15 monete prese 6 alla volta:

\[ \binom{15}{6} = \frac{15!}{6!\,9!} = 5005 \]

Passo 2 — Valore esatto di 10 euro

Siano \(x\) le monete da 1 € e \(y\) quelle da 2 €. Devono valere \(x + y = 6\) e \(x + 2y = 10\).

Sottraendo: \(y = 4\), \(x = 2\). L'unica configurazione è 2 monete da 1 € e 4 monete da 2 €.

Casi favorevoli:

\[ \binom{9}{2} \cdot \binom{6}{4} = 36 \cdot 15 = 540 \]

Passo 3 — Valore al massimo 10 euro (complementare)

È più semplice calcolare \(P(\text{valore} > 10)\) e usare il complementare.

Valore = 11 € → \(y=5, x=1\): \(\binom{9}{1}\cdot\binom{6}{5} = 9 \cdot 6 = 54\)

Valore = 12 € → \(y=6, x=0\): \(\binom{9}{0}\cdot\binom{6}{6} = 1\)

Casi con valore > 10: \(54 + 1 = 55\)

Passo 1 — Complanarità dei quattro punti

Il piano per \(O(0,0,0)\) ha equazione \(ax+by+cz=0\). Imponendo il passaggio per \(A\) e \(B\):

\[ \begin{cases} a + 4b + 8c = 0 \\ 8a + 8b + 4c = 0 \end{cases} \]

Dalla seconda (semplificata): \(c = -2a-2b\). Sostituendo nella prima: \(5a+4b=0\).

Ponendo \(a=4\): \(b=-5\), \(c=2\). Il piano è \(4x - 5y + 2z = 0\).

Verifica per \(C(7,4,-4)\): \(4(7) - 5(4) + 2(-4) = 28 - 20 - 8 = 0\) ✓

Passo 2 — Classificazione del quadrilatero

Calcoliamo i vettori dei lati:

• \(\vec{OA} = (1,4,8)\) e \(\vec{BC} = (-1,-4,-8) = -\vec{OA}\)
• \(\vec{AB} = (7,4,-4)\) e \(\vec{OC} = (7,4,-4) = \vec{AB}\)

I lati opposti sono paralleli e congruenti → parallelogramma.

Calcoliamo le lunghezze dei lati:

\[ \|\vec{OA}\| = \sqrt{1+16+64} = 9, \qquad \|\vec{AB}\| = \sqrt{49+16+16} = 9 \]

Due lati consecutivi uguali → rombo.

Verifica perpendicolarità (per escludere il quadrato):

\[ \vec{OA} \cdot \vec{AB} = 7+16-32 = -9 \neq 0 \quad \Rightarrow \text{non è un quadrato} \]

Passo 3 — Perimetro e area

Perimetro: \(4 \times 9 = 36\)

Diagonali: \(\vec{OB} = (8,8,4)\) e \(\vec{AC} = (6,0,-12)\)

\[ \|\vec{OB}\| = \sqrt{64+64+16} = 12, \qquad \|\vec{AC}\| = \sqrt{36+144} = 6\sqrt{5} \] \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 12 \times 6\sqrt{5} = 36\sqrt{5} \]

Passo 1 — Espressione della potenza

Sostituendo \(i(t)\) nella formula della potenza:

\[ P(t) = R\left[I_0\frac{a}{t}\right]^2 = \frac{RI_0^2\,a^2}{t^2} \]

La funzione \(P(t)\) è continua su \([2a,3a]\) poiché \(a>0\) implica \(2a>0\).

Passo 2 — Applicazione del Teorema della Media integrale

Il valor medio di \(P(t)\) su \([2a,3a]\) è:

\[ \overline{P} = \frac{1}{3a - 2a} \int_{2a}^{3a} P(t)\,dt = \frac{1}{a} \int_{2a}^{3a} \frac{RI_0^2\,a^2}{t^2}\,dt= \] \[= RI_0^2\,a \int_{2a}^{3a} t^{-2}\,dt \]

Passo 3 — Calcolo dell'integrale e risultato

\[ \int_{2a}^{3a} t^{-2}\,dt = \left[-\frac{1}{t}\right]_{2a}^{3a} = -\frac{1}{3a} + \frac{1}{2a} = \frac{1}{6a} \]

Quindi:

\[ \overline{P} = RI_0^2\,a \cdot \frac{1}{6a} \]

Passo 1 — Riduzione al problema piano

Le quattro parti sono prismi di altezza uguale (\(AA'\)): il rapporto tra i volumi coincide con il rapporto tra le aree delle basi in \(ABCD\).

Poniamo lo spigolo del cubo uguale a 2; risulta: \(AE = 1\), \(DE = \sqrt{5}\).

Passo 2 — Punto di intersezione O

Il triangolo \(AEO\) è simile al triangolo \(DOC\) e poiché \(AE = \tfrac{1}{2}CD\) risulta \(AO = \tfrac{1}{2}OC\).

Essendo \(AC = 2\sqrt{2}\):

\[ AO = \frac{2\sqrt{2}}{3}, \qquad OC = \frac{4\sqrt{2}}{3} \]

Poiché \(AC\) è diagonale del quadrato, \(\widehat{BAC} = 45°\).

Passo 3 — Aree delle quattro basi

\[ \text{Area}(AOE) = \tfrac{1}{2} \cdot AO \cdot AE \cdot \sin 45° = \tfrac{1}{3} \] \[ \text{Area}(DOC) = \tfrac{1}{2} \cdot DC \cdot CO \cdot \sin 45° = \tfrac{4}{3} \] \[ \text{Area}(AOD) = \text{Area}(AED) - \text{Area}(AOE) = 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3} \] \[ \text{Area}(CBEO) = 4 - \tfrac{2}{3} - \tfrac{4}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3} = 5 \cdot \text{Area}(AOE) \]

Passo 1 — Definizioni

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \qquad \text{e} \qquad \binom{n-1}{k-1} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \]

Passo 2 — Dimostrazione algebrica

\[ \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1} = \frac{n}{k} \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{k \cdot (k-1)! \cdot (n-k)!}=\] \[= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k} \]

Passo 3 — Interpretazione combinatoria

Si vogliono formare sottoinsiemi di \(k\) elementi da un insieme di \(n\) elementi.

• Si sceglie 1 elemento "speciale" tra gli \(n\): ci sono \(n\) modi.
• Si scelgono i restanti \(k-1\) elementi tra gli altri \(n-1\): ci sono \(\binom{n-1}{k-1}\) modi.

Ogni sottoinsieme viene contato \(k\) volte (una per ogni possibile "elemento speciale").

Passo 1 — Derivata prima

La funzione è un polinomio, quindi derivabile su tutto \(\mathbb{R}\).

\[ f'(x) = 3ax^2 + 4ax - 3 \]

I punti critici si ottengono da \(f'(x) = 0\), cioè \(3ax^2 + 4ax - 3 = 0\).

Passo 2 — Studio del discriminante

\[ \Delta = (4a)^2 - 4 \cdot 3a \cdot (-3) = 16a^2 + 36a = 4a(4a + 9) \]

Passo 3 — Discussione dei casi

Caso \(\Delta > 0\) (due radici distinte → massimo e minimo):

\[ 4a(4a + 9) > 0 \quad \Rightarrow \quad a > 0 \quad \text{oppure} \quad a < -\frac{9}{4} \]

Caso \(\Delta = 0\) (radice doppia → nessun estremo):

\[ a = -\frac{9}{4} \]

Caso \(\Delta < 0\) (nessuna radice reale → nessun estremo):

\[ -\frac{9}{4} < a < 0 \]

Passo 1 — Esistenza della radice

Definiamo:

\[ f(x) = x e^x + x e^{-x} - 2 \]

Calcoliamo:

\(f(0) = -2 < 0\)

\(f(1) = e + e^{-1} - 2 \approx 1{,}086 > 0\)

La funzione è continua ⇒ per il Teorema degli zeri esiste almeno una radice in \((0,1)\).

Passo 2 — Unicità della radice

Derivata:

\[ f'(x) = (e^x + e^{-x}) + x(e^x - e^{-x}) \]

Per \(x > 0\):

• \(e^x + e^{-x} > 0\)
• \(e^x > e^{-x}\)

Quindi \(f'(x) > 0\) ⇒ funzione crescente.

Una funzione crescente ha al massimo una radice.

Passo 2-bis — Interpretazione intuitiva

Dividiamo per \(x \neq 0\):

\[ e^x + e^{-x} = \frac{2}{x} \]

Consideriamo:

Poniamo \( a(x) = e^x + e^{-x} \) e \( b(x) = \frac{2}{x} \).

La funzione \(a(x)\) è pari, sempre positiva, con minimo in \(x=0\): \(a(0)=2\), crescente per \(x>0\).

Per \(x>0\) abbiamo una funzione continua e crescente e una continua e decrescente, quindi i loro grafici si incontrano una sola volta.

Passo 3 — Metodo di bisezione

Intervallo iniziale: \([0,1]\)

Iterazione	Intervallo	punto medio	\(f(x)\)	Ampiezza
1	\([0,1]\)	\(0{,}5\)	\(-0{,}872\)	\(0{,}5\)
2	\([0{,}5,1]\)	\(0{,}75\)	\(-0{,}059\)	\(0{,}25\)
3	\([0{,}75,1]\)	\(0{,}875\)	\(+0{,}21\)	\(0{,}125\)
4	\([0{,}75,0{,}875]\)	\(0{,}8125\)	\(+0{,}06\)	\(0{,}0625\)

Passo 4 — Metodo di Newton

Definiamo:

\[ f(x) = x e^x + x e^{-x} - 2 \]

Calcoliamo le derivate:

\[ f'(x) = e^x(1+x) + e^{-x}(1-x) \] \[ f''(x) = e^x(2+x) + e^{-x}(x-2) \]

Verifica delle condizioni

La funzione è continua e derivabile.

Nell’intervallo \((0,1)\):

\[ f'(x) = (e^x + e^{-x}) + x(e^x - e^{-x}) \]

• \(e^x + e^{-x} > 0\)
• \(x > 0\) ed \(e^x > e^{-x}\) ⇒ \(e^x - e^{-x} > 0\)

Quindi \(f'(x) > 0\) ⇒ la funzione è crescente.

Studiamo la derivata seconda:

\[ f''(x) = 2(e^x - e^{-x}) + x(e^x + e^{-x}) \]

• \(e^x > e^{-x}\) ⇒ \(e^x - e^{-x} > 0\)
• \(x > 0\) ⇒ \(x(e^x + e^{-x}) > 0\)

Quindi \(f''(x) > 0\) in \((0,1)\).

Per garantire la convergenza del metodo di Newton, è sufficiente scegliere un punto iniziale \(x_0\) tale che: \[ f(x_0)\, f''(x_0) > 0 \]

Poiché:

\(f(1) > 0\)

\(f''(1) > 0\)

possiamo scegliere:

Iterazioni

Formula:

\[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

Iterazione	\(x_n\)	\(f(x_n)\)	\(f'(x_n)\)	\(x_{n+1}\)
0	\(1\)	\(\approx 1{,}086\)	\(\approx 5{,}437\)	\(\approx 0{,}800\)
1	\(0{,}800\)	\(\approx 0{,}16\)	\(\approx 4{,}5\)	\(\approx 0{,}765\)
2	\(0{,}765\)	\(\approx 0{,}002\)	\(\approx 3{,}902\)	\(\approx 0{,}765\)