Questionario 5 — Versione DSA

Passo 1 — Calcolo del limite

Raccogliamo \(x\) al numeratore e al denominatore:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin x}{x - \cos x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\!\left(1 + \dfrac{\sin x}{x}\right)}{x\!\left(1 - \dfrac{\cos x}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \dfrac{\sin x}{x}}{1 - \dfrac{\cos x}{x}} \]

Per il teorema del confronto, \(\dfrac{\sin x}{x} \to 0\) e \(\dfrac{\cos x}{x} \to 0\), quindi:

Passo 2 — Applicabilità di De L'Hôpital

Calcoliamo il rapporto delle derivate:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(x + \sin x)'}{(x - \cos x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \cos x}{1 + \sin x} \]

Poiché \(\sin x\) e \(\cos x\) oscillano tra \(-1\) e \(1\) senza avvicinarsi a un valore fisso, questo limite non esiste.

Passo 1 — Area massima

Consideriamo il triangolo ABC rettangolo in C, inscritto nella semicirconferenza di diametro AB:

L'area vale:

\[\text{Area}(ABC) = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CH}}{2}\]

La base \(AB = 2R\) è costante. L'area è massima quando l'altezza \(CH\) è massima, cioè \(CH = R\) (il raggio). In questo caso il vertice C è equidistante da A e B, quindi \(AC = BC\) e il triangolo è isoscele.

Passo 2 — Perimetro massimo

Sia \(x = AC\), \(y = BC\). Per il teorema di Pitagora (angolo in C retto):

\[x^2 + y^2 = (2R)^2 = 4R^2\]

Il perimetro è \(P = 2R + x + y\). Per massimizzare \(P\) dobbiamo massimizzare \(x + y\), cioè massimizzare \((x+y)^2\):

\[(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 4R^2 + 2xy\]

Poiché \(4R^2\) è costante, il massimo si ha quando \(xy\) è massimo. Ma l’area del triangolo è \(\frac{1}{2}xy\), quindi è massima quando \(xy\) è massimo. Dall’area massima si ha \(x = y\).

Passo 1 — Ipotesi

Siano \(x_1\) e \(x_2\) (con \(x_1 < x_2\)) due radici distinte di \(p(x)\):

\[p(x_1) = 0 \qquad p(x_2) = 0\]

Passo 2 — Verifica delle condizioni di Rolle

Applichiamo il Teorema di Rolle a \(y = p(x)\) sull'intervallo \([x_1, x_2]\). Le tre condizioni richieste sono tutte soddisfatte:

• \(p(x)\) è continua su \([x_1, x_2]\) (ogni polinomio è continuo su \(\mathbb{R}\)).
• \(p(x)\) è derivabile su \((x_1, x_2)\) (ogni polinomio è derivabile su \(\mathbb{R}\)).
• \(p(x_1) = p(x_2) = 0\): gli estremi assumono lo stesso valore.

Passo 3 — Conclusione

Per il Teorema di Rolle esiste almeno un punto \(c \in (x_1, x_2)\) tale che:

\[p'(c) = 0\]

Passo 1 — Spazio campionario

I casi possibili sono tutte le terne scelte da 16 allievi:

\[\binom{16}{3} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560\]

Passo 2 — Casi favorevoli

Le terne formate solo dai 12 maschi:

\[\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220\]

Passo 3 — Probabilità

Passo 1 — Formalizzazione

Sia \(s = s(t)\) la legge oraria del moto, con \(t \in [t_1, t_2]\). La velocità media è:

\[v_{\text{media}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = 60 \text{ km/h}\]

Passo 2 — Verifica delle ipotesi di Lagrange

La funzione \(s(t)\) descrive uno spazio percorso senza salti, quindi:

• È continua su \([t_1, t_2]\).
• È derivabile su \((t_1, t_2)\) (la velocità istantanea esiste in ogni momento).

Le ipotesi del Teorema di Lagrange sono soddisfatte.

Passo 3 — Conclusione

Per il Teorema di Lagrange esiste almeno un istante \(t_0 \in (t_1, t_2)\) tale che:

\[s'(t_0) = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = 60 \text{ km/h}\]

Passo 1 — Vettori direttori e punti

Retta \(r\) (dalla forma parametrica):

• Punto: \(P_r = (1, 2, 3)\) per \(t=0\)
• Vettore direttore: \(\vec{v_r} = (1, -1, 2)\)

Retta \(s\): poniamo \(z = k\). Dalla prima equazione \(x = z - y\). Sostituendo nella seconda:

\[2(z-y) - y + z = 1 \implies 3z - 3y = 1 \implies y = k - \tfrac{1}{3},\] \[x = \tfrac{1}{3}\] \[ s: \begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = -\frac{1}{3} + k \\ z = k \end{cases} \quad (k \in \mathbb{R}) \]

• Punto: \(P_s = \left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{3}, 0\right)\) per \(k=0\)
• Vettore direttore: \(\vec{v_s} = (0, 1, 1)\)

Passo 2 — Le rette non sono parallele

Confrontiamo \(\vec{v_r} = (1,-1,2)\) e \(\vec{v_s} = (0,1,1)\).

Non esiste nessun \(\lambda\) tale che \(\vec{v_r} = \lambda\,\vec{v_s}\) (dalla prima componente: \(1 = \lambda \cdot 0\) è impossibile).

Le rette non sono parallele né coincidenti.

Passo 3 — Le rette non si intersecano

Sostituiamo le parametriche di \(r\) nelle equazioni di \(s\):

\[\begin{cases}(1+t)+(2-t)-(3+2t)=0\\2(1+t)-(2-t)+(3+2t)=1\end{cases} \implies\] \[ \begin{cases}-2t = 0\\5t = -4\end{cases} \implies \begin{cases}t = 0\\t = -\dfrac{4}{5}\end{cases}\]

Il sistema è impossibile: non esiste nessun \(t\) che soddisfa entrambe le equazioni.

Passo 1 — Area del rettangolo e grafico

Rappresentiamo graficamente la funzione ed il rettangolo:

Base \(= 4-1 = 3\), altezza \(= 2-0 = 2\), area del rettangolo \(= 6\).

Notiamo che \(f(1) = 1\) e \(f(4) = 2\): la curva entra dal lato AD ed esce dal vertice C.

Passo 2 — Area della porzione inferiore \(S_1\)

\[S_1 = \int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4}=\] \[= \frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} - \frac{2}{3}\cdot 1^{3/2} = \frac{2}{3}\cdot 8 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}\]

Passo 3 — Area della porzione superiore \(S_2\) e rapporto

\[S_2 = 6 - \frac{14}{3} = \frac{18-14}{3} = \frac{4}{3}\]

Passo 1 — Sostituzione e discriminante

Posto \(t = e^x > 0\), la condizione \(y \geq 0\) diventa:

\[t^2 - 8t + k \geq 0 \quad \text{per ogni } t > 0\]

Questa disequazione è verificata per tutti i valori di \(t\) se e solo se il discriminante è \(\leq 0\):

\[\Delta = 64 - 4k \leq 0 \implies k \geq 16\]

Passo 2 — Asintoto per \(x \to -\infty\)

\[\lim_{x \to -\infty} (e^{2x} - 8e^{x} + k) = 0 - 0 + k = k\]

Il limite è finito: la retta \(y = k\) è un asintoto orizzontale per \(x \to -\infty\).

Passo 3 — Nessun asintoto per \(x \to +\infty\)

\[\lim_{x \to +\infty} (e^{2x} - 8e^{x} + k) = +\infty\] (l'infinito \(e^{2x}\) domina sull'infinito \(e^x\)).

Non c'è asintoto orizzontale. Verificando il coefficiente angolare di un eventuale asintoto obliquo:

\[ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \]

Calcoliamo \(m\):

\[ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x} - 8e^{x} + k}{x} \]

Questa forma è del tipo \(\frac{\infty}{\infty}\). Applicando il Teorema di De L'Hôpital (o osservando la gerarchia degli infiniti, dove l'esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi polinomio):

\[ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^{2x} - 8e^{x}}{1} = +\infty \]

Poiché \(m\) non è un valore finito, non esiste asintoto obliquo per \(x \to +\infty\).