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Applicazioni degli Integrali Definiti
(Versione DSA)

📚 Disponibile anche in versione Standard

📖 Argomenti: Valor medio di una funzione, Funzioni integrali, Integrali impropri e gaussiani, Calcolo di aree, Volumi di solidi di rotazione
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Domanda 1

Il valor medio della funzione x al cubo sull'intervallo chiuso da 0 a k è uguale a 9. Qual è il valore di k?

\( f(x)=x^3 \) su \( [0, k] \), valor medio = 9

Domanda 2

Calcola il valore medio della funzione coseno alla quinta di x nell'intervallo tra 0 e pi greco mezzi.

\( y=\cos^5{x} \) su \( [0, \pi/2] \)

Domanda 3

Data la funzione integrale del logaritmo di t tra 1 e x, trova per quale valore di x (maggiore di 1) il suo grafico incontra la retta di equazione y uguale 2x più 1.

\( \int_{1}^{x}{\ln{t} \, dt} = 2x+1 \)

Domanda 4

Calcola l'integrale tra meno infinito e più infinito di e alla meno 5 x al quadrato, sapendo che l'integrale di e alla meno x al quadrato è uguale alla radice di pi greco.

\( \int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-5x^2}dx} \)    sapendo che    \( \int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx} = \sqrt{\pi} \)

Domanda 5

Determina l'area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni e alla 3 meno x, e alla 2x e dall'asse delle ordinate.

\( f(x)=e^{3-x} \), \( g(x)=e^{2x} \), asse \( y \) (che corrisponde a \( x=0 \))

Domanda 6

Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando attorno all'asse x la regione di piano sotto la curva y uguale e alla meno 2x, nell'intervallo tra 0 e 1.

\( y=e^{-2x} \)    tra    \( x \in [0, 1] \)    (Rotazione asse \( x \))

Domanda 7

Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando attorno all'asse y la regione delimitata dall'asse x e dal grafico della funzione g di x uguale meno un terzo x al cubo più x al quadrato.

\( g(x)=-\frac{1}{3}x^3 + x^2 \)    (Rotazione attorno all'asse \( y \))

Domanda 8

Un solido ha per base la regione piana compresa tra la funzione e alla 1 su x e l'asse x, nell'intervallo tra meno 2 e meno 1. In ogni punto di quest'area, l'altezza del solido è data dalla funzione 1 su x al quadrato. Calcola il volume totale.

Funzione base: \( f(x) = e^{1/x} \)    Altezza sezioni: \( h(x) = \frac{1}{x^2} \)    Intervallo: \( [-2, -1] \)

Domanda 9

Sapendo che l'integrale tra 0 e 3 di f di x vale K, quale di questi integrali è calcolabile immediatamente?

Dato: \( \int_{0}^{3} f(x) \, dx = K \)

Domanda 10

Calcolare il limite per x che tende a 1 del rapporto tra l'integrale (da 1 a x) di (t al quadrato meno 1) per e alla 2t, e il quadrato di (x meno 1).

\( \lim_{x \to 1} \frac{\int_{1}^{x} (t^2 - 1)e^{2t} dt}{(x - 1)^2} \)

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