Applicazioni degli Integrali Definiti
(Versione DSA)

Svolgimento passo dopo passo:
1. Impostazione: Qui l'intervallo è \( [0, k] \), quindi la base è \( k-0 = k \). La funzione è \( x^3 \) e il valore medio è 9.
\[ 9 = \frac{1}{k} \int_0^k x^3 dx \] 2. Calcolo dell'integrale:
\[ 9 = \frac{1}{k} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^k \implies 9 = \frac{1}{k} \cdot \frac{k^4}{4} \] 3. Semplificazione:
\[ 9 = \frac{k^3}{4} \implies k^3 = 36 \] 4. Risultato finale:
\[ k = \sqrt[3]{36} \]

Svolgimento passo dopo passo:
1. Impostazione:
\[ M = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \cos^5 x \, dx \] 2. Scomposizione trigonometrica:
Per integrare una potenza dispari del coseno, separiamo un coseno e trasformiamo il resto in seno usando la formula \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \): \[ \cos^5 x = \cos x \cdot (\cos^2 x)^2 = \cos x \cdot (1 - \sin^2 x)^2 \] 3. Sostituzione:
Poniamo \( \sin x = t \). Allora la derivata è \( \cos x \, dx = dt \).
Cambiamo gli estremi:

• Se \( x = 0 \rightarrow t = \sin(0) = 0 \)
• Se \( x = \pi/2 \rightarrow t = \sin(\pi/2) = 1 \)

4. Calcolo dell'integrale in t:
\[ \int_0^1 (1 - t^2)^2 dt = \int_0^1 (1 - 2t^2 + t^4) dt \] \[ = \left[ t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5 \right]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15} \] 5. Conclusione (moltiplichiamo per il fattore esterno):
\[ M = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{8}{15} = \frac{16}{15\pi} \]

Svolgimento passo dopo passo:
1. Calcolo dell'integrale (per parti):
Ricordiamo che l'integrale di \( \ln(t) \) si risolve considerando \( 1 \cdot \ln(t) \): \[ \int \ln(t) \, dt = t \ln(t) - \int t \cdot \frac{1}{t} \, dt = t \ln(t) - t \] 2. Applicazione degli estremi (1 e x):
Applichiamo il teorema fondamentale del calcolo: \[ \left[ t \ln(t) - t \right]_1^x = (x \ln x - x) - (1 \ln 1 - 1) \] Sapendo che \( \ln 1 = 0 \), otteniamo: \[ x \ln x - x + 1 \] 3. Impostazione dell'equazione:
Uguagliamo l'integrale alla retta \( 2x + 1 \): \[ x \ln x - x + 1 = 2x + 1 \] 4. Risoluzione algebrica:
Sottraiamo 1 da entrambi i membri: \[ x \ln x - x = 2x \] Portiamo \( x \) a destra: \[ x \ln x = 3x \] Poiché il problema dice che \( x > 1 \), possiamo dividere tutto per \( x \): \[ \ln x = 3 \] 5. Risultato finale:
Per la definizione di logaritmo (base \( e \)): \[ x = e^3 \]

Svolgimento passo dopo passo:
1. Scegliamo la sostituzione:
Poniamo \( t = \sqrt{5}x \).
Da qui ricaviamo \( x = \frac{t}{\sqrt{5}} \). 2. Calcoliamo il differenziale:
Derivando rispetto a \( t \), otteniamo:
\( dx = \frac{1}{\sqrt{5}} dt \) 3. Sostituiamo nell'integrale:
Gli estremi \( -\infty \) e \( +\infty \) rimangono invariati.
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-5x^2} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} dt \right) \] 4. Portiamo fuori la costante:
Portiamo \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) fuori dal simbolo di integrale:
\[ \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt \] 5. Usiamo il dato del problema:
Sappiamo che \( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi} \). Quindi:
\[ \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{5}} \] 6. Risultato finale:
Possiamo scrivere il risultato sotto un'unica radice:
\[ \sqrt{\frac{\pi}{5}} \]

Svolgimento passo dopo passo:
1. Trovare il punto di intersezione:
Uguagliamo le due funzioni: \( e^{3-x} = e^{2x} \).
Essendo le basi uguali, uguagliamo gli esponenti: \( 3 - x = 2x \).
Risolvendo: \( 3 = 3x \implies x = 1 \).
L'intervallo di integrazione è quindi \( [0, 1] \).

2. Capire quale funzione sta "sopra":
Sostituiamo un valore interno all'intervallo, ad esempio \( x = 0 \):
\( f(0) = e^3 \approx 20.1 \)
\( g(0) = e^0 = 1 \)
Quindi \( f(x) \) è la funzione superiore.

3. Impostare l'integrale dell'area:
L'area si calcola facendo: \( \int_{a}^{b} (\text{f. superiore} - \text{f. inferiore}) \, dx \)
\[ \text{Area} = \int_0^1 (e^{3-x} - e^{2x}) \, dx \] 4. Calcolare le primitive:
- La primitiva di \( e^{3-x} \) è \( -e^{3-x} \).
- La primitiva di \( e^{2x} \) è \( \frac{1}{2}e^{2x} \).
\[ \text{Area} = \left[ -e^{3-x} - \frac{1}{2}e^{2x} \right]_0^1 \] 5. Sostituire gli estremi (Calcolo finale):
Sostituiamo il valore superiore (1) e sottraiamo il valore inferiore (0):
\( \text{Per } x=1: (-e^{3-1} - \frac{1}{2}e^2) = -e^2 - \frac{1}{2}e^2 = -\frac{3}{2}e^2 \)
\( \text{Per } x=0: (-e^{3-0} - \frac{1}{2}e^0) = -e^3 - \frac{1}{2} \)

Sottraendo i due risultati: \( -\frac{3}{2}e^2 - (-e^3 - \frac{1}{2}) \)
Otteniamo: \( e^3 - \frac{3}{2}e^2 + \frac{1}{2} \).

Svolgimento passo dopo passo:
1. Elevamento al quadrato della funzione:
Ricorda che per le proprietà delle potenze \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \): \[ [f(x)]^2 = (e^{-2x})^2 = e^{-2x \cdot 2} = e^{-4x} \] 2. Impostazione dell'integrale:
\[ V = \pi \int_0^1 e^{-4x} \, dx \] 3. Calcolo della primitiva:
La primitiva di \( e^{kx} \) è \( \frac{1}{k}e^{kx} \). In questo caso \( k = -4 \): \[ V = \pi \left[ \frac{e^{-4x}}{-4} \right]_0^1 = -\frac{\pi}{4} \left[ e^{-4x} \right]_0^1 \] 4. Sostituzione degli estremi:
Applichiamo il limite superiore (1) e sottraiamo quello inferiore (0): \[ V = -\frac{\pi}{4} \left( e^{-4(1)} - e^{-4(0)} \right) \] \[ V = -\frac{\pi}{4} \left( e^{-4} - e^0 \right) \] Poiché \( e^0 = 1 \), abbiamo: \[ V = -\frac{\pi}{4} \left( e^{-4} - 1 \right) \] 5. Semplificazione del segno:
Per togliere il meno davanti alla frazione, invertiamo i termini dentro la parentesi: \[ V = \frac{\pi}{4} (1 - e^{-4}) \]

Svolgimento passo dopo passo:
1. Trovare l'intervallo di integrazione:
Troviamo dove la funzione tocca l'asse \( x \) ponendo \( g(x) = 0 \): \[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 = 0 \implies x^2 \left( -\frac{1}{3}x + 1 \right) = 0 \] Le soluzioni sono \( x=0 \) e \( x=3 \). L'intervallo è \( [0, 3] \).

2. Impostare l'integrale:
Moltiplichiamo la funzione per \( x \) come richiesto dalla formula: \[ V = 2\pi \int_0^3 x \left( -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right) dx \] \[ V = 2\pi \int_0^3 \left( -\frac{1}{3}x^4 + x^3 \right) dx \] 3. Calcolare la primitiva:
\[ V = 2\pi \left[ -\frac{1}{3} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} \right]_0^3 = 2\pi \left[ -\frac{x^5}{15} + \frac{x^4}{4} \right]_0^3 \] 4. Sostituire gli estremi:
Sostituiamo il valore \( 3 \): \[ V = 2\pi \left( -\frac{243}{15} + \frac{81}{4} \right) \] Semplifichiamo \( \frac{243}{15} \) (dividendo per 3) in \( \frac{81}{5} \): \[ V = 2\pi \left( -\frac{81}{5} + \frac{81}{4} \right) \] 5. Calcolo finale:
Facciamo il minimo comune multiplo (20): \[ V = 2\pi \left( \frac{-324 + 405}{20} \right) = 2\pi \left( \frac{81}{20} \right) \] Semplificando il 2 con il 20: \[ V = \frac{81\pi}{10} \]

Svolgimento passo dopo passo:
1. Impostazione dell'integrale:
L'area della sezione è il prodotto di base per altezza: \( S(x) = e^{1/x} \cdot \frac{1}{x^2} \). \[ V = \int_{-2}^{-1} e^{1/x} \cdot \frac{1}{x^2} \, dx \] 2. Sostituzione:
Poniamo \( u = \frac{1}{x} \).
Calcoliamo il differenziale: \( du = -\frac{1}{x^2} \, dx \), quindi \( \frac{1}{x^2} \, dx = -du \).

3. Cambio degli estremi di integrazione:

• Se \( x = -2 \rightarrow u = 1/(-2) = -1/2 \)
• Se \( x = -1 \rightarrow u = 1/(-1) = -1 \)

4. Calcolo con la nuova variabile:
\[ V = \int_{-1/2}^{-1} e^u (-du) \] Il segno "meno" ci permette di invertire gli estremi per rimetterli in ordine crescente: \[ V = \int_{-1}^{-1/2} e^u \, du \] 5. Integrazione e Risultato:
La primitiva di \( e^u \) è \( e^u \): \[ V = \left[ e^u \right]_{-1}^{-1/2} = e^{-1/2} - e^{-1} \] Ricordando che \( e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \) e \( e^{-1} = \frac{1}{e} \): \[ V = \frac{1}{\sqrt{e}} - \frac{1}{e} \]

Analisi dell'opzione corretta (D):
1. Scegliamo il cambio di variabile:
Nell'opzione D abbiamo l'argomento \( 3x \). Poniamo \( t = 3x \).
2. Verifichiamo i nuovi estremi:
Vediamo cosa succede ai limiti di integrazione dell'opzione D (che sono 0 e 1):

• Se \( x = 0 \) (estremo inferiore), allora \( t = 3 \cdot 0 = 0 \).
• Se \( x = 1 \) (estremo superiore), allora \( t = 3 \cdot 1 = 3 \).

I nuovi estremi sono esattamente 0 e 3, proprio come nel dato del problema! 3. Trasformazione del differenziale:
Se \( t = 3x \), allora derivando otteniamo \( dt = 3 \, dx \), ovvero \( dx = \frac{dt}{3} \).

4. Sostituzione completa:
L'integrale dell'opzione D diventa:
\[ \int_{0}^{1} f(3x) \, dx = \int_{0}^{3} f(t) \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} f(t) \, dt \] 5. Conclusione:
Dato che sappiamo che \( \int_{0}^{3} f(t) \, dt = K \), il risultato è: \[ \frac{1}{3} \cdot K = \frac{K}{3} \] L'integrale è calcolabile immediatamente perché i suoi estremi "mappano" perfettamente quelli del dato noto.

Svolgimento passo dopo passo:
1. Verifica della forma indeterminata:
Se sostituiamo \( x=1 \):

• Al numeratore: l'integrale tra 1 e 1 è zero.
• Al denominatore: \( (1-1)^2 \) è zero.

Abbiamo una forma \( \frac{0}{0} \). Applichiamo la regola di de L'Hôpital.

2. Calcolo delle derivate:
- Derivata del numeratore: Per il teorema fondamentale, "liberiamo" la funzione dentro l'integrale sostituendo \( t \) con \( x \): \[ D\left[\int_{1}^{x} (t^2 - 1)e^{2t} dt\right] = (x^2 - 1)e^{2x} \] - Derivata del denominatore: Usiamo la regola della potenza: \[ D[(x - 1)^2] = 2(x - 1) \] 3. Nuovo limite e semplificazione:
Il limite diventa: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x^2 - 1)e^{2x}}{2(x - 1)} \] Notiamo che \( x^2 - 1 \) è un prodotto notevole (differenza di quadrati): \( (x-1)(x+1) \).
\[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)e^{2x}}{2(x - 1)} \] 4. Semplificazione finale:
Cancelliamo il termine \( (x-1) \) al numeratore e al denominatore: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)e^{2x}}{2} \] 5. Calcolo del valore:
Sostituiamo \( x=1 \): \[ \frac{(1 + 1)e^{2 \cdot 1}}{2} = \frac{2e^2}{2} = e^2 \]