Applicazioni degli integrali definiti

\( \frac{1}{k-0} \int_0^k x^3 dx = 9 \implies \frac{1}{k} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^k = 9 \implies \frac{k^3}{4} = 9 \implies k^3 = 36 \implies k = \sqrt[3]{36} \).

Svolgimento completo:
1. Formula del valor medio: Applichiamo la formula \( V_m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \). In questo caso: \[ V_m = \frac{1}{\frac{\pi}{2}-0} \int_0^{\pi/2} \cos^5 x \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \cos^5 x \, dx \] 2. Scomposizione della potenza: Scriviamo \( \cos^5 x \) come \( \cos x \cdot (\cos^2 x)^2 = \cos x(1 - \sin^2 x)^2 \). 3. Integrazione per sostituzione: Poniamo \( t = \sin x \), da cui \( dt = \cos x \, dx \).

• Se \( x = 0 \implies t = 0 \).
• Se \( x = \pi/2 \implies t = 1 \).

4. Calcolo dell'integrale in \( t \): \[ \int_0^1 (1 - t^2)^2 dt = \int_0^1 (1 - 2t^2 + t^4) dt = \left[ t - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{5}t^5 \right]_0^1 \] Valutando nei limiti: \( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15} \). 5. Risultato finale: Moltiplichiamo il valore dell'integrale per il coefficiente della media: \[ V_m = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{8}{15} = \frac{16}{15\pi} \]

Svolgimento completo:
1. Calcolo dell'integrale indefinito: Integriamo per parti la funzione \( \ln t \), considerando come fattore differenziale \( 1 \): \[ \int \ln t \, dt = t \ln t - \int t \cdot \frac{1}{t} \, dt = t \ln t - \int 1 \, dt = t \ln t - t + c \] 2. Applicazione dei limiti di integrazione: Calcoliamo il valore della funzione integrale tra \( 1 \) e \( x \): \[ \left[ t \ln t - t \right]_1^x = (x \ln x - x) - (1 \ln 1 - 1) \] Poiché \( \ln 1 = 0 \), l'espressione diventa: \[ x \ln x - x + 1 \] 3. Ricerca dell'intersezione: Poniamo la funzione uguale all'equazione della retta \( y = 2x + 1 \): \[ x \ln x - x + 1 = 2x + 1 \] 4. Risoluzione dell'equazione:

• Sottraiamo \( 1 \) da entrambi i membri: \( x \ln x - x = 2x \)
• Sommiamo \( x \) a entrambi i membri: \( x \ln x = 3x \)
• Poiché il testo specifica \( x > 1 \), possiamo dividere per \( x \): \( \ln x = 3 \)

5. Risultato finale: Passando alla forma esponenziale, otteniamo: \[ x = e^3 \]

Svolgimento completo:
1. Analisi della funzione: Vogliamo ricondurre l'integrale \( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-5x^2} dx \) alla forma nota \( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi} \).
2. Sostituzione: Per eliminare il coefficiente 5 dall'esponente, poniamo: \[ 5x^2 = t^2 \implies t = x\sqrt{5} \] Differenziando entrambi i membri rispetto a \( x \), otteniamo: \[ dt = \sqrt{5} \, dx \implies dx = \frac{dt}{\sqrt{5}} \] 3. Cambio dei limiti di integrazione:

• Per \( x \to -\infty \), anche \( t \to -\infty \).
• Per \( x \to +\infty \), anche \( t \to +\infty \).

4. Trasformazione dell'integrale: Sostituiamo nell'espressione originale: \[ C = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \frac{dt}{\sqrt{5}} \] Portiamo la costante fuori dall'integrale: \[ C = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt \] 5. Risultato finale: Sapendo che l'integrale gaussiano vale \( \sqrt{\pi} \), otteniamo: \[ C = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{5}} \]

Svolgimento:
1. Intersezione: \( e^{3-x} = e^{2x} \implies 3-x = 2x \implies 3x = 3 \implies x = 1 \).
2. Area: Si integra nell'intervallo \( [0, 1] \) la differenza delle funzioni (quella "sopra" è \( e^{3-x} \)): \[ \int_0^1 (e^{3-x} - e^{2x}) dx = \left[ -e^{3-x} - \frac{1}{2}e^{2x} \right]_0^1 \] 3. Calcolo: \( (-e^2 - \frac{1}{2}e^2) - (-e^3 - \frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}e^2 + e^3 + \frac{1}{2} \).

Svolgimento:
1. Formula del volume (metodo dei dischi): \( V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx \).
2. Impostazione: \[ V = \pi \int_0^1 (e^{-2x})^2 dx = \pi \int_0^1 e^{-4x} dx \] 3. Calcolo: \[ V = \pi \left[ -\frac{1}{4}e^{-4x} \right]_0^1 = \pi \left( -\frac{1}{4}e^{-4} - (-\frac{1}{4}e^0) \right) = \frac{\pi}{4}(1 - e^{-4}) \]

Il Metodo dei Gusci Cilindrici:
Quando ruotiamo attorno all'asse \( y \) una regione definita da \( y=f(x) \), il volume si ottiene integrando la superficie dei cilindri infinitamente sottili di raggio \( x \) e altezza \( f(x) \): \[ V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \] Svolgimento:
1. Intersezioni: Ponendo \( g(x) = 0 \), troviamo \( x^2(1 - \frac{1}{3}x) = 0 \), quindi \( x=0 \) e \( x=3 \).
2. Integrale: \[ V = 2\pi \int_{0}^{3} x \left( -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right) dx = 2\pi \int_{0}^{3} \left( -\frac{1}{3}x^4 + x^3 \right) dx \] 3. Calcolo: \[ V = 2\pi \left[ -\frac{1}{15}x^5 + \frac{1}{4}x^4 \right]_0^3 = 2\pi \left( -\frac{243}{15} + \frac{81}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{81}{20} \right) = \frac{81\pi}{10} \]

Svolgimento:
1. Volume per sezioni: Poiché conosciamo la base \( f(x) \) e l'altezza \( h(x) \) del rettangolo che forma la sezione, l'area della sezione è \( A(x) = e^{1/x} \cdot \frac{1}{x^2} \).
2. Integrale: \[ V = \int_{-2}^{-1} e^{1/x} \cdot \frac{1}{x^2} dx \] 3. Sostituzione: Poniamo \( u = 1/x \), quindi \( du = -1/x^2 dx \). I nuovi estremi sono \( u = -1/2 \) e \( u = -1 \).
4. Calcolo: \[ V = \int_{-1}^{-1/2} e^u du = \left[ e^u \right]_{-1}^{-1/2} = e^{-1/2} - e^{-1} = \frac{1}{\sqrt{e}} - \frac{1}{e} \]

Svolgimento completo:
Per verificare quale opzione sia corretta, analizziamo l'opzione D applicando un cambio di variabile all'integrale \( \int_{0}^{1}f(3x)dx \).

1. Sostituzione: Poniamo l'argomento della funzione uguale a una nuova variabile \( t \): \[ t = 3x \] 2. Calcolo del differenziale: Derivando entrambi i membri rispetto a \( x \): \[ dt = 3 \, dx \implies dx = \frac{1}{3} dt \] 3. Cambio degli estremi di integrazione:

• Se l'estremo inferiore è \( x = 0 \), allora \( t = 3(0) = 0 \).
• Se l'estremo superiore è \( x = 1 \), allora \( t = 3(1) = 3 \).

4. Riscrittura dell'integrale: Sostituiamo tutto nell'integrale originale dell'opzione D: \[ \int_{0}^{1}f(3x)dx = \int_{0}^{3}f(t) \cdot \frac{1}{3} dt \] Portando fuori la costante: \[ \frac{1}{3} \int_{0}^{3}f(t)dt \] 5. Conclusione: Poiché conosciamo il valore di \( \int_{0}^{3}f(x)dx \), l'integrale dell'opzione D è calcolabile e vale esattamente \( \frac{1}{3}K \).
Nota: Le altre opzioni non portano all'intervallo \( [0, 3] \) o richiedono la conoscenza della funzione su intervalli più ampi (fino a 9).

Svolgimento completo:
1. Verifica della forma indeterminata: Per \( x \to 1 \), l'integrale a numeratore ha estremi identici (\( \int_1^1 \)), quindi vale \( 0 \). Anche il denominatore \( (1-1)^2 \) vale \( 0 \). Siamo in presenza di una forma indeterminata \( \frac{0}{0} \).

2. Applicazione della Regola di De L'Hospital: Dobbiamo derivare numeratore e denominatore.

• Per il numeratore, usiamo il Teorema Fondamentale del Calcolo: la derivata di \( \int_{a}^{x} f(t) dt \) è semplicemente \( f(x) \).
• La derivata di \( \int_{1}^{x}(t^2-1)e^{2t}dt \) è quindi \( (x^2-1)e^{2x} \).
• La derivata del denominatore \( (x-1)^2 \) è \( 2(x-1) \).

3. Calcolo del nuovo limite: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x^2-1)e^{2x}}{2(x-1)} \] 4. Semplificazione algebrica: Notiamo che \( x^2-1 \) è una differenza di quadrati: \( (x-1)(x+1) \). \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)e^{2x}}{2(x-1)} \] Semplificando il termine \( (x-1) \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)e^{2x}}{2} \] 5. Risultato finale: Sostituendo \( x = 1 \): \[ \frac{(1+1)e^{2(1)}}{2} = \frac{2e^2}{2} = e^2 \]