Liceo Scientifico classe quinta - 17 Marzo 1989

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Argomenti: Studio di funzioni goniometriche, calcolo di aree con gli integrali, calcolo combinatorio e probabilità, distribuzione binomiale, geometria analitica (ottimizzazione), differenziale e approssimazione lineare.

Esercizio 1

Considerata la funzione: \( f(x) = \sin^3 x \cos x \)

a) Determinare il massimo e il minimo nell'intervallo \( [0, \pi/2] \) senza ricorrere al calcolo delle derivate.

b) Verificare il risultato ottenuto col calcolo delle derivate.

c) Dire se la funzione è periodica e in caso affermativo determinarne il periodo.

d) Studiarne l'andamento e disegnarne il grafico.

e) Determinare l'area della regione di piano compresa tra la curva e l'asse \( x \) nell'intervallo di un periodo.

Passaggio 1: Massimo e Minimo (Metodo elementare)

Nell'intervallo \( [0, \pi/2] \), le funzioni \( \sin(x) \) e \( \cos(x) \) sono non negative. Di conseguenza \( f(x) \geq 0 \).

Poiché \( f(0) = 0 \) e \( f(\pi/2) = 0 \), il minimo assoluto è 0.

Proprietà: Dati due termini positivi \( a \) e \( b \) con \( a+b = \text{costante} \), il prodotto \( a^m \cdot b^n \) è massimo quando \( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} \).

Riscriviamo la funzione evidenziando i quadrati per sfruttare la relazione \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\[ f(x) = (\sin^2 x)^{3/2} \cdot (\cos^2 x)^{1/2} \] Posto \( a = \sin^2 x \), \( b = \cos^2 x \), con esponenti \( m = 3/2 \) e \( n = 1/2 \).
La somma \( a + b = 1 \) è costante. Il massimo si ha quando: \[ \frac{\sin^2 x}{3/2} = \frac{\cos^2 x}{1/2} \implies \sin^2 x = 3\cos^2 x \implies \tan^2 x = 3 \]

Risolviamo l'equazione nell'intervallo \( [0, \pi/2] \):

\[ \tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} \]

Il punto di massimo è \( x = \frac{\pi}{3} \).
Valore massimo: \( f(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{16}} \).

Passaggio 2: Verifica con le Derivate

Calcoliamo la derivata prima della funzione \( f(x) = \sin^3 x \cos x \) applicando la regola del prodotto:

\[ f'(x) = D[\sin^3 x] \cdot \cos x + \sin^3 x \cdot D[\cos x] \] \[ f'(x) = 3\sin^2 x \cos x \cdot \cos x + \sin^3 x (-\sin x) \] \[ f'(x) = 3\sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x \]

Per studiare il segno della derivata, raccogliamo \( \sin^2 x \):

\[ f'(x) = \sin^2 x (3\cos^2 x - \sin^2 x) \]

Studiamo \( f'(x) \geq 0 \) nell'intervallo \( [0, \pi/2] \):

Il fattore \( \sin^2 x \) è sempre \( \geq 0 \).
Studiamo il termine in parentesi: \( 3\cos^2 x - \sin^2 x \geq 0 \).

Dividendo per \( \cos^2 x \) (che è positivo in \( [0, \pi/2) \)): \[ 3 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \geq 0 \implies 3 - \tan^2 x \geq 0 \] \[ \tan^2 x \leq 3 \implies -\sqrt{3} \leq \tan x \leq \sqrt{3} \]

Nell'intervallo \( [0, \pi/2] \), la condizione è soddisfatta per:

\[ 0 \leq \tan x \leq \sqrt{3} \implies 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} \]

Conclusione sulla monotonia:
• La funzione cresce in \( [0, \pi/3] \).
• La funzione decresce in \( [\pi/3, \pi/2] \).
Il punto \( x = \pi/3 \) è dunque un punto di massimo relativo e assoluto, confermando il risultato del metodo elementare.

Passaggio 3: Determinazione del periodo \( T \)

Utilizziamo le formule di linearizzazione e duplicazione per riscrivere la funzione originale e analizzarne meglio il periodo:

\[ f(x) = \sin^2 x \cdot (\sin x \cos x) = \frac{1-\cos(2x)}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} \] \[ f(x) = \frac{1}{4} \sin(2x) [1 - \cos(2x)] \]

Ragionamento sul periodo:

Osserviamo l'espressione ottenuta:

La funzione \( \sin(2x) \) ha periodo \( T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi \).
La funzione \( \cos(2x) \) ha periodo \( T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi \).

Poiché la funzione \( f(x) \) è una combinazione (prodotto e differenza) di funzioni aventi tutte lo stesso periodo, il periodo della funzione risultante sarà:

\( T = \pi \)

Passaggio 4: Studio e Rappresentazione Grafica

Dominio e Segno: La funzione ha periodo \( T = \pi \). Studiamola nell'intervallo \( [0, \pi] \):

\( f(x) = 0 \) per \( x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi \).
\( f(x) > 0 \) (positiva) in \( (0, \frac{\pi}{2}) \).
\( f(x) < 0 \) (negativa) in \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \).

Simmetria centrale:
Il grafico è simmetrico rispetto al punto \( C(\pi/2, 0) \). Infatti, verificando la relazione \( f(\pi/2 - h) = -f(\pi/2 + h) \), si nota che la funzione assume valori uguali ma opposti rispetto al centro.

Studio della monotonia (Derivata prima):

Calcoliamo la derivata prima della funzione \( f(x) = \sin^3 x \cos x \) applicando la regola del prodotto:

\[ f'(x) = D[\sin^3 x] \cdot \cos x + \sin^3 x \cdot D[\cos x] \] \[ f'(x) = 3\sin^2 x \cos x \cdot \cos x + \sin^3 x (-\sin x) \] \[ f'(x) = 3\sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x \]

Per studiare il segno della derivata, raccogliamo \( \sin^2 x \):

\[ f'(x) = \sin^2 x (3\cos^2 x - \sin^2 x) \]

Studiamo \( f'(x) \geq 0 \) nell'intervallo \( [0, \pi/2] \):

Il fattore \( \sin^2 x \) è sempre \( \geq 0 \), quindi non influenza il segno (tranne dove si annulla).
Studiamo il segno di \( 3\cos^2 x - \sin^2 x \geq 0 \).

Risoluzione della disequazione:
Dividiamo per \( \cos^2 x \) (che è positivo in \( [0, \pi/2) \)): \[ 3 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \geq 0 \implies 3 - \tan^2 x \geq 0 \] \[ \tan^2 x \leq 3 \implies -\sqrt{3} \leq \tan x \leq \sqrt{3} \]

Considerando l'intervallo \( [0, \pi/2] \), la tangente è positiva, quindi:

\[ 0 \leq \tan x \leq \sqrt{3} \implies 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} \]

Andamento della funzione:
• Per \( 0 < x < \pi/3 \): \( f'(x) > 0 \) (la funzione cresce).
• Per \( \pi/3 < x < \pi/2 \): \( f'(x) < 0 \) (la funzione decresce).
Il punto \( x = \pi/3 \) è un punto di massimo relativo e assoluto.

Ricerca dei Flessi (Derivata Seconda):
Calcoliamo la derivata seconda per capire dove la funzione cambia "curvatura":

\[ f''(x) = 6\sin x \cos x - 16\sin^3 x \cos x = \sin(2x)(3 - 8\sin^2 x) \]

Studio del segno di \( f''(x) = \sin(2x)(3 - 8\sin^2 x) \) in \( [0, \pi] \):

Ricerca degli zeri della derivata seconda:
La derivata seconda si annulla quando almeno uno dei due fattori è uguale a zero:

\( \sin(2x) = 0 \implies 2x = 0, \pi, 2\pi \dots \implies x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi \)
\( 3 - 8\sin^2 x = 0 \implies \sin^2 x = \frac{3}{8} \implies \sin x = \sqrt{\frac{3}{8}} \).
Questo avviene per \( x_1 = \arcsin\sqrt{3/8} \approx 0,659 \text{ rad} \) e \( x_3 = \pi - x_1 \approx 2,482 \text{ rad} \).

Analisi del segno dei fattori:

Il fattore \( \sin(2x) \) è positivo nel primo quadrante per l'argomento \( 2x \), ovvero quando \( 0 < 2x < \pi \), che corrisponde a \( 0 < x < \pi/2 \). È invece negativo quando \( \pi/2 < x < \pi \).
Il fattore \( 3 - 8\sin^2 x \) è positivo quando \( \sin^2 x < 3/8 \). Risolvendo la disequazione goniometrica nell'intervallo \( [0, \pi] \), risulta positivo per valori "esterni" all'intervallo dei flessi rispetto allo zero e a pi greco, ovvero in \( 0 \leq x < x_1 \) e \( x_3 < x \leq \pi \).

Sintesi nel quadro dei segni:

Intervallo	\( 0 < x < x_1 \)	\( x_1 < x < \pi/2 \)	\( \pi/2 < x < x_3 \)	\( x_3 < x < \pi \)
\( \sin(2x) \)	+	+	-	-
\( 3 - 8\sin^2 x \)	+	-	-	+
\( f''(x) \)	+ (∪)	- (∩)	+ (∪)	- (∩)

Conclusione sui Flessi:
La funzione cambia concavità in tre punti (Flessi):
1. \( x_1 \approx 37,76^\circ \)
2. \( x_2 = 90^\circ \) (\( \pi/2 \))
3. \( x_3 \approx 142,24^\circ \)

Il grafico della funzione nell'intervallo \( [0, \pi] \) con i flessi e la simmetria centrale.

Passaggio 5: Calcolo dell'Area

Per calcolare l'area totale tra la curva e l'asse \( x \), sfruttiamo la simmetria rispetto al punto \( (\pi/2, 0) \). L'area totale è il doppio di quella calcolata nel primo quadrante.

\[ \text{Area} = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, dx \]

Utilizziamo la primitiva immediata \( \frac{\sin^4 x}{4} \):

\[ \text{Area} = 2 \left[ \frac{\sin^4 x}{4} \right]_{0}^{\pi/2} = 2 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{1}{2} \]

L'area totale della regione è \( \frac{1}{2} \).

Fine Svolgimento Esercizio 1

Esercizio 2

Un macchinario produce pezzi meccanici. Per ogni pezzo sappiamo che:

Probabilità che sia funzionante: \( p = \frac{5}{6} \)
Probabilità che sia difettoso: \( q = \frac{1}{6} \)

Considerando un lotto di \( k \) pezzi (\( k \geq 100 \)), calcola la probabilità dei seguenti eventi:

a) Tutti i pezzi sono funzionanti.
b) Uno solo dei \( k \) pezzi è difettoso.
c) Almeno uno dei \( k \) pezzi è difettoso.
d) Il primo pezzo difettoso è esattamente il decimo prodotto.
e) Si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti.

Passaggio 1: Analisi dei primi tre eventi (su \( k \) pezzi)

In questi casi usiamo la distribuzione binomiale su tutto il lotto di \( k \) pezzi.

a) Evento \( E_1 \): Tutti funzionanti

\[ P(E_1) = p^k = \left( \frac{5}{6} \right)^k \]

b) Evento \( E_2 \): Uno solo difettoso

\[ P(E_2) = \binom{k}{1} \cdot p^{k-1} \cdot q = k \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6} \]

c) Evento \( E_3 \): Almeno uno difettoso

È l'evento contrario di "nessuno difettoso" (tutti funzionanti):

\[ P(E_3) = 1 - P(E_1) = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^k \]

Passaggio 2: Evento \( E_4 \) (Il primo difettoso è il decimo)

Questo significa che i primi 9 pezzi devono essere funzionanti e il 10° deve essere difettoso.

Nota: Questo calcolo non dipende dal numero totale \( k \), perché stiamo guardando solo i primi 10 pezzi.

\[ P(E_4) = p^9 \cdot q = \left( \frac{5}{6} \right)^9 \cdot \frac{1}{6} \approx 0,0323 \text{ (3,23%)} \]

Passaggio 3: Evento \( E_5 \) (Al massimo un difettoso su 10)

"Al massimo uno" significa che dobbiamo sommare due probabilità:

0 pezzi difettosi su 10
1 pezzo difettoso su 10

\[ P(E_5) = \binom{10}{0} p^{10} + \binom{10}{1} p^9 q \] \[ P(E_5) = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} + 10 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^9 \cdot \frac{1}{6} \]

Semplificando l'espressione:

\[ P(E_5) = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} + \frac{10}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^9 = \frac{5^{10}}{6^{10}} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 5^9}{6^{10}} \] \[ P(E_5) = \frac{5^{10} + 2 \cdot 5^{10}}{6^{10}} = 3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \]

La probabilità finale è \( P(E_5) \approx 0,4845 \text{ (48,45%)} \).

Esempio numerico per \( k = 100 \)

Per dare un'idea delle probabilità con un lotto grande:

Probabilità che siano tutti perfetti: 0,000000012 (quasi impossibile).
Probabilità che ci sia almeno un difetto: 0,999999988 (quasi certo).

Fine Svolgimento Esercizio 2

Esercizio 3

Data la circonferenza di equazione \( x^2 + y^2 - 2y = 0 \) e la retta \( y = 2 \), determina una retta passante per l'origine degli assi cartesiani in modo che:

Detta \( M \) la sua intersezione con la circonferenza (diversa dall'origine).
Detta \( H \) la proiezione di \( M \) sulla retta \( y = 2 \).

Risulti minima la somma dei quadrati delle distanze: \( s = OM^2 + MH^2 \).

La circonferenza ha centro in \( (0,1) \) e raggio \( 1 \). Essa passa per l'origine degli assi.

Sia \( M(x, y) \) un punto generico sulla circonferenza. Consideriamo \( M \) nel primo quadrante (\( x > 0, y > 0 \)).

Rappresentazione della circonferenza, del punto M e della proiezione H sulla retta y=2.

Passaggio 1: Esprimere la somma \( s \)

Calcoliamo i quadrati delle distanze in funzione delle coordinate \( (x, y) \) di \( M \):

Quadrato della distanza dall'origine: \( OM^2 = x^2 + y^2 \).
Quadrato della distanza dalla retta \( y=2 \): \( MH^2 = (2 - y)^2 = 4 - 4y + y^2 \).

Sostituzione Geometrica:
Dall'equazione della circonferenza \( x^2 + y^2 - 2y = 0 \), sappiamo che \( x^2 + y^2 = 2y \). Possiamo usare questa relazione per eliminare la \( x \).

\[ s(y) = (x^2 + y^2) + (4 - 4y + y^2) \] \[ s(y) = 2y + 4 - 4y + y^2 \] \[ s(y) = y^2 - 2y + 4 \]

Passaggio 2: Ricerca del minimo

Calcoliamo la derivata prima per trovare il valore di \( y \) che rende minima la somma:

\[ s'(y) = 2y - 2 \]

Studiamo il segno della derivata \( s'(y) \geq 0 \):

\[ 2y - 2 \geq 0 \implies y \geq 1 \]

Analisi della funzione:
• Se \( 0 < y < 1 \): la funzione decresce.
• Se \( y = 1 \): punto di minimo.
• Se \( y > 1 \): la funzione cresce.

Passaggio 3: Determinazione della retta

Trovato il valore minimo per \( y = 1 \), cerchiamo la coordinata \( x \) corrispondente sostituendo nell'equazione della circonferenza:

\[ x^2 + 1^2 - 2(1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \]

Il punto cercato è \( M(1, 1) \). La retta passante per \( O(0,0) \) e \( M(1,1) \) ha coefficiente angolare \( m = \frac{1}{1} = 1 \).

Equazione della retta: \( y = x \)

(Per simmetria, anche \( y = -x \) è una soluzione valida)

Fine Svolgimento Esercizio 3

Esercizio 4

a) Utilizzando il concetto di differenziale, dimostra che \( e^x \approx 1 + x \) per \( x \) vicino a 0.

b) Usa questa approssimazione per calcolare il valore di \( e^{0,1} \).

Sempre con il differenziale, trova il valore approssimato di:

c) \( \ln(1,2) \)

d) \( \sqrt{0,9} \)

Introduzione: Il concetto di Differenziale

Il differenziale ci permette di approssimare il valore di una funzione vicino a un punto noto \( x_0 \) usando la retta tangente.

Formula generale:
\[ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x \]

Passaggio 1: Dimostrazione (Punto a)

Consideriamo \( f(x) = e^x \) nel punto \( x_0 = 0 \):

Valore della funzione: \( f(0) = e^0 = 1 \)
Derivata: \( f'(x) = e^x \), quindi \( f'(0) = 1 \)

Applicando la formula con \( \Delta x = x \):
\[ e^x \approx f(0) + f'(0) \cdot x \implies e^x \approx 1 + x \]

Passaggio 2: Calcoli ed Esempi (Punti b, c, d)

Approssimazione di \( e^{0,1} \):

\[ e^{0,1} \approx 1 + 0,1 = 1,1 \]

Confronto: Il valore reale è \( \approx 1,105 \). L'errore è molto piccolo (meno dello 0,5%).

Approssimazione di \( \ln(1,2) \):

Usiamo \( f(x) = \ln(x) \) in \( x_0 = 1 \) con \( \Delta x = 0,2 \):

\( f(1) = 0 \)
\( f'(x) = 1/x \implies f'(1) = 1 \)

\[ \ln(1,2) \approx 0 + 1 \cdot 0,2 = 0,2 \]

Confronto: Il valore reale è \( \approx 0,182 \). L'errore è molto piccolo.

Approssimazione di \( \sqrt{0,9} \):

Usiamo \( f(x) = \sqrt{x} \) in \( x_0 = 1 \) con \( \Delta x = -0,1 \):

\( f(1) = 1 \)
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies f'(1) = 0,5 \)

\[ \sqrt{0,9} \approx 1 + 0,5 \cdot (-0,1) = 1 - 0,05 = 0,95 \]

Confronto: Il valore reale è \( \approx 0,948 \). L'approssimazione è ottima.

Fine Svolgimento Esercizio 4

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