Questo compito è stato assegnato il 17 Marzo 1989 a una classe 5ª del Liceo Scientifico.
Argomenti: Studio di funzioni goniometriche, calcolo di aree con gli integrali, calcolo combinatorio e probabilità, distribuzione binomiale, geometria analitica (ottimizzazione), differenziale e approssimazione lineare.
Soluzione Esercizio 1
a) Analisi elementare del Massimo e Minimo
Nell'intervallo \( [0, \pi/2] \), le funzioni \( \sin(x) \) e \( \cos(x) \) sono non negative. Di conseguenza \( f(x) = \sin^3(x)\cos(x) \geq 0 \). Poiché \( f(0) = 0 \) e \( f(\pi/2) = 0 \), il minimo assoluto è \( 0 \).
Per il massimo, utilizziamo la proprietà: dati due termini positivi \( a \) e \( b \) con \( a+b = \text{costante} \), il prodotto \( a^m \cdot b^n \) è massimo quando \( \frac{a}{m} = \frac{b}{n} \).
Riscriviamo la funzione come:
\[ f(x) = (\sin^2 x)^{3/2} \cdot (\cos^2 x)^{1/2} \]
Posto \( a = \sin^2 x \), \( b = \cos^2 x \), \( m = 3/2 \) e \( n = 1/2 \), notiamo che \( a + b = \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) (costante). Il massimo si ha quando:
b) Verifica con il calcolo differenziale
Calcoliamo la derivata prima della funzione \( f(x) = \sin^3 x \cos x \):
\[ f'(x) = 3\sin^2 x \cos x \cdot \cos x + \sin^3 x (-\sin x) = 3\sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x \]
Estraendo il fattore comune \( \sin^2 x \):
\[ f'(x) = \sin^2 x (3\cos^2 x - \sin^2 x) \]
Studio del segno di \( f'(x) \) nell'intervallo \( [0, \pi/2] \):
Poiché \( \sin^2 x \geq 0 \) per ogni \( x \), il segno della derivata dipende solo dal termine tra parentesi:
\[ 3\cos^2 x - \sin^2 x \geq 0 \]
\[ 3\cos^2 x \geq \sin^2 x \implies 3 \geq \tan^2 x \implies \tan^2 x \leq 3 \]
Nell'intervallo \( [0, \pi/2] \), dove la tangente è positiva, abbiamo:
\[ \tan x \leq \sqrt{3} \implies 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} \]
Conclusioni sulla monotonia:
- Per \( 0 < x < \frac{\pi}{3} \): \( f'(x) > 0 \) → la funzione cresce.
- Per \( x = \frac{\pi}{3} \): \( f'(x) = 0 \) → punto di massimo relativo.
- Per \( \frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2} \): \( f'(x) < 0 \) → la funzione decresce.
Questo conferma che \( x = \pi/3 \) è il punto di massimo assoluto nell'intervallo indicato, mentre gli estremi \( x=0 \) e \( x=\pi/2 \) sono punti di minimo (entrambi con valore \( f(x)=0 \)).
c) Determinazione del periodo \( T \)
Utilizziamo le formule di linearizzazione e duplicazione per riscrivere la funzione:
\[ f(x) = \sin^2 x \cdot (\sin x \cos x) = \frac{1-\cos(2x)}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} \]
\[ f(x) = \frac{1}{4} \sin(2x) [1 - \cos(2x)] \]
Ragionamento sul periodo:
Osserviamo l'espressione ottenuta:
- La funzione \( \sin(2x) \) ha periodo \( T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi \).
- La funzione \( \cos(2x) \) ha periodo \( T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi \).
Poiché la funzione \( f(x) \) è combinazione (prodotto e differenza) di funzioni aventi tutte periodo \( \pi \), il periodo della funzione risultante sarà il minimo comune multiplo dei periodi, ovvero:
\( T = \pi \)
d) Studio e rappresentazione grafica
Dominio e Segno: La funzione è periodica di periodo \( T = \pi \). Studiamola in \( [0, \pi] \):
- \( f(x) = 0 \) per \( x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi \).
- \( f(x) > 0 \) in \( (0, \frac{\pi}{2}) \).
- \( f(x) < 0 \) in \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \).
Dimostrazione della simmetria rispetto al punto \( C(\pi/2, 0) \):
Per dimostrare che il grafico è simmetrico rispetto a \( C \), verifichiamo che valga la relazione \( f(\pi/2 - h) = -f(\pi/2 + h) \):
- \( f(\pi/2 - h) = \sin^3(\pi/2 - h) \cos(\pi/2 - h) = \cos^3(h) \sin(h) \)
- \( f(\pi/2 + h) = \sin^3(\pi/2 + h) \cos(\pi/2 + h) = \cos^3(h) (-\sin(h)) = -\cos^3(h) \sin(h) \)
La condizione è verificata: il punto \( (\pi/2, 0) \) è centro di simmetria.
Ricerca e studio dei Flessi (Derivata Seconda):
Riprendiamo \( f'(x) = 3\sin^2 x - 4\sin^4 x \). Calcoliamo la derivata seconda:
\[ f''(x) = 6\sin x \cos x - 16\sin^3 x \cos x = 2\sin x \cos x (3 - 8\sin^2 x) = \sin(2x)(3 - 8\sin^2 x) \]
Studio del segno di \( f''(x) = \sin(2x)(3 - 8\sin^2 x) \) in \( [0, \pi] \):
Ricerca degli zeri della derivata seconda:
La derivata seconda si annulla quando almeno uno dei due fattori è uguale a zero:
- \( \sin(2x) = 0 \implies 2x = 0, \pi, 2\pi \dots \implies x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi \)
- \( 3 - 8\sin^2 x = 0 \implies \sin^2 x = \frac{3}{8} \implies \sin x = \sqrt{\frac{3}{8}} \) (considerando solo il valore positivo in \( [0, \pi] \)).
Questo avviene per \( x_1 = \arcsin\sqrt{3/8} \approx 0,659 \text{ rad} \) e \( x_3 = \pi - x_1 \approx 2,482 \text{ rad} \).
Analisi del segno dei fattori:
- Il fattore \( \sin(2x) \) è positivo nel primo quadrante per l'argomento \( 2x \), ovvero quando \( 0 < 2x < \pi \), che corrisponde a \( 0 < x <\pi/2 \). È invece negativo quando \( \pi/2 < x < \pi \).
- Il fattore \( 3 - 8\sin^2 x \) è positivo quando \( \sin^2 x < 3/8 \). Risolvendo la disequazione goniometrica nell'intervallo \( [0, \pi] \), risulta positivo per valori "esterni" all'intervallo dei flessi rispetto allo zero e a pi greco, ovvero in \( 0 \leq x < x_1 \) e \( x_3 < x \leq \pi \).
Studio del segno di \( f''(x) = \sin(2x)(3 - 8\sin^2 x) \) in \( [0, \pi] \):
| Intervallo |
\( 0 < x < x_1 \) |
\( x_1 < x < \pi/2 \) |
\( \pi/2 < x < x_3 \) |
\( x_3 < x < \pi \) |
| \( \sin(2x) \) |
+ |
+ |
- |
- |
| \( 3 - 8\sin^2 x \) |
+ |
- |
- |
+ |
| \( f''(x) \) |
+ (∪) |
- (∩) |
+ (∪) |
- (∩) |
Conclusione sui Flessi:
Dall'analisi del segno si deduce che la funzione cambia concavità in tre punti, che sono pertanto i flessi della funzione nel periodo considerato:
- \( x_1 = \arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{8}}\right) \approx 0,659 \text{ rad} \quad (37,76^\circ) \)
- \( x_2 = \frac{\pi}{2} \text{ rad} \quad (90^\circ) \)
- \( x_3 = \pi - \arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{8}}\right) \approx 2,482 \text{ rad} \quad (142,24^\circ) \)
I punti di flesso \( x_1 \) e \( x_3 \) sono con tangente obliqua a pendenza positiva. Il punto di flesso \( x_2 = \pi/2 \) è con tangente obliqua e pendenza negativa.
Il grafico della funzione nell'intervallo \( [0, \pi] \) con i flessi e la simmetria centrale.
e) Calcolo dell'area
Una primitiva di \( f(x) = \sin^3 x \cos x \) è data da \( \frac{\sin^4 x}{4} \).
Per la simmetria del grafico rispetto al punto \( (\pi/2, 0) \), l'area totale della regione è il doppio dell'area nel primo quadrante:
\[ \text{Area} = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, dx = 2 \left[ \frac{\sin^4 x}{4} \right]_{0}^{\pi/2} \]
\[ \text{Area} = 2 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{1}{2} \]
Fine Svolgimento Esercizio 1
Soluzione Esercizio 2
Definiamo le probabilità di base:
- Probabilità pezzo funzionante: \( p = \frac{5}{6} \)
- Probabilità pezzo difettoso: \( q = \frac{1}{6} \)
a) Tutti i pezzi sono funzionanti (\( E_1 \))
b) Uno solo dei \( k \) pezzi è difettoso (\( E_2 \))
c) Almeno uno dei \( k \) pezzi è difettoso (\( E_3 \))
d) Il primo difettoso è il decimo (\( E_4 \))
e) Al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci (\( E_5 \))
\[ P(E_5) = \binom{10}{0} p^{10} + \binom{10}{1} p^9 q = 3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \]
Indipendente da \( k \): \( P(E_5) = 3 \cdot \frac{5^{10}}{6^{10}} \approx 0,4845 \quad (48,45\%) \)
Fine Svolgimento Esercizio 2
Soluzione Esercizio 3
La circonferenza ha centro in \( (0,1) \) e raggio \( 1 \) (passando per l'origine degli assi).
Sia \( M(x, y) \) un punto sulla circonferenza. Consideriamo \( M \) nel primo quadrante (\( x > 0, y > 0 \)).
Figura rappresentativa del problema:
1. Espressione della somma \( s \)
- Distanza dall'origine: \( OM^2 = x^2 + y^2 \).
- Distanza dalla retta \( y=2 \): \( MH^2 = (2 - y)^2 = 4 - 4y + y^2 \).
Sommando i termini: \( s = x^2 + y^2 + 4 - 4y + y^2 \).
Dall'equazione della circonferenza \( x^2 + y^2 - 2y = 0 \), ricaviamo \( x^2 + y^2 = 2y \).
\[ s(y) = 2y + 4 - 4y + y^2 = y^2 - 2y + 4 \]
2. Ricerca del minimo tramite derivata
Calcoliamo la derivata prima della funzione \( s(y) \):
\[ s'(y) = 2y - 2 \]
Studiamo il segno della derivata per determinare gli intervalli di monotonia:
\[ s'(y) \geq 0 \implies 2y - 2 \geq 0 \implies y \geq 1 \]
Dallo studio del segno deduciamo che:
- Per \( 0 < y < 1 \): \( s'(y) < 0 \), quindi la funzione è decrescente.
- Per \( y = 1 \): \( s'(y) = 0 \), punto di minimo relativo.
- Per \( y > 1 \): \( s'(y) > 0 \), quindi la funzione è crescente.
La funzione ammette dunque un valore minimo per \( y = 1 \).
3. Determinazione della retta
Sostituiamo \( y = 1 \) nell'equazione della circonferenza per trovare l'ascissa di \( M \):
\[ x^2 + 1^2 - 2(1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 \]
Avendo ipotizzato \( M \) nel primo quadrante, scegliamo \( x = 1 \). Il punto è \( M(1, 1) \).
La retta passante per l'origine \( O(0,0) \) e per \( M(1,1) \) ha coefficiente angolare \( m = \frac{1}{1} = 1 \).
Equazione richiesta: \( y = x \)
Nota: Per simmetria, la retta \( y = -x \) (corrispondente a \( x = -1 \)) rappresenta l'altra soluzione possibile del problema.
Fine Svolgimento Esercizio 3
Soluzione Esercizio 4
Il concetto di differenziale ci permette di approssimare il valore di una funzione in un intorno di un punto noto \( x_0 \) utilizzando la retta tangente. La formula generale è:
\[ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x \]
a) Dimostrazione di \( e^x \approx 1 + x \)
Consideriamo la funzione \( f(x) = e^x \) e il punto \( x_0 = 0 \).
- Valore della funzione: \( f(0) = e^0 = 1 \).
- Derivata prima: \( f'(x) = e^x \), quindi \( f'(0) = e^0 = 1 \).
Applicando la formula del differenziale per un incremento \( \Delta x = x \):
\[ f(0 + x) \approx f(0) + f'(0) \cdot x \implies e^x \approx 1 + 1 \cdot x = 1 + x \]
La relazione è dimostrata per \( x \) appartenente a un intorno di \( 0 \).
b) Approssimazione di \( e^{0,1} \)
Utilizzando il risultato precedente con \( x = 0,1 \):
\[ e^{0,1} \approx 1 + 0,1 = 1,1 \]
Confronto: Il valore fornito da una calcolatrice è \( \approx 1,10517 \).
L'approssimazione è corretta per oltre il 99,5%.
c) Approssimazione di \( \ln(1,2) \)
Consideriamo \( f(x) = \ln(x) \) e il punto noto \( x_0 = 1 \), con incremento \( \Delta x = 0,2 \).
- \( f(1) = \ln(1) = 0 \).
- \( f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(1) = 1 \).
\[ \ln(1,2) \approx f(1) + f'(1) \cdot 0,2 = 0 + 1 \cdot 0,2 = 0,2 \]
Confronto: Il valore fornito da una calcolatrice è \( \approx 0,18232 \).
L'approssimazione sovrastima leggermente il valore reale.
d) Approssimazione di \( \sqrt{0,9} \)
Consideriamo \( f(x) = \sqrt{x} \) e il punto noto \( x_0 = 1 \), con incremento \( \Delta x = -0,1 \).
- \( f(1) = \sqrt{1} = 1 \).
- \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies f'(1) = \frac{1}{2} = 0,5 \).
\[ \sqrt{0,9} \approx f(1) + f'(1) \cdot (-0,1) = 1 - 0,05 = 0,95 \]
Confronto: Il valore fornito da una calcolatrice è \( \approx 0,94868 \).
L'errore assoluto è inferiore a \( 0,0014 \).
Fine Svolgimento Esercizio 4
