SOLUZIONI aprile2004 SOLUZIONI

2004

... due triangoli equilateri

I triangoli equilateri ABC e AB'C' hanno in comune soltanto il vertice A. Inoltre i punti C, B, C' sono allineati, con B compreso fra gli altri due. Sia G il baricentro del triangolo AB'C'. Dimostrare che CG la bisettrice dell'angolo ACB.
 

(PUNTEGGIO MASSIMO: 10 PUNTI)


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La soluzione del "gruppo sr" (PUNTI 6)


La soluzione di Aris  (PUNTI 8)

Abbiamo che ABC1=120 e AB1C1=60. Quindi il quadrilatero ABB1C1 ciclico. Il baricentro del triangolo equilatero in questione passa per 3 dei punti di questo quadrilatero e quindi, essendo unica la circonferenza passante per 3 punti, la circonferenza in cui il quadrilatero inscritto. Ci vuol dire che AG=GB perch entrambi raggi e che quindi G sta sull'asse di AB. Inoltre anche C sta sull'asse di AB. Quindi CG la retta su cui giace l'altezza relativa a C. Ma l'altezza in un triangolo equilatero anche bisettrice e quindi la tesi dimostrata...

La soluzione di Luigi Bernardini (PUNTI 7)


La soluzione di Maurizio Castellan  (PUNTI 10)
 


La soluzione di jack202 (PUNTI 8)

Innanzitutto abbiamo ^AGC' = 120 e ^ACC' = ^ACB = 60. Da questo segue che il quadrilatero ACC'G ciclico, e per il teorema dell'angolo alla circonferenza si ha  ^GCA = ^GC'A = 30 e questo basta a concludere che  la retta CG bisettrice dell'angolo ^ACB.
 


La soluzione di Alex Paci  (PUNTI 7): per un disguido tecnico non era stata inserita.
 



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