LE FUNZIONI: DEFINIZIONI E PROPRIETÀ FONDAMENTALI
(Versione DSA)

Che cos'è una funzione

Dati due insiemi \( A \) e \( B \), si chiama funzione da \( A \) a \( B \), e si scrive

una relazione che associa a ogni elemento di \( A \) (o di un suo sottoinsieme) uno e un solo elemento di \( B \) (o di un suo sottoinsieme). L'insieme \( A \) si chiama dominio (o insieme di partenza), l'insieme \( B \) si chiama codominio (o insieme di arrivo).

Quando \( A \) e \( B \) sono sottoinsiemi di \( \mathbb{R} \) — il caso che studieremo quasi sempre — si parla di funzione reale di variabile reale. In particolare, scrivere

vuol dire che sia le \( x \) sia le \( y \) sono numeri reali: \( A=B=\mathbb{R} \) sono gli insiemi "ambiente" entro cui la funzione è definita, senza che questo implichi che ogni singolo numero reale debba avere effettivamente un'immagine (torniamo su questo punto tra un momento).

Campo di esistenza e insieme immagine

Non è detto che la legge \( f \) abbia senso per tutti gli elementi di \( A \), né che tutti gli elementi di \( B \) vengano effettivamente raggiunti. Per questo si distinguono due coppie di concetti:

• il dominio \( A \) è l'insieme (ambiente) dichiarato a priori come insieme di partenza; il campo di esistenza (o insieme di esistenza), indicato con C.E., è il sottoinsieme di \( A \) su cui la legge \( f \) ha effettivamente senso (cioè per cui i calcoli richiesti sono eseguibili);
• il codominio \( B \) è l'insieme (ambiente) dichiarato a priori come insieme di arrivo; l'insieme immagine, indicato con \( \text{Im}(f) \), è il sottoinsieme di \( B \) effettivamente raggiunto, cioè formato dai valori che sono immagine di almeno un elemento del C.E.: \[ \text{Im}(f) = \{\, f(x) \mid x\in\text{C.E.} \,\} \subseteq B \]

Questa distinzione è quella che permette di definire in modo pulito la suriettività (Sezione 6): una funzione \( f:A\to B \) è suriettiva quando \( \text{Im}(f)=B \), cioè quando tutto il codominio dichiarato coincide con l'immagine effettiva.

Notazioni e variabili

Per indicare che a un generico elemento \( x \) (del campo di esistenza) la funzione associa l'elemento \( y \) (dell'insieme immagine), si scrive:

e più comunemente, ponendo \( y=f(x) \):

(si legge "\( y \) uguale a \( f \) di \( x \)"). In questa scrittura, \( x \) si chiama variabile indipendente (può assumere liberamente qualsiasi valore del campo di esistenza) e \( y \) si chiama variabile dipendente (il suo valore è determinato da \( x \) tramite la legge \( f \)).

Una funzione può essere scritta in forma esplicita, quando la variabile dipendente è isolata al primo membro (\( y=f(x) \)), oppure in forma implicita, quando è espressa da un'equazione che coinvolge insieme \( x \) e \( y \), del tipo \( F(x,y)=0 \).

Immagine e controimmagine di un singolo elemento

Dato un elemento \( x_0 \) del campo di esistenza, l'elemento \( y_0=f(x_0) \) si chiama immagine di \( x_0 \) tramite \( f \). Viceversa, dato \( y_0\in\text{Im}(f) \), ogni elemento \( x \) tale che \( f(x)=y_0 \) si chiama controimmagine di \( y_0 \): come mostra la figura sopra, uno stesso \( y_0 \) può avere più di una controimmagine (due elementi diversi con la stessa immagine, come nel diagramma).

Classificazione generale delle funzioni

Le funzioni reali di variabile reale \( y = f(x) \) si classificano in base alla natura dell'espressione analitica mediante la quale la variabile indipendente \( x \) compare nella legge di corrispondenza. La prima grande suddivisione è tra funzioni algebriche e funzioni trascendenti.

1. Funzioni algebriche

Una funzione si dice algebrica se l'espressione analitica che lega \( y \) ad \( x \) contiene soltanto le operazioni algebriche fondamentali: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza a esponente razionale (cioè estrazione di radice). Le funzioni algebriche si suddividono ulteriormente in:

• Algebriche razionali: la variabile \( x \) non compare sotto il segno di radice.
  • Razionali intere (o polinomiali): la variabile \( x \) compare soltanto al numeratore (non compare al denominatore). La loro forma generale è un polinomio: \[ y = P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]
  • Razionali fratte: la variabile \( x \) compare anche al denominatore, cioè la funzione si presenta come rapporto di due polinomi: \[ y = \frac{P(x)}{Q(x)} \qquad \text{con } Q(x) \neq 0 \]
• Algebriche irrazionali: la variabile \( x \) compare sotto il segno di radice. Possono essere a loro volta intere o fratte a seconda che la radice o la variabile compaia o meno al denominatore.

Grado di una funzione razionale intera

Per le funzioni razionali intere (polinomiali), il grado della funzione coincide con il grado del polinomio \( P(x) \) espresso rispetto alla variabile \( x \):

• Grado 1 (Funzione lineare): \( y = ax + b \) (con \( a \neq 0 \)). Il grafico è una retta.
• Grado 2 (Funzione quadratica): \( y = ax^2 + bx + c \) (con \( a \neq 0 \)). Il grafico è una parabola con asse verticale.
• Grado 3 (Funzione cubica): \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) (con \( a \neq 0 \)). Il grafico è una parabola cubica.
• Grado \( n \): in generale, \( y = P_n(x) \), con polinomio di grado \( n \).

2. Funzioni trascendenti

Una funzione si dice trascendente quando non è algebrica, cioè quando la variabile \( x \) figura come argomento di operazioni non algebriche (esponenziali, logaritmiche, goniometriche, goniometriche inverse).

Tra le principali funzioni trascendenti ritroviamo:

• Goniometriche: \( y = \sin x \), \( y = \cos x \), \( y = \tan x \);
• Goniometriche inverse: \( y = \arcsin x \), \( y = \arccos x \), \( y = \arctan x \);
• Esponenziali: \( y = a^x \) (con \( a > 0, a \neq 1 \));
• Logaritmiche: \( y = \log_a x \) (con \( a > 0, a \neq 1 \)).

Riepilogo della classificazione (Diagramma ad albero)

Lo schema gerarchico sottostante riassume sinteticamente la classificazione delle funzioni reali di variabile reale:

Definizione di uguaglianza tra due funzioni

Due funzioni \( f \) e \( g \) si dicono uguali, e si scrive \( f = g \), se e solo se soddisfano contemporaneamente le seguenti due condizioni:

• hanno lo stesso campo di esistenza, cioè \( \text{C.E.}_f = \text{C.E.}_g \);
• assumono lo stesso valore per ogni elemento del loro campo di esistenza comune, cioè: \[ f(x) = g(x) \quad \forall x \in \text{C.E.} \]

Esempi classici e "trabocchetti"

Esempio di due funzioni effettivamente uguali

Zeri e segno di una funzione

Si definisce zero di una funzione reale di variabile reale \( y = f(x) \) un qualsiasi valore reale \( x = x_0 \) appartenente al campo di esistenza per il quale la funzione si annulla, cioè tale che:

Come determinare gli zeri

Per trovare gli zeri di una funzione occorre risolvere l'equazione:

Studio del segno di una funzione

Studiare il segno di una funzione significa determinare per quali valori di \( x \in \text{C.E.} \) la funzione assume valori positivi e per quali assume valori negativi:

• Positività: si risolve la disequazione \( f(x) > 0 \). Nel grafico, la funzione si trova sopra l'asse \( x \).
• Negatività: si risolve la disequazione \( f(x) < 0 \). Nel grafico, la funzione si trova sotto l'asse \( x \).
• Zeri: i punti in cui \( f(x) = 0 \), ossia i punti di contatto o intersezione con l'asse \( x \).

Procedimento operativo per lo studio del segno

1. Determina prima di tutto il Campo di Esistenza (C.E.) della funzione.
2. Poni la funzione strettamente maggiore di zero: \( f(x) > 0 \).
3. Se la funzione è fratta o composta da più fattori, studia il segno di ciascun fattore (Numeratore \( > 0 \), Denominatore \( > 0 \)).
4. Costruisci il quadro dei segni ponendo i risultati sull'asse reale, ricordando di cancellare o escludere le zone non appartenenti al C.E.
5. Interpreta il grafico: cancella le regioni di piano cartesiano in cui il grafico della funzione sicuramente non passa.

Esempio guidato — Studio del segno di una funzione razionale fratta

Studiamo il segno di \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \):

• Campo di Esistenza: Denominatore \( \neq 0 \implies x + 1 \neq 0 \implies \text{C.E.} = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).
• Zeri: \( f(x) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2 \). Il punto d'intersezione è \( (2, 0) \).
• Studio del segno: Risolviamo \( \frac{x - 2}{x + 1} > 0 \):
  • Numeratore \( > 0 \implies x - 2 > 0 \implies x > 2 \)
  • Denominatore \( > 0 \implies x + 1 > 0 \implies x > -1 \)
• Conclusione dal quadro dei segni:
  • \( f(x) > 0 \) per \( x < -1 \lor x > 2 \) (grafico sopra l'asse \( x \))
  • \( f(x) < 0 \) per \( -1 < x < 2 \) (grafico sotto l'asse \( x \))
  • \( f(x) \) non è definita per \( x = -1 \)

Quadro dei segni per \( f(x) = \frac{x-2}{x+1} \):

Nella seguente figura viene evidenziato in rosso lo zero della funzione e in azzurro il segno della funzione, cioè le zone del piano in cui si trova il grafico (viene anche indicato il grafico, che è una funzione omografica di asintoti \( x = -1 \) e \( y = 1 \)):

• Punto rosso A = (2, 0): Zero della funzione (intersezione con l'asse \( x \)).
• Regione azzurra: Regioni del piano in cui la funzione è positiva (\( f(x) > 0 \)) o negativa (\( f(x) < 0 \)).
• Linea tratteggiata verticale (\( x = -1 \)): Asintoto verticale (valore escluso dal C.E.).
• Linea tratteggiata orizzontale (\( y = 1 \)): Asintoto orizzontale della funzione omografica.
• Curva a punti: Grafico della funzione \( f(x) = \frac{x-2}{x+1} \).

Grafici deducibili mediante trasformazioni geometriche

Conoscendo il grafico di una funzione \( y=f(x) \), è possibile dedurre il grafico di altre funzioni ad essa collegate, senza doverlo ricostruire da zero, applicando alcune trasformazioni geometriche elementari: traslazioni, dilatazioni/contrazioni, simmetrie.

In tutti gli esempi che seguono useremo come funzione di partenza:

una parabola con zeri in \( x=1 \) e \( x=3 \) e vertice in \( (2,-1) \).

1) \( y=f(x+a) \) — traslazione orizzontale

Il grafico di \( y=f(x+a) \) si ottiene traslando quello di \( y=f(x) \) di \( a \) unità verso sinistra se \( a>0 \) (verso destra se \( a<0 \)). Attenzione al segno: può sembrare controintuitivo, ma sommare dentro la parentesi sposta il grafico nella direzione opposta a quella che ci si aspetterebbe. In termini di vettore traslazione:

Esempio — \( y=f(x+2) \)

\( f(x+2)=(x+2)^2-4(x+2)+3=x^2-1 \). Il vertice, che era in \( (2,-1) \), si sposta in \( (0,-1) \): traslazione di 2 unità a sinistra, corrispondente al vettore \( \vec{v}\,(-2,\ 0) \).

2) \( y=f(x)+a \) — traslazione verticale

Il grafico di \( y=f(x)+a \) si ottiene traslando quello di \( y=f(x) \) di \( a \) unità verso l'alto se \( a>0 \) (verso il basso se \( a<0 \)). Qui, a differenza del caso precedente, il verso della traslazione coincide col segno di \( a \). In termini di vettore traslazione:

Esempio — \( y=f(x)+2 \)

\( f(x)+2=x^2-4x+3+2=x^2-4x+5 \). Il vertice si sposta da \( (2,-1) \) a \( (2,1) \): traslazione di 2 unità verso l'alto, corrispondente al vettore \( \vec{v}\,(0,\ 2) \).

3) \( y=a\cdot f(x) \) — dilatazione/contrazione verticale

Il grafico di \( y=a\cdot f(x) \), con \( a>0 \), si ottiene da quello di \( y=f(x) \) moltiplicando per \( a \) tutte le ordinate: se \( a>1 \) il grafico si "allunga" verticalmente (dilatazione), se \( 0<a<1 \) si "schiaccia" verso l'asse \( x \) (contrazione). Gli zeri restano invariati (dove \( f(x)=0 \), anche \( a\cdot f(x)=0 \)). Se \( a<0 \), alla dilatazione/contrazione si somma anche un ribaltamento rispetto all'asse \( x \) (vedi punto 5).

Esempio — \( y=2f(x) \)

\( 2f(x)=2x^2-8x+6 \). Il vertice, con la stessa ascissa \( x=2 \), si abbassa da \( y=-1 \) a \( y=-2 \) (l'ordinata raddoppia); gli zeri restano \( x=1 \) e \( x=3 \).

4) \( y=f(a\cdot x) \) — dilatazione/contrazione orizzontale

Il grafico di \( y=f(a\cdot x) \), con \( a>0 \), si ottiene da quello di \( y=f(x) \) dividendo per \( a \) tutte le ascisse: se \( a>1 \) il grafico si "schiaccia" orizzontalmente verso l'asse \( y \) (contrazione), se \( 0<a<1 \) si "allarga" (dilatazione). Anche qui, come nella traslazione orizzontale, l'effetto sulle ascisse è "inverso" rispetto a quello che ci si aspetterebbe.

Esempio — \( y=f(2x) \)

\( f(2x)=(2x)^2-4(2x)+3=4x^2-8x+3 \). Il vertice, con la stessa ordinata \( y=-1 \), si sposta da \( x=2 \) a \( x=1 \) (l'ascissa dimezza); gli zeri, che erano \( x=1 \) e \( x=3 \), diventano \( x=\frac12 \) e \( x=\frac32 \) (anch'essi dimezzati).

5) \( y=-f(x) \) — simmetria rispetto all'asse \( x \)

Il grafico di \( y=-f(x) \) si ottiene ribaltando quello di \( y=f(x) \) rispetto all'asse delle ascisse (ogni punto \( (x,y) \) diventa \( (x,-y) \)). Gli zeri restano invariati.

Esempio — \( y=-f(x) \)

\( -f(x)=-x^2+4x-3 \). Il vertice, che era un minimo in \( (2,-1) \), diventa un massimo in \( (2,1) \); gli zeri restano \( x=1 \) e \( x=3 \).

6) \( y=|f(x)| \) — valore assoluto della funzione

Il grafico di \( y=|f(x)| \) coincide con quello di \( y=f(x) \) dove \( f(x)\geq0 \), mentre viene ribaltato sopra l'asse \( x \) nei tratti dove \( f(x)<0 \) (esattamente come si fa per il grafico di \( y=|g(x)| \) a partire da \( y=g(x) \) in generale). Il risultato non scende mai sotto l'asse \( x \).

Esempio — \( y=|f(x)| \)

\( f(x)=(x-1)(x-3) \) è negativa per \( 1<x<3 \) (tra i due zeri) e positiva altrove. Quindi \( |f(x)| \) coincide con \( f(x) \) per \( x\leq1 \) e \( x\geq3 \), mentre per \( 1<x<3 \) diventa \( -f(x)=-x^2+4x-3 \), con un massimo locale in \( (2,1) \) al posto del minimo originale.

7) \( y=f(-x) \) — simmetria rispetto all'asse \( y \)

Il grafico di \( y=f(-x) \) si ottiene ribaltando quello di \( y=f(x) \) rispetto all'asse delle ordinate (ogni punto \( (x,y) \) diventa \( (-x,y) \)).

Esempio — \( y=f(-x) \)

\( f(-x)=(-x)^2-4(-x)+3=x^2+4x+3 \). Il vertice, che era in \( (2,-1) \), si sposta in \( (-2,-1) \); gli zeri, che erano \( x=1 \) e \( x=3 \), diventano \( x=-1 \) e \( x=-3 \).

8) \( y=f(|x|) \) — valore assoluto della variabile

Il grafico di \( y=f(|x|) \) coincide con quello di \( y=f(x) \) per \( x\geq0 \), mentre per \( x<0 \) è il simmetrico rispetto all'asse \( y \) della parte con \( x\geq0 \) (si "cancella" la parte del grafico originale con \( x<0 \) e si sostituisce col ribaltamento della parte con \( x\geq0 \)). Il risultato è sempre una funzione pari (Sezione 5).

Esempio — \( y=f(|x|) \)

Per \( x\geq0 \): \( f(|x|)=f(x)=x^2-4x+3 \) (invariata). Per \( x<0 \): \( f(|x|)=f(-x)=x^2+4x+3 \) (il ramo di destra ribaltato a sinistra).

Funzioni pari

Una funzione \( f \), con campo di esistenza simmetrico rispetto a \( 0 \) (cioè tale che se \( x\in\text{C.E.} \) allora anche \( -x\in\text{C.E.} \)), si dice pari se:

Significato geometrico: il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse \( y \). Questo è esattamente ciò che abbiamo osservato nella Sezione 4 a proposito della trasformazione \( y=f(-x) \): se \( f \) è pari, il suo grafico coincide con quello della suo simmetrico rispetto all'asse \( y \), cioè resta invariato.

Funzioni dispari

Una funzione \( f \), con campo di esistenza simmetrico rispetto a \( 0 \), si dice dispari se:

Significato geometrico: il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine degli assi (cioè invariante per una rotazione di \( 180° \) attorno all'origine). Anche questo si collega alla Sezione 4: dire \( f(-x)=-f(x) \) vuol dire che applicare la simmetria rispetto all'asse \( y \) (cioè \( f(-x) \)) produce lo stesso risultato di applicare la simmetria rispetto all'asse \( x \) (cioè \( -f(x) \)) — e questo, geometricamente, è proprio la simmetria centrale rispetto all'origine.

Una funzione può anche non essere né pari né dispari (è il caso più comune): basta un solo valore di \( x \) per cui non valga nessuna delle due uguaglianze.

Esempi di funzioni pari e dispari

Esempio 3 (impegnativo) — \( f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \), funzione pari

Calcoliamo \( f(-x) \), sostituendo \( -x \) al posto di \( x \):

\[ f(-x) = \frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2} = \frac{e^{-x}+e^{x}}{2} \]

Questa espressione è identica a \( f(x) \) (la somma al numeratore è la stessa, solo scritta in ordine diverso: l'addizione è commutativa):

\[ f(-x) = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = f(x) \]

Quindi \( f \) è pari.

Esempio 4 (impegnativo) — \( f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2} \), funzione dispari

Calcoliamo \( f(-x) \):

\[ f(-x) = \frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2} = \frac{e^{-x}-e^{x}}{2} \]

Raccogliamo \( -1 \) a fattor comune al numeratore:

\[ f(-x) = \frac{e^{-x}-e^{x}}{2} = -\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right) = -f(x) \]

Quindi \( f \) è dispari.

Funzione iniettiva

\( f \) si dice iniettiva se a elementi distinti del C.E. corrispondono immagini distinte:

Nella pratica è spesso più comodo usare la forma equivalente (contronominale):

Test grafico: \( f \) è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico in al più un punto.

Verifica algebrica dell'iniettività

Oltre al test grafico, l'iniettività si può dimostrare (o confutare) per via puramente algebrica, partendo dall'uguaglianza \( f(x_1)=f(x_2) \) e vedendo dove porta:

• se si arriva necessariamente a \( x_1=x_2 \), allora \( f \) è iniettiva;
• se invece si trova (almeno) un'altra possibilità, con \( x_1\neq x_2 \), allora \( f \) non è iniettiva — e quella coppia \( (x_1,x_2) \) fornisce un controesempio esplicito.

Funzione suriettiva

\( f:A\to B \) si dice suriettiva (su \( B \)) se:

cioè se ogni elemento del codominio \( B \) ha almeno una controimmagine nel C.E. È qui che torna utile la distinzione, fatta nella Sezione 0, tra codominio \( B \) (dichiarato a priori) e insieme immagine \( \text{Im}(f) \) (effettivamente raggiunto): la suriettività dipende anche da quale \( B \) si è scelto come codominio, non solo dalla legge \( f \).

Test grafico: \( f:A\to B \), con \( B\subseteq\mathbb{R} \), è suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale \( y=k \), con \( k\in B \), interseca il grafico in almeno un punto.

Funzione biunivoca (o biiettiva)

\( f \) si dice biunivoca (o biiettiva) se è sia iniettiva sia suriettiva, cioè se ogni elemento di \( B \) ha esattamente una controimmagine (né zero né più di una): si dice anche che \( f \) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra \( A \) e \( B \).

Funzione invertibile

Se \( f:A\to B \) è biunivoca, esiste la funzione inversa \( f^{-1}:B\to A \), che associa a ogni \( y\in B \) l'unico \( x\in A \) tale che \( f(x)=y \).

Proprietà grafica: il grafico di \( f^{-1} \) è il simmetrico del grafico di \( f \) rispetto alla retta \( y=x \) (bisettrice del primo e terzo quadrante). Questo perché, se il punto \( (x_0,y_0) \) appartiene al grafico di \( f \) (cioè \( y_0=f(x_0) \)), allora il punto \( (y_0,x_0) \) — le sue coordinate scambiate, che è proprio il simmetrico di \( (x_0,y_0) \) rispetto a \( y=x \) — appartiene al grafico di \( f^{-1} \) (perché \( f^{-1}(y_0)=x_0 \)).

Le funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente), essendo periodiche, non sono iniettive sul loro dominio naturale: ogni valore compreso nella loro immagine viene assunto infinite volte. Per definirne l'inversa, secondo lo schema visto nella Sezione 6, occorre prima restringere il dominio a un intervallo in cui la funzione risulti iniettiva (monotona) e assuma comunque tutti i valori della sua immagine originale.

Arcoseno

La funzione \( \sin x \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \) (ad esempio \( \sin(0)=\sin(\pi)=0 \)). Scegliamo una restrizione a un intervallo in cui \( \sin x \) assuma tutti i valori tra \( -1 \) e \( 1 \) e sia strettamente monotona: l'intervallo più comodo è \( \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \), dove il seno è strettamente crescente.

Su questo intervallo \( \sin x \) è iniettiva e la sua immagine è \( [-1,1] \): è quindi invertibile (Sezione 6). Si chiama arcoseno la sua funzione inversa:

Come sempre accade per una funzione e la sua inversa (Sezione 6), il campo di esistenza e l'insieme immagine si scambiano:

• \( \sin x \) (ristretto): \( \text{C.E.}=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \), \( \text{Im}=[-1,1] \)
• \( \arcsin x \): \( \text{C.E.}=[-1,1] \), \( \text{Im}=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \)

Arcocoseno

Anche \( \cos x \) non è iniettiva su \( \mathbb{R} \) (\( \cos(-x)=\cos(x)\), tra l'altro: è una funzione pari). Questa volta l'intervallo di restrizione più comodo è \( [0,\pi] \), dove il coseno è strettamente decrescente e assume tutti i valori tra \( -1 \) e \( 1 \).

Si chiama arcocoseno la funzione inversa del coseno così ristretto:

• \( \cos x \) (ristretto): \( \text{C.E.}=[0,\pi] \), \( \text{Im}=[-1,1] \)
• \( \arccos x \): \( \text{C.E.}=[-1,1] \), \( \text{Im}=[0,\pi] \)

Arcotangente

La funzione \( \tan x \) non è definita nei punti \( \frac{\pi}{2}+k\pi \) e, come seno e coseno, è periodica: non è iniettiva sul suo C.E. naturale. La restrizione più comoda è l'intervallo aperto \( \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \), dove la tangente è strettamente crescente e assume tutti i valori reali (con due asintoti verticali agli estremi).

Si chiama arcotangente la funzione inversa:

• \( \tan x \) (ristretta): \( \text{C.E.}=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \), \( \text{Im}=\mathbb{R} \)
• \( \arctan x \): \( \text{C.E.}=\mathbb{R} \), \( \text{Im}=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \)

Gli asintoti verticali della tangente ristretta (\( x=\pm\frac{\pi}{2} \)) diventano, per simmetria rispetto a \( y=x \), gli asintoti orizzontali dell'arcotangente (\( y=\pm\frac{\pi}{2} \)): è un altro modo in cui si manifesta lo scambio tra C.E. e Im.

Arcocotangente

La funzione \( \cot x \) non è definita nei punti \( k\pi \) ed è a sua volta periodica. La restrizione più comoda è l'intervallo aperto \( (0,\pi) \), dove la cotangente è strettamente decrescente e assume tutti i valori reali.

Si chiama arcocotangente la funzione inversa:

• \( \cot x \) (ristretta): \( \text{C.E.}=(0,\pi) \), \( \text{Im}=\mathbb{R} \)
• \( \text{arccot}\,x \): \( \text{C.E.}=\mathbb{R} \), \( \text{Im}=(0,\pi) \)

Anche qui gli asintoti verticali della cotangente ristretta (\( x=0 \) e \( x=\pi \)) diventano gli asintoti orizzontali dell'arcocotangente (\( y=0 \) e \( y=\pi \)).

Esempi: il campo di esistenza delle funzioni goniometriche inverse

Un punto in cui capita spesso di confondersi: solo arcoseno e arcocoseno richiedono che il loro argomento sia compreso tra \( -1 \) e \( 1 \). Arcotangente e arcocotangente, invece, sono definite per qualsiasi valore reale del loro argomento (guardando i grafici della Sezione 7: il C.E. di \( \arctan x \) e di \( \text{arccot}\,x \) è tutto \( \mathbb{R} \)) — quindi il loro C.E. dipende solo da eventuali altre condizioni presenti nell'argomento (radicali, denominatori, ecc.), mai da un vincolo tipo "compreso tra \( -1 \) e \( 1 \)".

Nella Sezione 6 abbiamo visto cosa vuol dire che una funzione è invertibile (essere biunivoca, cioè iniettiva e con codominio coincidente con l'immagine) e la sua proprietà grafica (simmetria rispetto a \( y=x \)). Qui vediamo come si dimostra se una funzione è invertibile e, in caso affermativo, come si trova la sua funzione inversa.

Esempio 4 — \( f(x)=x^2-4x+3 \)

a) Dimostra che \( f \) non è invertibile in tutto il suo dominio \( \mathbb{R} \).

\( f \) è una parabola, quindi non è iniettiva su \( \mathbb{R} \): basta un controesempio. Ricordando la Sezione 3, i suoi zeri sono \( x=1 \) e \( x=3 \):

\[ f(1) = 1-4+3 = 0 \qquad\qquad f(3) = 9-12+3 = 0 \]

Quindi \( f(1)=f(3)=0 \), pur essendo \( 1\neq3 \): \( f \) non è iniettiva, dunque non è invertibile su tutto \( \mathbb{R} \).

b) Dimostra che \( f \), ristretta all'intervallo \( [2,+\infty) \), è invertibile, e determinane l'inversa.

Iniettività: il vertice della parabola è in \( x=2 \); sull'intervallo \( [2,+\infty) \), cioè a destra del vertice, \( f \) è strettamente crescente, dunque iniettiva.

Immagine: il vertice è in \( (2,-1) \); da lì in poi la funzione cresce sempre, assumendo tutti i valori a partire da \( -1 \) in su, senza alcun valore massimo: \( \text{Im}(f)=[-1,+\infty) \).

Essendo iniettiva e con \( \text{Im}(f)=[-1,+\infty) \) come codominio, \( f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty) \) è biunivoca, dunque invertibile.

Determinazione dell'inversa — completiamo il quadrato:

\[ y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1 \;\Longrightarrow\; (x-2)^2=y+1 \;\Longrightarrow\; \] \[x-2=\pm\sqrt{y+1} \]

Poiché \( x\geq2 \), scegliamo la radice positiva:

\[ x = 2+\sqrt{y+1} \qquad\Longrightarrow\qquad f^{-1}(y)=2+\sqrt{y+1}, \quad y\geq-1 \]

(Verifica di coerenza: il C.E. di \( f^{-1} \), cioè \( [-1,+\infty) \), coincide esattamente con \( \text{Im}(f) \), come deve essere per la Sezione 6.)

Esempio 6 (difficile) — funzione definita a tratti

\[ f(x) = \begin{cases} e^x+1 & \text{se } x\leq0 \\ 2x+2 & \text{se } x>0 \end{cases} \]

Perché è invertibile:

Sul primo tratto (\( x\leq0 \)): \( e^x \) è strettamente crescente, quindi anche \( f(x)=e^x+1 \) lo è. Quando \( x \) percorre \( (-\infty,0] \), \( e^x \) assume tutti i valori dell'intervallo \( (0,1] \) (mano a mano che \( x \) diminuisce, \( e^x \) si avvicina sempre più a \( 0 \) senza mai raggiungerlo; in \( x=0 \) vale esattamente \( 1 \)): quindi su questo tratto \( f \) assume tutti i valori di \( (1,2] \).

Sul secondo tratto (\( x>0 \)): \( 2x+2 \) è una retta crescente. Quando \( x \) percorre \( (0,+\infty) \), \( 2x+2 \) assume tutti i valori di \( (2,+\infty) \) (per \( x \) vicino a \( 0 \), \( 2x+2 \) è vicino a \( 2 \) senza mai raggiungerlo dato che \( x>0 \) è un vincolo stretto; crescendo \( x \), cresce senza limite anche \( 2x+2 \)).

I due tratti sono entrambi strettamente crescenti, si "raccordano" con continuità in \( x=0 \) (dove il primo tratto vale esattamente \( 2 \), e il secondo si avvicina a \( 2 \) man mano che \( x \) si avvicina a \( 0 \) da destra), e le loro immagini, \( (1,2] \) e \( (2,+\infty) \), non si sovrappongono: l'intera funzione \( f \) è quindi strettamente crescente su tutto \( \mathbb{R} \), dunque iniettiva. Il codominio naturale è \( \text{Im}(f)=(1,+\infty) \) (unione dei due intervalli), quindi \( f \) è invertibile.

Determinazione dell'inversa — si inverte ciascun tratto separatamente, prestando attenzione a quale intervallo di \( y \) corrisponde a ciascuno:

Primo tratto (\( y\in(1,2] \), corrispondente a \( x\leq0 \)): da \( y=e^x+1 \):

\[ y-1=e^x \;\Longrightarrow\; x=\ln(y-1) \]

Secondo tratto (\( y\in(2,+\infty) \), corrispondente a \( x>0 \)): da \( y=2x+2 \):

\[ x=\frac{y-2}{2} \]

Scambiando \( x \) e \( y \), la funzione inversa è quindi anch'essa definita a tratti:

\[ f^{-1}(x) = \begin{cases} \ln(x-1) & \text{se } 1<x\leq2 \\[4pt] \dfrac{x-2}{2} & \text{se } x>2 \end{cases} \]

Definizioni

Sia \( f \) definita su un intervallo \( I \) (contenuto nel C.E.). \( f \) si dice:

• crescente (in senso stretto) su \( I \) se, per ogni \( x_1,x_2\in I \): \[ x_1<x_2 \;\Longrightarrow\; f(x_1)<f(x_2) \]
• decrescente (in senso stretto) su \( I \) se, per ogni \( x_1,x_2\in I \): \[ x_1<x_2 \;\Longrightarrow\; f(x_1)>f(x_2) \]
• monotona su \( I \) se è crescente su \( I \) oppure decrescente su \( I \) (cioè se rispetta una delle due condizioni sopra su tutto l'intervallo).

(Esistono anche le versioni "in senso largo" — non decrescente/non crescente, con \( \leq \) e \( \geq \) al posto di \( < \) e \( > \) — che ammettono tratti costanti; nei nostri esempi considereremo sempre il senso stretto.)

Una funzione può essere monotona su un sottointervallo del suo C.E. senza esserlo sull'intero C.E.: è esattamente il caso, già incontrato più volte nelle Sezioni 6, 7 e 8, delle funzioni che vanno "ristrette" per diventare iniettive (una funzione strettamente monotona su un intervallo è automaticamente iniettiva su quell'intervallo, perché valori diversi di \( x \) non possono mai dare lo stesso \( f(x) \)).

Esempi introduttivi

Dimostrare la monotonia algebricamente

Per dimostrare che una funzione è crescente (o decrescente) su un intervallo \( I \), si procede così: si prendono due generici \( x_1,x_2\in I \) con \( x_1<x_2 \), si calcola la differenza \( f(x_2)-f(x_1) \) e si studia il suo segno:

• se si riesce a dimostrare che \( f(x_2)-f(x_1)>0 \) sempre (per ogni \( x_1<x_2 \) in \( I \)), allora \( f \) è crescente su \( I \);
• se invece \( f(x_2)-f(x_1)<0 \) sempre, allora \( f \) è decrescente su \( I \).

Esempio 2 — \( f(x)=\dfrac{1}{x} \) è decrescente su \( (0,+\infty) \)

Presi \( x_1<x_2 \) in \( (0,+\infty) \), calcoliamo \( f(x_1)-f(x_2) \) (conviene, per verificare direttamente la decrescenza):

\[ f(x_1)-f(x_2) = \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1 x_2} \]

Al numeratore, \( x_2-x_1>0 \) (perché \( x_1<x_2 \)); al denominatore, \( x_1x_2>0 \) (perché entrambi positivi, essendo \( x_1,x_2\in(0,+\infty) \)). Quindi tutta la frazione è positiva:

\[ f(x_1)-f(x_2) > 0 \;\Longrightarrow\; f(x_1)>f(x_2) \]

Essendo \( x_1<x_2 \) ma \( f(x_1)>f(x_2) \), la funzione è decrescente su \( (0,+\infty) \).

Definizione

Una funzione \( y=f(x) \) si dice periodica di periodo \( T \) se \( T \) è il più piccolo numero reale positivo per il quale risulti:

Una proprietà: \( f(x)=f(x+kT) \) per ogni \( k\in\mathbb{Z} \)

Se \( f \) è periodica di periodo \( T \), applicando ripetutamente la definizione si ottiene lo stesso valore spostandosi di un qualunque multiplo intero di \( T \), non solo di un singolo periodo. Dimostriamolo per i \( k \) positivi, per induzione:

Base (\( k=1 \)): \( f(x+T)=f(x) \) è proprio la definizione.

Passo induttivo: supponiamo vero \( f(x+kT)=f(x) \) per un certo \( k\geq1 \), e dimostriamo che vale anche per \( k+1 \). Applichiamo la definizione, questa volta al punto \( x+kT \) al posto di \( x \):

cioè \( f(x+(k+1)T)=f(x+kT) \). Per l'ipotesi induttiva, \( f(x+kT)=f(x) \); quindi \( f(x+(k+1)T)=f(x) \), che è proprio quanto volevamo dimostrare.

Per i \( k \) negativi si procede in modo analogo: dalla definizione, ponendo \( x'=x-T \), si ottiene \( f(x'+T)=f(x') \), cioè \( f(x)=f(x-T) \); da qui si estende per induzione a tutti i multipli negativi. In conclusione:

Periodi delle funzioni goniometriche di base

Proprietà: il periodo di \( f(ax) \)

Se \( f(x) \) ha periodo \( T \), e \( a>0 \), allora \( f(ax) \) ha periodo:

Dimostrazione — poniamo \( g(x)=f(ax) \) e verifichiamo che \( g\left(x+\frac{T}{a}\right)=g(x) \):

(nel terzo passaggio abbiamo usato il fatto che \( T \) è periodo di \( f \)). Quindi \( \frac{T}{a} \) è un periodo di \( g \). Si può inoltre far vedere che è il più piccolo: se \( g \) avesse un periodo più piccolo \( T'' < \frac{T}{a} \), allora, ripercorrendo lo stesso calcolo al contrario, \( f \) avrebbe un periodo \( a\,T'' < T \), il che contraddice l'ipotesi che \( T \) sia il periodo (minimo) di \( f \).

Un esempio di periodicità non trigonometrica: la parte frazionaria

Tutti gli esempi visti finora hanno periodo legato a \( \pi \), perché derivano da funzioni goniometriche. La periodicità, però, è un concetto molto più generale. Un esempio classico: la parte frazionaria (o mantissa) di \( x \), indicata con \( \text{mant}(x) \) e definita come

\[ f(x) = \text{mant}(x) = x - [x] \]

dove \( [x] \) indica la parte intera di \( x \) (il più grande intero minore o uguale a \( x \): ad esempio \( [3{,}7]=3 \), \( [-0{,}4]=-1 \); in altri contesti si trovano anche i simboli \( \lfloor x\rfloor \) o \( \text{floor}(x) \), con lo stesso significato). Dimostriamo, dalla definizione, che \( f \) ha periodo \( T=1 \).

Verifichiamo \( f(x+1)=f(x) \), usando la proprietà della parte intera \( [x+1]=[x]+1 \) (aggiungere un'unità intera a \( x \) aggiunge esattamente un'unità anche alla sua parte intera):

\[ f(x+1) = (x+1)-[x+1] = (x+1)-([x]+1) = x-[x] = f(x) \]

\( T=1 \) è quindi un periodo di \( f \). È anche il più piccolo: come si vede dal grafico, tra due interi consecutivi \( f \) non è mai costante (cresce linearmente da \( 0 \) a \( 1 \)), quindi nessun \( T'<1 \) potrebbe soddisfare la definizione su tutto il C.E.

Proprietà: il periodo della somma (o del prodotto) di due funzioni periodiche

Capita spesso di dover trovare il periodo di una funzione ottenuta sommando (o moltiplicando) due funzioni periodiche diverse, come \( \sin(3x)+\cos(2x) \). In questo caso vale la seguente proprietà:

Perché funziona così (idea della dimostrazione): per la proprietà \( f(x)=f(x+kT) \) vista sopra, \( f_1 \) ripete i propri valori a ogni multiplo intero di \( T_1 \), e \( f_2 \) a ogni multiplo intero di \( T_2 \). La somma \( f_1+f_2 \) torna a ripetersi esattamente nei punti in cui entrambe le funzioni hanno completato un numero intero di periodi contemporaneamente — cioè nei multipli comuni di \( T_1 \) e \( T_2 \). Il più piccolo di questi multipli comuni è, per definizione, il minimo comune multiplo.

Come calcolarlo quando \( T_1 \) e \( T_2 \) non sono interi (il caso più frequente, con multipli di \( \pi \)): si scrivono entrambi i periodi come multipli interi di una stessa "unità" comune, poi si calcola il m.c.m. tra i due numeri interi ottenuti.

Esempi: trovare il periodo, o dimostrarlo dalla definizione

Componibilità

Due funzioni \( f \) e \( g \) si dicono componibili (nell'ordine \( f\circ g \)) se l'intersezione fra l'immagine di \( g \) e il C.E. di \( f \) non è vuota. Detto in altre parole: preso un \( x \) nel C.E. di \( g \), l'immagine \( g(x) \) deve appartenere al C.E. di \( f \), per almeno alcuni valori di \( x \).

Funzione composta

Date due funzioni \( f \) e \( g \), componibili (nell'ordine \( f\circ g \)), si chiama funzione composta di \( f \) con \( g \) (e si indica con \( f\circ g \) oppure \( f[g(x)] \)) la funzione che associa agli elementi \( x \) del C.E. di \( g \) con immagine \( g(x) \) nel C.E. di \( f \), l'elemento \( f[g(x)] \).

Esempio algebrico

Consideriamo \( f(x)=\ln(1-x) \) e \( g(x)=\sqrt{x+1} \).

Verifica della componibilità (per \( f\circ g \)):

• \( \text{C.E.}(f) \): deve essere \( 1-x>0 \), cioè \( x<1 \); quindi \( \text{C.E.}(f)=(-\infty,1) \), e \( \text{Im}(f)=\mathbb{R} \) (il logaritmo assume tutti i valori reali).
• \( \text{C.E.}(g) \): deve essere \( x+1\geq0 \), cioè \( x\geq-1 \); quindi \( \text{C.E.}(g)=[-1,+\infty) \), e \( \text{Im}(g)=[0,+\infty) \) (una radice quadrata è sempre \( \geq0 \)).

Intersecando \( \text{Im}(g)=[0,+\infty) \) con \( \text{C.E.}(f)=(-\infty,1) \) si ottiene \( [0,1) \), non vuoto: \( f \) e \( g \) sono componibili (nell'ordine \( f\circ g \)).

Determinazione di \( f\circ g \) — possiamo procedere in due modi, del tutto equivalenti.

Modo 1 — sostituzione diretta:

Modo 2 — schema "a catena" (spesso più immediato visivamente: si segue \( x \) attraverso \( g \), fino a \( z=g(x) \), e poi attraverso \( f \)):

Campo di esistenza della funzione composta — attenzione: non basta l'intersezione \( [0,1) \) trovata sopra (quella serve solo a stabilire se \( f \) e \( g \) sono componibili). Il C.E. esatto di \( f\circ g \) va determinato imponendo entrambe le condizioni sulla variabile \( x \): che \( x \) stia nel C.E. di \( g \), e che \( g(x) \) stia nel C.E. di \( f \):

Dalla seconda condizione, elevando al quadrato entrambi i membri (lecito, sono entrambi non negativi):

Mettendo a sistema con \( x\geq-1 \):