Test 1 sui Limiti con Forme Indeterminate
(senza limiti notevoli)

Risposta corretta: B) \(4\)

Sostituendo \(x=2\) si ottiene \(\dfrac00\): forma indeterminata. Scomponiamo il numeratore, che è una differenza di quadrati:

\[ \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \]

Semplificando il fattore \(x-2\) rimane \(x+2\), quindi:

\[ \lim_{x\to2}(x+2)=4 \]

Risposta corretta: D) \(\dfrac12\)

Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\): forma indeterminata. Razionalizziamo il numeratore, moltiplicando numeratore e denominatore per \(\sqrt{x+1}+1\):

\[ \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x\,(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{(x+1)-1}{x\,(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{x}{x\,(\sqrt{x+1}+1)} \]

Semplificando \(x\):

\[ \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \]

Ora possiamo sostituire \(x=0\):

\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac12 \]

Risposta corretta: A) \(3\)

Il limite si presenta nella forma \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Mettiamo in evidenza \(x^2\) al numeratore e al denominatore:

\[ \frac{x^2\left(3-\frac{2}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{5}{x^2}\right)}=\frac{3-\frac{2}{x}}{1+\frac{5}{x^2}} \]

Per \(x\to+\infty\) si ha \(\dfrac{2}{x}\to0\) e \(\dfrac{5}{x^2}\to0\), quindi:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3-\frac{2}{x}}{1+\frac{5}{x^2}}=\frac{3-0}{1+0}=3 \]

Risposta corretta: C) \(0\)

Il limite si presenta nella forma \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Il numeratore ha grado \(3\) e il denominatore ha grado \(4\). Dividiamo numeratore e denominatore per \(x^4\):

\[ \frac{2x^3-5x+1}{x^4-3x^2}=\frac{\frac{2}{x}-\frac{5}{x^3}+\frac{1}{x^4}}{1-\frac{3}{x^2}} \]

Per \(x\to+\infty\) tutti i termini con \(x\) al denominatore tendono a \(0\):

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2}{x}-\frac{5}{x^3}+\frac{1}{x^4}}{1-\frac{3}{x^2}}=\frac{0-0+0}{1-0}=0 \]

Risposta corretta: D) \(6\)

Sostituendo \(x=3\) si ottiene \(\dfrac00\): forma indeterminata. Scomponiamo il numeratore:

\[ \frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \]

Semplificando il fattore \(x-3\) rimane \(x+3\), quindi:

\[ \lim_{x\to3}(x+3)=6 \]

Risposta corretta: B) \(\dfrac{1}{2\sqrt2}\)

Sostituendo \(x=2\) si ottiene \(\dfrac00\): forma indeterminata. Razionalizziamo il numeratore, moltiplicando numeratore e denominatore per \(\sqrt{x}+\sqrt{2}\):

\[ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}=\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} \]

Semplificando \(x-2\):

\[ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} \]

Ora possiamo sostituire \(x=2\):

\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}} \]

Risposta corretta: C) \(\infty\) (infinito senza segno)

Il numeratore tende a \(1\) e il denominatore tende a \(0\): il limite ha la forma \(\dfrac10\), che non è una forma indeterminata. Studiamo i limiti da destra e da sinistra:

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty \]

I due limiti laterali sono diversi, quindi il limite non è né \(+\infty\) né \(-\infty\). Però \(\left|\dfrac1x\right|\) diventa grande a piacere da entrambi i lati: nel senso dell'infinito senza segno il limite è \(\infty\).

\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty \]

Risposta corretta: A) \(\infty\) (infinito senza segno)

Scomponiamo il denominatore: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Per \(x\to1\) il numeratore tende a \(1\) e il denominatore tende a \(0\): il limite ha la forma \(\dfrac10\), che non è una forma indeterminata. Studiamo il segno del denominatore vicino a \(1\):

• per \(x\to1^+\): \(x-1>0\) e \(x+1>0\), quindi il denominatore tende a \(0\) da valori positivi e \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x^2-1}=+\infty\);
• per \(x\to1^-\): \(x-1<0\) e \(x+1>0\), quindi il denominatore tende a \(0\) da valori negativi e \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x^2-1}=-\infty\).

I limiti laterali sono diversi, quindi il limite non è né \(+\infty\) né \(-\infty\). Poiché il valore assoluto della funzione diventa grande a piacere, nel senso dell'infinito senza segno il limite è \(\infty\).

\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x^2-1}=\infty \]

Risposta corretta: B) \(\dfrac32\)

Il limite si presenta nella forma \(+\infty-\infty\): forma indeterminata. Razionalizziamo, moltiplicando e dividendo per \(\sqrt{x^2+3x}+x\):

\[ \sqrt{x^2+3x}-x=\frac{\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right)}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} \]

Per \(x>0\) si ha \(\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+\dfrac{3}{x}}\). Mettendo in evidenza \(x\) al denominatore:

\[ \frac{3x}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} \]

Per \(x\to+\infty\) si ha \(\dfrac{3}{x}\to0\), quindi:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}=\frac{3}{1+1}=\frac32 \]

Risposta corretta: D) \(0\)

Il limite si presenta nella forma \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Dobbiamo confrontare l'infinito del numeratore (una potenza) con quello del denominatore (un esponenziale).

Per \(x\to+\infty\) un esponenziale \(e^{ax}\) con \(a>0\) domina su qualsiasi potenza \(x^b\) con \(b>0\): il suo grafico cresce molto più rapidamente. Ad esempio, per \(x=20\) si ha \(x^3=8000\), mentre \(e^{x}\approx4{,}85\cdot10^{8}\).

Quindi il denominatore cresce molto più rapidamente del numeratore e il rapporto tende a zero:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{e^x}=0 \]