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QUESTIONARIO SUI LIMITI NOTEVOLI
(Versione DSA)
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In ogni quesito calcola il limite usando i limiti notevoli: riconosci prima la forma indeterminata, riscrivi l'espressione per far comparire il limite notevole adatto, poi applicalo.
Quesito 1
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{e^{x^2}-1}\]
Soluzione del quesito 1
Forma indeterminata
Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\).
Riscrittura
Moltiplichiamo e dividiamo per \(x^2\), per isolare due limiti notevoli:
\[ \frac{1-\cos x}{e^{x^2}-1}=\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{x^2}{e^{x^2}-1} \]Applicazione dei limiti notevoli
Il primo fattore è direttamente il limite notevole \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\). Nel secondo fattore poniamo \(t=x^2\) (con \(t\to0\) per \(x\to0\)): \(\displaystyle\frac{x^2}{e^{x^2}-1}=\frac{t}{e^{t}-1}\), il reciproco del limite notevole \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1\), quindi tende anch'esso a \(1\).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{e^{x^2}-1}=\frac12\cdot1=\frac12 \]Quesito 2
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x^2)}{\tan^2(x)}\]
Soluzione del quesito 2
Forma indeterminata
Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\).
Riscrittura
Moltiplichiamo e dividiamo opportunamente per far comparire due limiti notevoli:
\[ \frac{\ln(1+4x^2)}{\tan^2(x)}=\frac{\ln(1+4x^2)}{4x^2}\cdot4\cdot\frac{x^2}{\tan^2x} \]Applicazione dei limiti notevoli
Ponendo \(t=4x^2\) (con \(t\to0\)): \(\displaystyle\frac{\ln(1+4x^2)}{4x^2}=\frac{\ln(1+t)}{t}\to1\), per il limite notevole del logaritmo. Il terzo fattore è il reciproco del limite notevole della tangente, \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1\), quindi \(\displaystyle\frac{x^2}{\tan^2x}=\left(\frac{x}{\tan x}\right)^{2}\to1\).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x^2)}{\tan^2(x)}=1\cdot4\cdot1=4 \]Quesito 3
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}\]
Soluzione del quesito 3
Forma indeterminata
Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\).
Riscrittura
Scriviamo \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) e raccogliamo \(\sin x\) a fattore comune:
\[ \sin x-\tan x=\sin x\left(1-\frac{1}{\cos x}\right)=\sin x\cdot\frac{\cos x-1}{\cos x} \]quindi:
\[ \frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\cos x-1}{x^2}\cdot\frac{1}{\cos x} \]Applicazione dei limiti notevoli
Il primo fattore tende a \(1\) (limite notevole del seno). Il secondo fattore è l'opposto del limite notevole del coseno, \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\), quindi \(\displaystyle\frac{\cos x-1}{x^2}\to-\frac12\). Il terzo fattore tende a \(1\), perché \(\cos0=1\).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=1\cdot\left(-\frac12\right)\cdot1=-\frac12 \]Quesito 4
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}\]
Soluzione del quesito 4
Forma indeterminata
Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\).
Riscrittura
Moltiplichiamo e dividiamo per \(x\):
\[ \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}=\frac{2^x-1}{x}\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x}-1} \]Applicazione dei limiti notevoli
Il primo fattore è il limite notevole dell'esponenziale, \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}=\ln2\). Il secondo fattore è il reciproco del limite notevole della potenza \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha\), qui con \(\alpha=\dfrac12\) (poiché \(\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}\)): quindi \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x}-1}\to\dfrac{1}{1/2}=2\).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}=\ln2\cdot2=2\ln2 \]Quesito 5
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to+\infty}x^2\,\sin\frac{1}{x}\left(e^{1/x}-1\right)\]
Soluzione del quesito 5
Forma indeterminata
Per \( x\to+\infty \) si ha \( x^2\to+\infty \), mentre \( \sin\dfrac1x\to0 \) e \( e^{1/x}-1\to0 \): è una forma indeterminata del tipo \( \infty\cdot0\cdot0 \).
Sostituzione
Poniamo \( t=\dfrac1x \): se \( x\to+\infty \), allora \( t\to0^+ \), e \( x^2=\dfrac{1}{t^2} \). L'espressione diventa:
\[ \frac{\sin t\,\left(e^{t}-1\right)}{t^2} \]Riscrittura per isolare i limiti notevoli
Dividiamo il denominatore \( t^2 \) fra i due fattori del numeratore:
\[ \frac{\sin t\,\left(e^{t}-1\right)}{t^2}=\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{e^{t}-1}{t} \]Applicazione dei limiti notevoli
Per \( t\to0^+ \) il primo fattore tende a \( 1 \) (limite notevole del seno) e il secondo tende a \( 1 \) (limite notevole dell'esponenziale).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2\,\sin\frac{1}{x}\left(e^{1/x}-1\right)=\lim_{t\to0^+}\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{e^{t}-1}{t}=1\cdot1=1 \]Quesito 6
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos(\sqrt x)}{x}\]
Soluzione del quesito 6
Forma indeterminata
Per \(x\to0^+\) (il dominio richiede \(x\ge0\)) si ottiene \(\dfrac00\).
Sostituzione
Osserviamo che \(x=\left(\sqrt x\right)^2\), quindi il limite ha già la struttura del limite notevole del coseno, nella variabile \(\sqrt x\). Poniamo \(t=\sqrt x\): per \(x\to0^+\) risulta \(t\to0^+\), e:
\[ \frac{1-\cos(\sqrt x)}{x}=\frac{1-\cos t}{t^2} \]Applicazione del limite notevole
Riconosciamo il limite notevole \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12\).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos(\sqrt x)}{x}=\lim_{t\to0^+}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12 \]Quesito 7
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}\]
Soluzione del quesito 7
Forma indeterminata
Per \(x\to+\infty\) la base tende a \(1\) e l'esponente tende a \(+\infty\): è la forma indeterminata \(1^{\infty}\).
Riscrittura per isolare il numero \(e\)
Vogliamo ricondurci al limite notevole di Nepero \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac1t\right)^{t}=e\), con \(t=2x\). Scriviamo l'esponente \(3x\) come \(2x\) moltiplicato per \(\dfrac{3x}{2x}=\dfrac32\):
\[ \left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}=\left[\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{3/2} \]Calcolo del limite
Per \(x\to+\infty\) si ha anche \(2x\to+\infty\), quindi la base in parentesi quadra tende al numero di Nepero \(e\):
\[ \lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{3/2}=e^{3/2} \]Quesito 8
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{\arcsin(x)}{e^{2x}-1}\]
Soluzione del quesito 8
Forma indeterminata
Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\).
Riscrittura
Moltiplichiamo e dividiamo per \(x\) (e per un \(2\) che tornerà comodo):
\[ \frac{\arcsin(x)}{e^{2x}-1}=\frac{\arcsin(x)}{x}\cdot\frac12\cdot\frac{2x}{e^{2x}-1} \]I due limiti notevoli
Il limite notevole \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1\) si dimostra ponendo \(t=\arcsin x\) (da cui \(x=\sin t\), con \(t\to0\)): il rapporto diventa \(\displaystyle\frac{t}{\sin t}\), reciproco del limite notevole del seno, quindi tende a \(1\). Nel terzo fattore poniamo \(u=2x\) (con \(u\to0\)): \(\displaystyle\frac{2x}{e^{2x}-1}=\frac{u}{e^u-1}\), reciproco del limite notevole dell'esponenziale, quindi tende anch'esso a \(1\).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\arcsin(x)}{e^{2x}-1}=1\cdot\frac12\cdot1=\frac12 \]Quesito 9
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}\]
Soluzione del quesito 9
Forma indeterminata
Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\) (infatti \(\cos0=1\) e \(\ln1=0\)).
Riscrittura
Scriviamo \(\cos x=1+(\cos x-1)\) e poniamo \(t=\cos x-1\) (con \(t\to0\) per \(x\to0\)):
\[ \frac{\ln(\cos x)}{x^2}=\frac{\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)}{\cos x-1}\cdot\frac{\cos x-1}{x^2}=\frac{\ln(1+t)}{t}\cdot\frac{\cos x-1}{x^2} \]Applicazione dei limiti notevoli
Il primo fattore è il limite notevole del logaritmo, che tende a \(1\). Il secondo fattore è l'opposto del limite notevole del coseno, \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\), quindi \(\displaystyle\frac{\cos x-1}{x^2}\to-\frac12\).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}=1\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac12 \]Quesito 10
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+\sin x}-1}{x}\]
Soluzione del quesito 10
Forma indeterminata
Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\).
Riscrittura
Moltiplichiamo e dividiamo per \(\sin x\):
\[ \frac{\sqrt[3]{1+\sin x}-1}{x}=\frac{(1+\sin x)^{1/3}-1}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x} \]Applicazione dei limiti notevoli
Nel primo fattore poniamo \(t=\sin x\) (con \(t\to0\)): otteniamo il limite notevole della potenza \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{(1+t)^\alpha-1}{t}=\alpha\), con \(\alpha=\dfrac13\), che tende quindi a \(\dfrac13\). Il secondo fattore è il limite notevole del seno, che tende a \(1\).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+\sin x}-1}{x}=\frac13\cdot1=\frac13 \]