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Liceo Scientifico classe quinta - 26 Maggio 1987

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Argomenti: Studio di funzione polinomiale, Problemi di massimo, Scatola di capacità massima, Calcolo integrale, Area tra curve, Simmetria centrale, Simmetria di funzioni cubiche, Studio di funzione fratta, Asintoti verticali e obliqui, Traslazione di funzioni, Area delimitata da asintoto, Volume di solidi di rotazione, Metodo dei gusci cilindrici, Grafico della derivata di una funzione.

📚 Versione Standard

Esercizio 1

È dato un foglio rettangolare di dimensioni \( a = 2 \) e \( b = 4 \).

a) Come ritagliare ai suoi vertici quattro quadrati uguali in modo da ottenere una scatola (senza coperchio) di capacità massima?

b) Indicato con \( x \) il lato del generico quadrato che si può ritagliare e con \( y \) la capacità della scatola corrispondente, trovare l'equazione della funzione \( y = f(x) \) e studiarla a prescindere dai limiti geometrici di \( x \) e mettere poi in evidenza la parte del grafico che soddisfa i limiti geometrici.

c) Calcolare l'area della regione \( S \) compresa tra il grafico della funzione e le tangenti ad esso nell'origine degli assi e nel punto di flesso \( F \).

d) Dimostrare che \( f \) è simmetrica rispetto al suo punto di flesso \( F \) dopo aver scritto le equazioni della simmetria di centro \( F \).

Punto a) Scatola di capacità massima

Ritagliando quattro quadrati uguali di lato \( x \) dai vertici del foglio rettangolare, otteniamo una scatola con:

  • Base di dimensioni: \( (2 - 2x) \times (4 - 2x) \)
  • Altezza: \( x \)
Schema della scatola Schema del ritaglio dei quadrati ai vertici del foglio rettangolare

Il volume (capacità) della scatola è:

\[ V(x) = x \cdot (2 - 2x) \cdot (4 - 2x) = 4x(1 - x)(2 - x) \] \[ V(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x \]

Per trovare il massimo, calcoliamo la derivata prima:

\[ V'(x) = 12x^2 - 24x + 8 = 4(3x^2 - 6x + 2) \]

Ponendo \( V'(x) = 0 \):

\[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Le soluzioni sono:

  • \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}423 \)
  • \( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}577 \)

Considerando i limiti geometrici \( 0 < x < 1 \), solo \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) è accettabile.

Studiamo il segno della derivata prima:

  • \( V'(x) > 0 \) per \( x < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) o \( x > 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) (funzione crescente)
  • \( V'(x) < 0 \) per \( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} < x < 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) (funzione decrescente)

Poiché la funzione passa da crescente a decrescente in \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \), questo punto è un massimo relativo.

Conclusione: Per ottenere la scatola di capacità massima, si devono ritagliare quattro quadrati di lato \[ x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}423 \text{ unità} \]

Punto b) Studio della funzione \( y = f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x \)

1. Dominio:

\( D = \mathbb{R} \) (funzione polinomiale)

2. Intersezioni con gli assi:

  • Asse \( y \): \( f(0) = 0 \). Punto \( O(0, 0) \)
  • Asse \( x \): \( f(x) = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 3x + 2) = 0 \Rightarrow x(x - 1)(x - 2) = 0 \)
    Soluzioni: \( x = 0, x = 1, x = 2 \)

3. Segno della funzione:

Studiamo il segno di \( f(x) = 4x(x - 1)(x - 2) \):

  • \( f(x) > 0 \) per \( 0 < x < 1 \) e \( x > 2 \)
  • \( f(x) < 0 \) per \( x < 0 \) e \( 1 < x < 2 \)

4. Derivata prima (monotonia):

\[ f'(x) = 12x^2 - 24x + 8 = 4(3x^2 - 6x + 2) \]

Punti critici:

  • \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}423 \) (massimo relativo)
  • \( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}577 \) (minimo relativo)

Valori della funzione nei punti critici:

  • \( f(x_1) \approx 1{,}54 \)
  • \( f(x_2) \approx -1{,}54 \)

5. Derivata seconda (concavità e flessi):

\[ f''(x) = 24x - 24 = 24(x - 1) \]

Punto di flesso: \( x = 1 \Rightarrow F(1, 0) \)

  • Concava verso il basso per \( x < 1 \) (dove \( f''(x) < 0 \))
  • Concava verso l'alto per \( x > 1 \) (dove \( f''(x) > 0 \))

6. Limiti agli estremi ed asintoti:

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \] \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]
La funzione non presenta asintoti verticali (essendo definita su tutto \( \mathbb{R} \)) né asintoti orizzontali (i limiti agli estremi sono infiniti). Non esistono asintoti obliqui poiché il grado del polinomio è 3.
Grafico completo della funzione Grafico completo di \( f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x \). La parte in verde evidenzia il tratto geometricamente significativo \( 0 \leq x \leq 1 \) per il problema della scatola.

Punto c) Area della regione \( S \)

Regione S tra il grafico e le tangenti La regione \( S \) (area colorata) compresa tra il grafico di \( f(x) \) e le tangenti in \( O \) e in \( F \).

Tangente nell'origine \( O(0, 0) \):

\( f'(0) = 8 \), quindi: \( t_O: y = 8x \)

Tangente nel punto di flesso \( F(1, 0) \):

\( f'(1) = 12 - 24 + 8 = -4 \), quindi: \( t_F: y - 0 = -4(x - 1) \Rightarrow y = -4x + 4 \)

Intersezione delle due tangenti:

\[ 8x = -4x + 4 \Rightarrow 12x = 4 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \] \[ y = 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \]

Punto di intersezione: \( P\left(\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right) \)

Calcolo dell'area:

L'area \( S \) si calcola come somma di due integrali:

Area \( S_1 \) tra \( f(x) \) e \( t_O \) da \( x = 0 \) a \( x = \frac{1}{3} \):

\[ S_1 = \int_0^{1/3} [8x - (4x^3 - 12x^2 + 8x)] \, dx = \int_0^{1/3} (-4x^3 + 12x^2) \, dx \] \[ S_1 = \left[ -x^4 + 4x^3 \right]_0^{1/3} = -\frac{1}{81} + \frac{4}{27} = \frac{11}{81} \]

Area \( S_2 \) tra \( t_F \) e \( f(x) \) da \( x = \frac{1}{3} \) a \( x = 1 \):

\[ S_2 = \int_{1/3}^1 [(-4x + 4) - (4x^3 - 12x^2 + 8x)] \, dx \] \[ S_2 = \int_{1/3}^1 (-4x^3 + 12x^2 - 12x + 4) \, dx \] \[ S_2 = \left[ -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x \right]_{1/3}^1 = \frac{16}{81} \]
Area totale: \[ S = S_1 + S_2 = \frac{11}{81} + \frac{16}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \text{ unità quadrate} \]

Punto d) Simmetria rispetto al punto di flesso \( F \)

Il punto di flesso è \( F(1, 0) \).

Equazioni della simmetria centrale di centro \( F(1, 0) \):

Una simmetria centrale di centro \( (x_F, y_F) \) trasforma un punto \( (x, y) \) nel punto \( (X, Y) \) secondo:

\[ x_F = \frac{x + X}{2} \quad \text{e} \quad y_F = \frac{y + Y}{2} \]

Con \( F(1, 0) \):

\[ 1 = \frac{x + X}{2} \Rightarrow X = 2 - x \] \[ 0 = \frac{y + Y}{2} \Rightarrow Y = -y \]
Equazioni della simmetria: \[ \begin{cases} X = 2 - x \\ Y = -y \end{cases} \]

Verifica che \( f \) è simmetrica rispetto a \( F \):

Dalla simmetria otteniamo: \( x = 2 - X \) e \( y = -Y \)

Sostituendo in \( y = f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x \):

\[ -Y = 4(2 - X)^3 - 12(2 - X)^2 + 8(2 - X) \] \[ -Y = -4X^3 + 12X^2 - 8X \] \[ Y = 4X^3 - 12X^2 + 8X = f(X) \]
Conclusione: La funzione trasformata ha la stessa equazione della funzione originale, quindi \( f \) è simmetrica rispetto al suo punto di flesso \( F(1, 0) \). ✓
Osservazione: Si può dimostrare che tutte le funzioni cubiche sono simmetriche rispetto al loro punto di flesso (che esiste ed è unico per tutte le cubiche).

Esercizio 2

Si consideri la funzione di equazione:

\[ y = f(x) = \frac{x(x+1)}{x-2} \]

a) Studiare dettagliatamente la funzione e tracciare il suo grafico \( g \).

b) Dedurre dal grafico di \( f \) il grafico \( g' \) di \( y = f'(x) \).

c) Verificare che la curva \( g \) è simmetrica rispetto al punto \( S = (2, 6) \). Scrivere le equazioni della traslazione \( T \) che trasforma \( g \) in una curva \( G \) simmetrica rispetto all'origine degli assi cartesiani.

d) Calcolare l'area della regione finita \( S \) delimitata da \( G \), dal suo asintoto obliquo e dalle rette \( x = 2 \) e \( x = 6 \).

e) Calcolare il volume \( V \) del solido ottenuto dalla rotazione di \( S \) attorno all'asse delle ordinate.

Punto a) Studio della funzione \( f(x) = \frac{x(x+1)}{x-2} \)

1. Dominio:

La funzione è definita per \( x \neq 2 \), quindi: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) \]

2. Intersezioni con gli assi:

  • Asse \( y \): \( f(0) = \frac{0 \cdot 1}{0-2} = 0 \). Punto: \( (0, 0) \)
  • Asse \( x \): \( \frac{x(x+1)}{x-2} = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0 \)
    Soluzioni: \( x = 0 \) oppure \( x = -1 \)
    Punti: \( (0, 0) \) e \( (-1, 0) \)

3. Segno della funzione:

  • \( f(x) > 0 \) per \( -1 < x < 0 \) oppure \( x > 2 \)
  • \( f(x) < 0 \) per \( x < -1 \) oppure \( 0 < x < 2 \)

4. Limiti agli estremi ed asintoti:

Limiti agli estremi:

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \] \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]

Asintoto verticale in \( x = 2 \):

\[ \lim_{x \to 2^-} \frac{x(x+1)}{x-2} = \frac{6}{0^-} = -\infty \] \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{x(x+1)}{x-2} = \frac{6}{0^+} = +\infty \]
Asintoto verticale: \( x = 2 \)

Asintoto obliquo:

Eseguiamo la divisione polinomiale:

\[ \frac{x^2 + x}{x - 2} = x + 3 + \frac{6}{x-2} \]
Asintoto obliquo: \( y = x + 3 \)

5. Derivata prima (monotonia):

\[ f'(x) = \frac{(2x+1)(x-2) - x(x+1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x-2)^2} \]

Punti critici:

\[ x^2 - 4x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{6} \]
  • \( x_1 = 2 - \sqrt{6} \approx -0{,}45 \) (massimo relativo)
  • \( x_2 = 2 + \sqrt{6} \approx 4{,}45 \) (minimo relativo)

Valori nei punti critici:

  • \( f(x_1) \approx 0{,}10 \)
  • \( f(x_2) \approx 9{,}90 \)

6. Derivata seconda (concavità):

\[ f''(x) = \frac{12}{(x-2)^3} \]
  • \( f''(x) > 0 \) per \( x > 2 \) (concava verso l'alto)
  • \( f''(x) < 0 \) per \( x < 2 \) (concava verso il basso)

Non ci sono punti di flesso (la derivata seconda non si annulla mai).

Grafico della funzione f(x) Grafico completo di \( f(x) = \frac{x(x+1)}{x-2} \) con asintoti verticale e obliquo, estremi relativi.

Punto b) Grafico di \( y = f'(x) \)

Dal punto a) abbiamo trovato:

\[ f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x-2)^2} \]

Caratteristiche del grafico di \( f'(x) \):

  • Dominio: \( x \neq 2 \)
  • Zeri: \( x = 2 - \sqrt{6} \) e \( x = 2 + \sqrt{6} \)
  • Asintoto verticale: \( x = 2 \) (la derivata tende a \( +\infty \) da entrambi i lati)
  • Asintoto orizzontale: \( y = 1 \) (per \( x \to \pm\infty \))
Grafico della derivata f'(x) Grafico di \( y = f'(x) \) dedotto dal grafico di \( f(x) \).

Punto c) Simmetria rispetto al punto \( S = (2, 6) \) e traslazione

Verifica della simmetria:

Le equazioni della simmetria centrale di centro \( S = (2, 6) \) sono:

\[ \begin{cases} X = 4 - x \\ Y = 12 - y \end{cases} \]

Da cui ricaviamo: \( x = 4 - X \) e \( y = 12 - Y \)

Sostituendo in \( y = f(x) = \frac{x(x+1)}{x-2} \), dopo i calcoli si verifica che \( Y = f(X) \).

Quindi \( g \) è simmetrica rispetto al punto \( S = (2, 6) \). ✓

Traslazione \( T \):

Le equazioni della traslazione che trasforma \( g \) in \( G \) (simmetrica rispetto all'origine) sono: \[ \begin{cases} X = x - 2 \\ Y = y - 6 \end{cases} \]

La funzione \( G \) ha equazione:

\[ Y = X - 1 + \frac{6}{X} \]
Grafico della funzione traslata G Grafico di \( G(X) = X - 1 + \frac{6}{X} \), ottenuto per traslazione.

Punto d) Area della regione \( S \)

La regione \( S \) è delimitata da:

  • La curva \( G: Y = X + \frac{6}{X} \)
  • L'asintoto obliquo \( Y = X \)
  • Le rette verticali \( X = 2 \) e \( X = 6 \)

L'area si calcola come:

\[ Area = \int_2^6 \left| \left(X + \frac{6}{X}\right) - X \right| dX = \int_2^6 \frac{6}{X} \, dX \] \[ Area = \left[ 6 \ln|X| \right]_2^6 = 6 \ln 6 - 6 \ln 2 = 6 \ln 3 \]
Valore esatto: \( Area = 6 \ln 3 \)
Valore approssimato: \( Area \approx 6{,}59 \) unità quadrate
Regione S delimitata La regione \( S \) (area colorata) tra la curva \( G \) e il suo asintoto obliquo.

Punto e) Volume del solido di rotazione

Il volume del solido generato dalla rotazione della regione \( S \) attorno all'asse delle ordinate (asse \( Y \)) si calcola con il metodo dei gusci cilindrici:

\[ V = 2\pi \int_2^6 X \cdot \frac{6}{X} \, dX = 2\pi \int_2^6 6 \, dX \] \[ V = 2\pi \left[ 6X \right]_2^6 = 2\pi \cdot 6 \cdot 4 = 48\pi \]
Valore esatto: \( V = 48\pi \) unità cubiche
Valore approssimato: \( V \approx 150{,}80 \) unità cubiche

Esercizio 3

Si consideri la seguente funzione:

\[ y = f(x) = \frac{3x-2}{\sqrt[3]{x^2-x+1}} \]

a) Si studi la funzione e la si rappresenti graficamente.

b) Trovare l'equazione della generica circonferenza tangente al grafico di \( f \) nel punto \( T \) di ascissa \( x_T = 1 \).

c) Dimostrare che i centri delle suddette circonferenze appartengono tutti ad una retta, di cui si chiede l'equazione.

Punto a) Studio della funzione \( f(x) = \frac{3x-2}{\sqrt[3]{x^2-x+1}} \)

1. Dominio:

Il radicando \( x^2-x+1 \) ha discriminante \( \Delta = -3 < 0 \), dunque è sempre positivo. La funzione è definita su tutto \( \mathbb{R} \): \( D = \mathbb{R} \)

2. Intersezioni con gli assi:

  • Asse \( x \): \( f(x) = 0 \Rightarrow 3x-2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \). Punto: \( A\left(\frac{2}{3}, 0\right) \)
  • Asse \( y \): \( f(0) = \frac{-2}{\sqrt[3]{1}} = -2 \). Punto: \( B(0, -2) \)

3. Simmetrie:

La funzione non è né pari né dispari (\( f(-x) \neq \pm f(x) \))

4. Limiti agli estremi ed asintoti:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x-2}{\sqrt[3]{x^2-x+1}} = +\infty \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{3x-2}{\sqrt[3]{x^2-x+1}} = -\infty \]

Asintoti:

Verifichiamo l'esistenza di asintoti obliqui:

\[ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x-2}{x\sqrt[3]{x^2-x+1}} = 0 \]
Non esistono asintoti orizzontali né obliqui

5. Derivata prima (monotonia):

\[ f'(x) = \frac{3x^2-2x+7}{3(x^2-x+1)^{4/3}} \]

Il numeratore \( 3x^2-2x+7 \) ha discriminante \( \Delta = 4 - 84 = -80 < 0 \), quindi è sempre positivo.

La funzione è sempre crescente su tutto \( \mathbb{R} \) e non presenta punti stazionari

6. Derivata seconda e concavità:

Il calcolo della derivata seconda è laborioso. Osserviamo il comportamento della derivata prima:

\[ \lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2}{3x^{8/3}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^{2/3}} = 0^+ \]

Analisi della concavità:

  • Per \( x \to -\infty \), la pendenza aumenta partendo da zero → concavità verso l'alto (\(\cup\))
  • Per \( x \to +\infty \), la pendenza diminuisce tornando verso zero → concavità verso il basso (\(\cap\))
  • Questa inversione suggerisce la presenza di almeno un punto di flesso
Grafico f(x) esercizio 3 Rappresentazione grafica della funzione \( f(x) = \frac{3x-2}{\sqrt[3]{x^2-x+1}} \)

Punto b) Equazione della generica circonferenza

La circonferenza deve essere tangente in \( T \) alla curva. Il suo centro \( C \) deve trovarsi sulla retta perpendicolare alla tangente nel punto \( T \) (la normale).

1. Coordinate del punto T:

Per \( x_T = 1 \):

\[ f(1) = \frac{3(1)-2}{\sqrt[3]{1-1+1}} = \frac{1}{1} = 1 \]
Il punto di tangenza è \( T(1, 1) \)

2. Coefficiente angolare della normale:

La derivata prima calcolata in \( x=1 \):

\[ f'(1) = \frac{3(1)^2-2(1)+7}{3(1^2-1+1)^{4/3}} = \frac{3-2+7}{3 \cdot 1} = \frac{8}{3} \]

Il coefficiente angolare della normale è l'antireciproco:

\[ m_r = -\frac{3}{8} \]

Equazione della retta normale \( r \):

\[ y - 1 = -\frac{3}{8}(x - 1) \] \[ y = -\frac{3}{8}x + \frac{11}{8} \]

3. Parametrizzazione del centro C:

Sia \( \alpha \) l'ascissa del centro. Poiché \( C \) appartiene alla normale \( r \), le sue coordinate sono:

\[ C\left(\alpha, -\frac{3}{8}\alpha + \frac{11}{8}\right) \]

4. Calcolo del raggio:

Il raggio al quadrato è la distanza \( \overline{CT}^2 \):

\[ R^2 = (\alpha - 1)^2 + \left[ \left( -\frac{3}{8}\alpha + \frac{11}{8} \right) - 1 \right]^2 \] \[ R^2 = (\alpha - 1)^2 + \left( -\frac{3}{8}\alpha + \frac{3}{8} \right)^2 \] \[ R^2 = (\alpha - 1)^2 + \frac{9}{64}(\alpha - 1)^2 = \frac{73}{64}(\alpha - 1)^2 \]
Equazione della generica circonferenza: \[ (x - \alpha)^2 + \left[y - \left(-\frac{3}{8}\alpha + \frac{11}{8}\right)\right]^2 = \frac{73}{64}(\alpha - 1)^2 \]
Dettaglio tangenza in T Circonferenze tangenti al grafico nel punto T
Animazione circonferenze tangenti Animazione della variazione della circonferenza al variare del centro sulla normale

Punto c) Luogo dei centri

Come ricavato nel punto precedente, le coordinate del centro \( C(x_C, y_C) \) sono legate dalla relazione:

\[ y_C = -\frac{3}{8}x_C + \frac{11}{8} \]
Questo dimostra che i centri appartengono tutti alla retta \( r \), che rappresenta la normale al grafico della funzione nel punto di tangenza \( T \).

Equazione della retta: \( y = -\frac{3}{8}x + \frac{11}{8} \)
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