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Argomenti: Studio di funzione polinomiale, Problemi di massimo, Scatola di capacità massima, Calcolo integrale,
Area tra curve, Simmetria centrale, Simmetria di funzioni cubiche, Studio di funzione fratta, Asintoti verticali e obliqui,
Traslazione di funzioni, Area delimitata da asintoto, Volume di solidi di rotazione, Metodo dei gusci cilindrici,
Grafico della derivata di una funzione.
È dato un foglio rettangolare di dimensioni \( a = 2 \) e \( b = 4 \).
a) Come ritagliare ai suoi vertici quattro quadrati uguali in modo da ottenere una scatola (senza coperchio) di capacità massima?
b) Indicato con \( x \) il lato del generico quadrato che si può ritagliare e con \( y \) la capacità della scatola corrispondente, trovare l'equazione della funzione \( y = f(x) \) e studiarla a prescindere dai limiti geometrici di \( x \) e mettere poi in evidenza la parte del grafico che soddisfa i limiti geometrici.
c) Calcolare l'area della regione \( S \) compresa tra il grafico della funzione e le tangenti ad esso nell'origine degli assi e nel punto di flesso \( F \).
d) Dimostrare che \( f \) è simmetrica rispetto al suo punto di flesso \( F \) dopo aver scritto le equazioni della simmetria di centro \( F \).
Ritagliando quattro quadrati uguali di lato \( x \) dai vertici del foglio rettangolare, otteniamo una scatola con:
Schema del ritaglio dei quadrati ai vertici del foglio rettangolare
Il volume (capacità) della scatola è:
\[ V(x) = x \cdot (2 - 2x) \cdot (4 - 2x) = x(2 - 2x)(4 - 2x) \]Sviluppiamo:
\[ V(x) = x \cdot 2(1 - x) \cdot 2(2 - x) = 4x(1 - x)(2 - x) \] \[ V(x) = 4x[(1 - x)(2 - x)] = 4x[2 - 2x - x + x^2] \] \[ V(x) = 4x[2 - 3x + x^2] = 4x(x^2 - 3x + 2) \] \[ V(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x \]Per trovare il massimo, calcoliamo la derivata prima:
\[ V'(x) = 12x^2 - 24x + 8 = 4(3x^2 - 6x + 2) \]Ponendo \( V'(x) = 0 \):
\[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \]Risolviamo con la formula quadratica:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \]Le soluzioni sono:
Considerando i limiti geometrici \( 0 < x < 1 \) (poiché \( a = 2 \) e quindi \( 2x < 2 \)), solo \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) è accettabile.
Studiamo il segno della derivata prima:
Poiché la funzione passa da crescente a decrescente in \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \), questo punto è un massimo relativo.
Conclusione: Per ottenere la scatola di capacità massima, si devono ritagliare quattro quadrati di lato \( x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}423 \) unità.
1. Dominio: \( D = \mathbb{R} \) (funzione polinomiale)
2. Intersezioni con gli assi:
3. Segno della funzione:
Studiamo il segno di \( f(x) = 4x(x - 1)(x - 2) \):
4. Derivata prima (monotonia):
\( f'(x) = 12x^2 - 24x + 8 = 4(3x^2 - 6x + 2) \)
Punti critici (già calcolati):
Valori della funzione nei punti critici:
Per \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}423 \):
\[ f(x_1) = 4\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 12\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 8\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \]Dopo calcoli (semplificando):
\[ f(x_1) \approx 1{,}54 \]Per \( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}577 \):
\[ f(x_2) \approx -1{,}54 \]5. Derivata seconda (concavità e flessi):
\( f''(x) = 24x - 24 = 24(x - 1) \)
Punto di flesso: \( x = 1 \Rightarrow F(1, 0) \)
6. Limiti agli estremi ed asintoti:
La funzione non presenta asintoti verticali (essendo definita e continua su tutto \( \mathbb{R} \)) né asintoti orizzontali (i limiti agli estremi sono infiniti). Non esistono asintoti obliqui poiché il grado del polinomio è 3.
Grafico completo di \( f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x \). La parte in verde evidenzia il tratto geometricamente significativo \( 0 < x < 1 \) per il problema della scatola.
La regione \( S \) (area colorata) compresa tra il grafico di \( f(x) \) e le tangenti in \( O \) e in \( F \).
Tangente nell'origine \( O(0, 0) \):
\( f'(0) = 8 \), quindi: \( t_O: y = 8x \)
Tangente nel punto di flesso \( F(1, 0) \):
\( f'(1) = 12 - 24 + 8 = -4 \), quindi: \( t_F: y - 0 = -4(x - 1) \Rightarrow y = -4x + 4 \)
Intersezione delle due tangenti:
\[ 8x = -4x + 4 \Rightarrow 12x = 4 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \] \[ y = 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \]Punto di intersezione: \( P\left(\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right) \)
Calcolo dell'area:
L'area \( S \) si calcola come somma di due integrali:
Area \( S_1 \) tra \( f(x) \) e \( t_O \) da \( x = 0 \) a \( x = \frac{1}{3} \):
\[ S_1 = \int_0^{1/3} [8x - (4x^3 - 12x^2 + 8x)] \, dx = \int_0^{1/3} (-4x^3 + 12x^2) \, dx \] \[ S_1 = \left[ -x^4 + 4x^3 \right]_0^{1/3} = -\frac{1}{81} + \frac{4}{27} = -\frac{1}{81} + \frac{12}{81} = \frac{11}{81} \]Area \( S_2 \) tra \( t_F \) e \( f(x) \) da \( x = \frac{1}{3} \) a \( x = 1 \):
\[ S_2 = \int_{1/3}^1 [(-4x + 4) - (4x^3 - 12x^2 + 8x)] \, dx \] \[ S_2 = \int_{1/3}^1 (-4x^3 + 12x^2 - 12x + 4) \, dx \] \[ S_2 = \left[ -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x \right]_{1/3}^1 \]Calcoliamo:
Area totale:
\[ S = S_1 + S_2 = \frac{11}{81} + \frac{16}{81} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \]Risultato: L'area della regione \( S \) è \( \boxed{\frac{1}{3}} \) unità quadrate.
Il punto di flesso è \( F(1, 0) \).
Equazioni della simmetria centrale di centro \( F(1, 0) \):
Una simmetria centrale di centro \( (x_F, y_F) \) trasforma un punto \( (x, y) \) nel punto \( (X, Y) \) secondo:
\[ x_F = \frac{x + X}{2} \quad \text{e} \quad y_F = \frac{y + Y}{2} \]Con \( F(1, 0) \):
\[ 1 = \frac{x + X}{2} \Rightarrow X = 2 - x \] \[ 0 = \frac{y + Y}{2} \Rightarrow Y = -y \]Equazioni della simmetria:
\[ \begin{cases} X = 2 - x \\ Y = -y \end{cases} \]Verifica che \( f \) è simmetrica rispetto a \( F \):
Dalla simmetria otteniamo: \( x = 2 - X \) e \( y = -Y \)
Sostituendo in \( y = f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x \):
\[ -Y = 4(2 - X)^3 - 12(2 - X)^2 + 8(2 - X) \]Sviluppiamo \( (2 - X)^3 \):
\[ (2 - X)^3 = 8 - 12X + 6X^2 - X^3 \]Sviluppiamo \( (2 - X)^2 \):
\[ (2 - X)^2 = 4 - 4X + X^2 \]Sostituiamo:
\[ -Y = 4(8 - 12X + 6X^2 - X^3) - 12(4 - 4X + X^2) + 8(2 - X) \] \[ -Y = 32 - 48X + 24X^2 - 4X^3 - 48 + 48X - 12X^2 + 16 - 8X \] \[ -Y = -4X^3 + 24X^2 - 12X^2 - 48X + 48X - 8X + 32 - 48 + 16 \] \[ -Y = -4X^3 + 12X^2 - 8X \] \[ Y = 4X^3 - 12X^2 + 8X = f(X) \]Conclusione: La funzione trasformata ha la stessa equazione della funzione originale, quindi \( f \) è simmetrica rispetto al suo punto di flesso \( F(1, 0) \). ✓
Osservazione: Si può dimostrare che tutte le funzioni cubiche sono simmetriche rispetto al loro punto di flesso (che esiste ed è unico per tutte le cubiche).
Si consideri la funzione di equazione: \[ y = f(x) = \frac{x(x+2)}{x-2} \]
a) Studiare dettagliatamente la funzione e tracciare il suo grafico \( g \).
b) Dedurre dal grafico di \( f \) il grafico \( g' \) di \( y = f'(x) \).
c) Verificare che la curva \( g \) è simmetrica rispetto al punto \( S(2, 6) \) e scrivere le equazioni della traslazione \( T \) che trasforma \( g \) in una curva \( G \) simmetrica rispetto all'origine degli assi cartesiani.
d) Calcolare l'area della regione finita \( S \) delimitata da \( G \), dal suo asintoto obliquo e dalle rette \( X=2 \) e \( X=6 \).
e) Calcolare il volume \( V \) del solido ottenuto dalla rotazione di \( S \) attorno all'asse delle ordinate.
1. Dominio: Il radicando \( x^2-x+1 \) ha \( \Delta = -3 < 0 \), dunque è sempre positivo. La funzione è definita su tutto \( \mathbb{R} \): \( D = \mathbb{R} \).
2. Intersezioni e Simmetrie:
3. Limiti e Asintoti:
4. Derivata e Monotonia:
\[ f'(x) = \frac{3x^2-2x+7}{3(x^2-x+1)^{4/3}} \]Il numeratore ha \( \Delta = 4 - 84 = -80 < 0 \), quindi è sempre positivo. La funzione è sempre crescente e non presenta punti stazionari.
5. Derivata seconda e concavità:
Il calcolo esplicito della derivata seconda risulta particolarmente laborioso. Possiamo tuttavia dedurre informazioni sulla concavità osservando il comportamento della derivata prima agli estremi del dominio:
\[ \lim_{x \to \pm \infty} f'(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x^2}{3x^{8/3}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^{2/3}} = 0^+ \]Analisi della concavità:
Rappresentazione grafica della funzione f(x)
Deduzione del grafico di f'(x) attraverso lo studio della monotonia e degli asintoti di f(x).
Applichiamo le equazioni della simmetria centrale \( x = 4-X \) e \( y = 12-Y \):
\[ 12-Y = \frac{(4-X)(4-X+2)}{(4-X)-2} = \frac{(4-X)(6-X)}{2-X} = \frac{X^2-10X+24}{2-X} \] \[ 12-Y = \frac{-(X^2-10X+24)}{X-2} \implies Y = 12 + \frac{X^2-10X+24}{X-2} \] \[ Y = \frac{12X-24+X^2-10X+24}{X-2} = \frac{X^2+2X}{X-2} \]Poiché l'equazione ottenuta \( Y = f(X) \) coincide con quella originale \( y = f(x) \), abbiamo verificato che il grafico \( g \) della funzione è simmetrico rispetto al punto \( S(2, 6) \).
Traslazione \( T \): Per portare il centro di simmetria \( S(2,6) \) nell'origine \( O(0,0) \), applichiamo le equazioni: \[ \begin{cases} X = x - 2 \implies x = X + 2 \\ Y = y - 6 \implies y = Y + 6 \end{cases} \]
Sostituiamo le espressioni di \( x \) e \( y \) nell'equazione della curva \( g \):
\[ Y + 6 = \frac{(X + 2)((X + 2) + 2)}{(X + 2) - 2} \]Semplificando il denominatore e le parentesi al numeratore:
\[ Y + 6 = \frac{(X + 2)(X + 4)}{X} \]Sviluppando il prodotto a numeratore:
\[ Y + 6 = \frac{X^2 + 6X + 8}{X} \]Dividendo ogni termine del numeratore per \( X \):
\[ Y + 6 = \frac{X^2}{X} + \frac{6X}{X} + \frac{8}{X} \implies Y + 6 = X + 6 + \frac{8}{X} \]Sottraendo 6 da entrambi i membri, otteniamo l'equazione della curva \( G \):
Verifica della simmetria di G rispetto all'origine:
Per verificare che la curva \( G \) sia simmetrica rispetto all'origine \( O(0,0) \), sostituiamo \( X \) con \( -X \) e \( Y \) con \( -Y \) nell'equazione:
\[ -Y = (-X) + \frac{8}{-X} \] \[ -Y = -X - \frac{8}{X} \]Moltiplicando entrambi i membri per \( -1 \), otteniamo:
\[ Y = X + \frac{8}{X} \]Poiché abbiamo ottenuto la stessa equazione di partenza, resta dimostrato che la funzione \( G \) è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani.
La curva traslata ha equazione \( G(X) = X + \frac{8}{X} \).
1. Individuazione dell'asintoto obliquo:
Per la funzione \( G(X) \), l'asintoto obliquo si trova separando i termini della frazione o calcolando i limiti. Essendo \( G(X) = X + \frac{8}{X} \), è immediato notare che per \( X \to \infty \), il termine \( \frac{8}{X} \) tende a zero. L'asintoto obliquo è quindi la retta: \( Y = X \).
2. Impostazione dell'integrale:
Dobbiamo calcolare l'area compresa tra la curva e l'asintoto nell'intervallo \( [2, 6] \). In questo intervallo, poiché \( X > 0 \), il termine \( \frac{8}{X} \) è positivo, quindi la curva \( G(X) = X + \frac{8}{X} \) si trova sempre sopra l'asintoto \( Y = X \).
\[ Area(S) = \int_{2}^{6} [G(X) - Y_{asintoto}] \, dX \] \[ Area(S) = \int_{2}^{6} \left( X + \frac{8}{X} - X \right) dX = \int_{2}^{6} \frac{8}{X} dX \]3. Calcolo del valore:
\[ Area(S) = 8 \int_{2}^{6} \frac{1}{X} dX = 8 \left[ \ln|X| \right]_{2}^{6} \] \[ Area(S) = 8 (\ln 6 - \ln 2) \]Applicando le proprietà dei logaritmi \( \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} \):
\[ Area(S) = 8 \ln \left( \frac{6}{2} \right) = 8 \ln 3 \]Risultato: L'area della regione \( S \) è \( 8\ln 3 \) unità quadrate (circa \( 8{,}79 \)).
Rappresentazione della regione S delimitata dalla curva G, l'asintoto obliquo e le rette X=2, X=6
Calcoliamo il volume del solido ottenuto ruotando la regione \( S \) attorno all'asse delle ordinate (\( \text{asse } Y \)).
1. Impostazione dell'integrale:
La funzione che definisce l'altezza dei nostri gusci è: \[ H(X) = G(X) - X = \left( X + \frac{8}{X} \right) - X = \frac{8}{X} \]
L'integrale per il volume nell'intervallo \( [2, 6] \) diventa:
\[ V = 2\pi \int_{2}^{6} X \cdot \left( \frac{8}{X} \right) dX \]2. Calcolo del volume:
Notiamo che la \( X \) al numeratore e quella al denominatore si semplificano perfettamente:
\[ V = 2\pi \int_{2}^{6} 8 \, dX \] \[ V = 16\pi \int_{2}^{6} 1 \, dX \] \[ V = 16\pi [X]_{2}^{6} \]Applichiamo gli estremi di integrazione:
\[ V = 16\pi (6 - 2) = 16\pi \cdot 4 = 64\pi \]Risultato: Il volume del solido ottenuto dalla rotazione è \( 64\pi \) unità cubiche (circa \( 201{,}06 \)).
Si consideri la seguente funzione: \[ y = f(x) = \frac{3x-2}{\sqrt[3]{x^2-x+1}} \]
a) Si studi la funzione e la si rappresenti graficamente.
b) Trovare l'equazione della generica circonferenza tangente al grafico di \( f \) nel punto \( T \) di ascissa \( x_T = 1 \).
c) Dimostrare che i centri delle suddette circonferenze appartengono tutti ad una retta, di cui si chiede l'equazione.
1. Dominio: Il radicando \( x^2-x+1 \) ha \( \Delta = -3 < 0 \), dunque è sempre positivo. La funzione è definita su tutto \( \mathbb{R} \): \( D = \mathbb{R} \).
2. Intersezioni e Simmetrie:
3. Limiti e Asintoti:
4. Derivata e Monotonia:
\[ f'(x) = \frac{3x^2-2x+7}{3(x^2-x+1)^{4/3}} \]Il numeratore ha \( \Delta < 0 \), quindi è sempre positivo. La funzione è sempre crescente e non presenta punti stazionari.
5. Derivata seconda e concavità:
Il calcolo esplicito della derivata seconda risulta particolarmente laborioso. Possiamo tuttavia dedurre informazioni sulla concavità osservando il comportamento della derivata prima agli estremi del dominio:
\[ \lim_{x \to \pm \infty} f'(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x^2}{3x^{8/3}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^{2/3}} = 0^+ \]Analisi della concavità:
Rappresentazione grafica della funzione f(x)
La circonferenza deve essere tangente in \( T \) alla curva. Pertanto, il suo centro \( C \) deve trovarsi sulla retta \( r \) perpendicolare alla tangente nel punto \( T \) (la retta normale).
1. Coordinate del punto T: Per \( x_T = 1 \), \( f(1) = \frac{3(1)-2}{\sqrt[3]{1-1+1}} = 1 \). Il punto di tangenza è \( T(1, 1) \).
2. Coefficiente angolare e retta normale: La derivata prima calcolata in \( x=1 \) è: \[ f'(1) = \frac{3(1)^2-2(1)+7}{3(1^2-1+1)^{4/3}} = \frac{8}{3} \] Il coefficiente angolare della normale \( r \) è l'antireciproco: \( m_r = -3/8 \). L'equazione della retta \( r \) è: \[ y - 1 = -\frac{3}{8}(x - 1) \implies y = -\frac{3}{8}x + \frac{11}{8} \]
Sia \( \alpha \) l'ascissa del centro. Poiché \( C \) appartiene alla normale \( r \), le sue coordinate sono: \[ C\left(\alpha, -\frac{3}{8}\alpha + \frac{11}{8}\right) \]
3. Equazione della circonferenza: Il raggio al quadrato è la distanza \( \overline{CT}^2 \): \[ R^2 = (\alpha - 1)^2 + \left[ \left( -\frac{3}{8}\alpha + \frac{11}{8} \right) - 1 \right]^2 = \frac{73}{64}(\alpha - 1)^2 \]
L'equazione della generica circonferenza è:
Animazione della variazione della circonferenza al variare del centro sulla normale:
Come ricavato nel punto precedente, le coordinate del centro \( C(x_C, y_C) \) sono legate dalla relazione: \[ y_C = -\frac{3}{8}x_C + \frac{11}{8} \] Questo dimostra che i centri appartengono tutti alla retta \( r \), che rappresenta la normale al grafico della funzione nel punto di tangenza \( T \).