Compito in Classe di Matematica

Liceo Scientifico — Classe Quinta — 7 Febbraio 2004

Versione accessibile con soluzioni dettagliate

💡 Per una visualizzazione ottimale dei grafici e delle formule, se stai usando lo smartphone disponilo orizzontalmente.

Argomenti: Teorema di Rolle. Studio di funzione definita a tratti. Limiti e De L'Hôpital. Ottimizzazione geometrica con derivate e metodo elementare. Studio di funzione razionale fratta. Punti a coordinate intere in una regione di piano.

📚 Versione Standard

Esercizio 1

È data la funzione di equazione:

\[ y = f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + 1 & \text{se } -2 \leq x \leq 0 \\ ax^3 + bx + 1 & \text{se } 0 < x \leq 1 \end{cases} \]

a) Determinare \(a\) e \(b\) in modo che essa soddisfi il Teorema di Rolle nell'intervallo \([-2;\, 1]\).

b) Rappresentare graficamente la funzione quando \(a = 1\) e \(b = 1\), studiando eventuali punti di non derivabilità.

c) Calcolare l'area della regione \(\mathcal{R}\) delimitata dal grafico di \(y = f(x)\) e dalle rette \(x = -2\) e \(x = 1\).

a) Determinazione di \(a\) e \(b\)

Per applicare il Teorema di Rolle nell'intervallo \([-2;\, 1]\), la funzione deve soddisfare:

continuità
derivabilità
\(f(-2)=f(1)\)

Punto critico: \(x=0\).

Continuità

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \]

Derivabilità in \(x = 0\)

Per verificare la derivabilità dobbiamo confrontare le derivate laterali.

Calcoliamo prima le derivate delle due espressioni:

\[ f'(x) = 2x + 2 \quad \text{per } -2 \leq x < 0 \] \[ f'(x) = 3ax^2 + b \quad \text{per } 0 < x \leq 1 \]

Calcoliamo ora le derivate nel punto \(x = 0\):

\[ f'_-(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2 \] \[ f'_+(0) = 3a \cdot 0^2 + b = b \]

Per avere derivabilità deve essere:

\[ f'_-(0) = f'_+(0) \]

Quindi:

\[ 2 = b \Rightarrow b = 2 \]

Conclusione: la funzione è derivabile in \(x = 0\) solo se \(b = 2\).

Estremi

\[ a+b=0 \Rightarrow a=-2 \]

\[ \boxed{a=-2,\; b=2} \]

b) Studio con \(a=1, b=1\)

\[ f(x)= \begin{cases} (x+1)^2 & -2 \leq x \leq 0 \\ x^3+x+1 & 0< x\leq 1 \end{cases} \]

Punto angoloso

\[ f'_-(0)=2 \quad f'_+(0)=1 \]

Studio di \(g(x)\)

\(g(x)=(x+1)^2\): parabola con vertice \((-1,0)\).

Parabola \(g(x)\)

Studio di \(h(x)=x^3+x+1\)

Calcoliamo la derivata:

\[ h'(x)=3x^2+1 \]

Poiché \(3x^2+1>0\) per ogni \(x\), la funzione è sempre crescente.

Valori notevoli:

\(h(0)=1\)
\(h(1)=3\)

La funzione cresce senza flessi nel tratto considerato.

Grafico di \(h(x)\): funzione crescente

Grafico completo

In tratteggio rosso \(g\), in tratteggio verde \(h\), in blu \(f\)

c) Area

Rappresentiamo graficamente la regione \(R\).

In verde la regione \(R\)

L’area si calcola con due integrali:

\[ A=\int_{-2}^{0}(x+1)^2 dx + \int_{0}^{1}(x^3+x+1)dx \]

Primo integrale

\[ \int_{-2}^{0}(x+1)^2 dx = \left[\frac{(x+1)^3}{3}\right]_{-2}^{0} \]

\[ = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} \]

Secondo integrale

\[ \int_{0}^{1}(x^3+x+1)dx = \left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}+x\right]_{0}^{1} \]

\[ = \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1 = \frac{7}{4} \]

Area totale

\[ A=\frac{2}{3}+\frac{7}{4} = \frac{29}{12} \]

Esercizio 2

Si consideri il seguente limite:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\ln(1+x)} \]

a) Stabilire se il limite esiste, motivando la risposta in modo esauriente.

b) In caso affermativo, dire se è possibile calcolarlo utilizzando la regola di De L'Hôpital.

a) Esistenza del limite

Osserviamo che \(\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\) è limitata (vale sempre tra \(-1\) e \(1\)), e che \(\ln(1+x) \sim x\) per \(x \to 0\). Quindi:

\[ \frac{-x^2}{\ln(1+x)} \leq \frac{x^2 \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)}{\ln(1+x)} \leq \frac{x^2}{\ln(1+x)} \]

Poiché \(\dfrac{x^2}{\ln(1+x)} \sim \dfrac{x^2}{x} = x \to 0\), per il teorema del confronto:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)}{\ln(1+x)} = 0 \]

b) Applicabilità della regola di De L'Hôpital

Ricordiamo le condizioni del Teorema di De L'Hôpital nel caso di forma \(\frac{0}{0}\):

le funzioni devono essere continue;
devono essere derivabili;
la derivata del denominatore non deve annullarsi in un intorno destro di \(x=0\).

Importante: se esiste il limite del rapporto delle derivate, allora esiste anche il limite originale.

Attenzione: queste condizioni sono solo sufficienti!

Verifica della forma

Per \(x \to 0^+\):

\(x^2 \sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \to 0\)
\(\ln(1+x) \to 0\)

Quindi la forma è:

\[ \frac{0}{0} \]

Deriviamo numeratore e denominatore

\[ f'(x)=2x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) - \cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \] \[ g'(x)=\frac{1}{1+x} \]

Rapporto delle derivate

\[ \frac{f'(x)}{g'(x)}= \left(2x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) - \cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\right)(1+x) \]

Studio del limite

\(2x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \to 0\)
\((1+x) \to 1\)
\(\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\) è oscillante

Il termine dominante è:

\[ -\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \]

Questo termine non ammette limite.

Conclusione

Il limite del rapporto delle derivate non esiste.

Quindi la regola di De L'Hôpital non è applicabile.

Attenzione: questo NON significa che il limite iniziale non esista!

Osservazione didattica

💡 In questo esercizio il limite si calcola meglio con il metodo del confronto.

La funzione \(\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\) è limitata, mentre \(\ln(1+x) \sim x\).

👉 La presenza di funzioni oscillanti rende poco efficace De L'Hôpital.

✔ Il metodo del confronto è più semplice e funziona meglio.

Esercizio 3

Sono date le funzioni \(f(x) = x^4 - 4x^3\) e \(g(x) = x^2 - 2\).

a) Determinare un intervallo in cui sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di Cauchy e trovare i punti di cui si parla nella tesi.

b) Studiare in maniera esauriente la funzione \(f(x)\) e rappresentarla graficamente.

c) Considerata la regione \(R\) delimitata dal grafico di \(f\), dall'asse \(y\) e dalla retta \(y = -16\), calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa attorno all'asse \(y\).

a) Teorema di Cauchy sull'intervallo \([1, 2]\)

Entrambe le funzioni sono polinomi, quindi continue e derivabili su tutto \(\mathbb{R}\). Scegliamo l'intervallo \([1,2]\), dove \(g'(x) = 2x \neq 0\). Le ipotesi del Teorema di Cauchy sono soddisfatte.

\[ f'(x) = 4x^3 - 12x^2, \quad g'(x) = 2x \] \[ f(2) = -16,\quad f(1) = -3,\quad g(2) = 2,\quad g(1) = -1 \]

\[ \frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)} = \frac{-13}{3} \]

Cerchiamo \(c \in (1,2)\) tale che \(\dfrac{f'(c)}{g'(c)} = -\dfrac{13}{3}\):

\[ \frac{4c^3 - 12c^2}{2c} = -\frac{13}{3} \implies 6c^2 - 18c + 13 = 0 \] \[ c = \frac{9 \pm \sqrt{3}}{6} \]

Solo \(c = \dfrac{9 - \sqrt{3}}{6} \approx 1.21\) appartiene a \((1,2)\).

b) Studio completo di \(f(x)=x^4-4x^3\)

Dominio: \(\mathbb{R}\)

Intersezioni con gli assi

\[ f(x)=x^3(x-4) \]

\(x=0\) (molteplicità 3)
\(x=4\)

Parità

La funzione è né pari né dispari.

Segno della funzione

\(f(x) < 0\) per \(0 < x < 4\)
\(f(x) > 0\) per \(x < 0\) e \(x > 4\)

Limiti e asintoti

\[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x)=+\infty \]

Asintoti: nessuno

Studio della monotonia

\[ f'(x)=4x^2(x-3) \]

Studiamo il segno della derivata:

x	\(-\infty\)	0	3	\(+\infty\)
\(f'(x)\)	−	0	−	+

decrescente su \((-\infty,3)\)
crescente su \((3,+\infty)\)

Minimo:

\[ f(3)=81-108=-27 \]

\((3,-27)\)

Nota: in \(x=0\) la derivata si annulla ma non c'è estremo.

Studio della concavità

\[ f''(x)=12x(x-2) \]

x	\(-\infty\)	0	2	\(+\infty\)
\(f''(x)\)	+	0	−	+

concava verso l’alto per \(x<0\) e \(x>2\)
concava verso il basso per \(0<x<2\)

Flessi:

\[ (0,0), \quad (2,-16) \]

Grafico della funzione

Grafico di \(f(x)=x^4-4x^3\): minimo in \(x=3\), flessi in \(x=0\) e \(x=2\).

c) Volume con il metodo dei gusci cilindrici

Rappresentiamo la regione \(R\) delimitata dal grafico di \(f\), dall'asse \(y\) e dalla retta \(y = -16\):

Regione \(R\) nel piano cartesiano.

Impostazione del metodo

💡 Raggio del guscio = \(x\) (distanza dall'asse \(y\))
Altezza = distanza verticale tra il grafico e la retta \(y = -16\)

Ruotiamo la regione attorno all'asse \(y\).

Usiamo il metodo dei gusci cilindrici:

\[ V = 2\pi \int x \cdot \text{altezza} \, dx \]

Nell'intervallo \([0,2]\) la funzione decresce da \(f(0)=0\) a \(f(2)=-16\), quindi si trova sempre al di sopra della retta \(y=-16\). L'altezza di ciascun guscio è:

\[ \text{altezza} = f(x) - (-16) = f(x) + 16 \]

Scrittura dell'integrale

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} x \cdot (f(x)+16)\,dx \]

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} x(x^4 - 4x^3 + 16)\,dx \]

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} (x^5 - 4x^4 + 16x)\,dx \]

Calcolo dell'integrale

\[ \int (x^5 - 4x^4 + 16x)\,dx = \frac{x^6}{6} - \frac{4x^5}{5} + 8x^2 \]

\[ V = 2\pi \left[ \frac{x^6}{6} - \frac{4x^5}{5} + 8x^2 \right]_{0}^{2} \]

Sostituzione degli estremi

\[ V = 2\pi \left( \frac{2^6}{6} - \frac{4 \cdot 2^5}{5} + 8 \cdot 2^2 \right) \]

\[ = 2\pi \left( \frac{64}{6} - \frac{128}{5} + 32 \right) \]

Semplificazione

\[ \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \]

\[ V = 2\pi \left( \frac{32}{3} - \frac{128}{5} + 32 \right) \]

\[ = 2\pi \left( \frac{160 - 384 + 480}{15} \right) \]

\[ = 2\pi \cdot \frac{256}{15} \]

Risultato finale

\[ V = \frac{512\pi}{15} \]

Rappresentazione del solido

Solido ottenuto ruotando la regione \(R\) attorno all'asse \(y\).

📘 Approfondimento

Il metodo dei gusci cilindrici utilizzato in questo esercizio è spiegato in modo completo (con teoria, esempi e applicazioni) nel seguente materiale di approfondimento di Matefilia:

👉 Metodo dei gusci cilindrici (PDF)

In generale, se la regione che ruota attorno all'asse \(y\) è compresa tra il grafico di \(f(x)\), l'asse delle \(y\) e la retta \(y = y_0\), il volume del solido di rotazione si calcola come somma di infiniti gusci cilindrici di raggio \(x\), altezza \(|f(x) - y_0|\) e spessore \(dx\), da cui la formula: \[ V = 2\pi \int_a^b x \cdot |f(x) - y_0|\,dx \] dove \([a, b]\) è l'intervallo in cui la regione è definita.

Esercizio 4

Fra tutti i trapezi rettangoli circoscritti ad un quadrante di cerchio di raggio \(R\), determinare quello di area minima.

a) Si risolva il problema con l'uso delle derivate.

b) Si risolva il problema per via elementare.

c) Indicata con \(x\) la misura della base minore del trapezio e posto uguale ad \(1\) il raggio, esprimere in funzione di \(x\) l'area \(f(x)\) del trapezio.

d) Studiare e rappresentare graficamente la funzione \(y = f(x)\), prescindendo dai limiti geometrici.

e) Dire quanti sono i punti a coordinate intere interni alla regione del piano compresa tra il grafico di \(f\) e la retta \(y = 5\).

Impostazione del problema

Indichiamo con \(A\) il centro del quadrante di cerchio e scegliamo un sistema di riferimento cartesiano con origine in \(A\).

Costruiamo un trapezio rettangolo \(ABCD\) circoscritto al quadrante, in modo che:

la base maggiore \(AB\) sia sull’asse orizzontale;
la base minore \(CD\) sia parallela ad \(AB\);
l’altezza del trapezio sia \(AD = R\) (raggio del quadrante);
la base minore abbia lunghezza \(CD = x\).

Trapezio rettangolo circoscritto al quadrante

Trapezio rettangolo \(ABCD\) circoscritto al quadrante di raggio \(R\).

Indichiamo con \(T\) il punto di tangenza tra il lato obliquo \(BC\) e la circonferenza.

Tracciamo inoltre l’altezza \(CH\) del trapezio sulla base maggiore.

Relazioni geometriche

Osserviamo che:

i segmenti di tangente condotti da uno stesso punto sono uguali, quindi \(CT = x\);
ponendo \(BT = y\), risulta anche \(BH = y\).

Consideriamo i triangoli rettangoli \(ABT\) e \(HBC\):

sono entrambi rettangoli;
hanno un lato uguale (\(AT = CH = R\));
condividono un angolo.

Quindi i due triangoli sono congruenti e possiamo trasferire le lunghezze corrispondenti.

Calcolo della relazione tra \(x\) e \(y\)

Applichiamo il Teorema di Pitagora al triangolo \(HBC\):

\[ BC^2 = CH^2 + BH^2 \]

Sostituendo le lunghezze:

\[ (x+y)^2 = R^2 + y^2 \]

Sviluppiamo:

\[ x^2 + 2xy + y^2 = R^2 + y^2 \]

\[ 2xy = R^2 - x^2 \]

\[ y = \frac{R^2 - x^2}{2x} \]

Calcolo dell’area

La base maggiore del trapezio è:

\[ AB = x + y \]

L’area del trapezio è:

\[ \text{Area} = \frac{(B + b)\cdot h}{2} \]

\[ \text{Area} = \frac{(x + y + x)\cdot R}{2} = \frac{(2x + y)\cdot R}{2} \]

Sostituendo \(y\):

\[ \text{Area} = \frac{R}{2}\left(2x + \frac{R^2 - x^2}{2x}\right) \]

\[ = \frac{R}{2} \cdot \frac{4x^2 + R^2 - x^2}{2x} \]

\[ = \frac{R}{4} \cdot \frac{3x^2 + R^2}{x} \]

a) Risoluzione con le derivate

Consideriamo la funzione area trovata in precedenza:

\[ f(x) = \frac{R}{4} \cdot \frac{3x^2 + R^2}{x}, \quad 0 < x < R \]

Deriviamo rispetto a \(x\):

\[ f'(x) = \frac{R}{4} \left( 3 - \frac{R^2}{x^2} \right) \]

\[ f'(x) = \frac{R}{4} \cdot \frac{3x^2 - R^2}{x^2} \]

Studio del segno della derivata

Osserviamo che:

\[ \frac{R}{4x^2} > 0 \quad \text{per ogni } x > 0 \]

Quindi il segno della derivata dipende solo dal numeratore:

\[ 3x^2 - R^2 \]

Troviamo gli zeri della derivata:

\[ f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = R^2 \]

\[ x = \frac{R}{\sqrt{3}} \]

Segno della derivata

\(f'(x) < 0\) per \(0 < x < \frac{R}{\sqrt{3}}\)
\(f'(x) = 0\) per \(x = \frac{R}{\sqrt{3}}\)
\(f'(x) > 0\) per \(x > \frac{R}{\sqrt{3}}\)

Quindi la funzione:

è decrescente prima di \( \frac{R}{\sqrt{3}} \)
è crescente dopo \( \frac{R}{\sqrt{3}} \)

Si ha quindi un minimo assoluto in:

\[ x = \frac{R}{\sqrt{3}} \]

Calcolo dell’area minima

Sostituiamo il valore trovato nella funzione area:

\[ f\!\left(\frac{R}{\sqrt{3}}\right) = \frac{R}{4} \left( 3\frac{R}{\sqrt{3}} + \frac{R^2}{\frac{R}{\sqrt{3}}} \right) \]

\[ = \frac{R}{4} \left( R\sqrt{3} + R\sqrt{3} \right) \]

\[ \boxed{\frac{R^2\sqrt{3}}{2}} \]

b) Risoluzione per via elementare

L'area è minima se lo è l'espressione \(3x + \dfrac{R^2}{x}\). Applichiamo la seguente proprietà:

Date due quantità positive \(a\) e \(b\), se il prodotto \(a \cdot b\) è costante, la somma \(a + b\) è minima quando \(a = b\).

Poniamo \(a = 3x\) e \(b = \dfrac{R^2}{x}\). Il loro prodotto è:

\[ 3x \cdot \frac{R^2}{x} = 3R^2 = \text{costante} \]

Il minimo si ha quando \(a = b\):

\[ 3x = \frac{R^2}{x} \implies 3x^2 = R^2 \implies x = \frac{R}{\sqrt{3}} \checkmark \]

Nota: La proprietà si generalizza a \(k\) termini: se \(a_1^{n_1} \cdot a_2^{n_2} \cdots a_k^{n_k}\) è costante, il minimo di \(a_1 + \dots + a_k\) si ha quando \(\dfrac{a_1}{n_1} = \dfrac{a_2}{n_2} = \dots = \dfrac{a_k}{n_k}\).

c) Funzione area con \(R = 1\)

Sostituendo \(R = 1\):

\[ f(x) = \frac{3x^2 + 1}{4x} = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4x} \]

d) Studio della funzione \(f(x) = \dfrac{3x^2+1}{4x}\)

Dominio: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\). Simmetria: \(f(-x) = -f(x)\), funzione dispari.

Segno: \(f(x) > 0\) per \(x > 0\), \(f(x) < 0\) per \(x < 0\). Non interseca gli assi.

Asintoti:

Verticale: \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \) e \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty \). La retta \(x = 0\) è asintoto verticale.
Obliquo: Poiché il grado del numeratore supera di uno quello del denominatore, esiste un asintoto obliquo \( y = mx + q \). Calcoliamo: \[ m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+1}{4x^2} = \frac{3}{4} \] \[ q = \lim_{x \to \infty} \left[f(x) - \frac{3}{4}x\right] = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{3x^2+1}{4x} - \frac{3x}{4}\right] = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{4x} = 0 \] La retta \(y = \dfrac{3}{4}x\) è asintoto obliquo.

Derivata prima:

\[ f'(x) = \frac{3x^2 - 1}{4x^2} \]

Si annulla per \(x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

Minimo relativo: \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
Massimo relativo: \(\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

Derivata seconda: \(f''(x) = \dfrac{1}{2x^3}\). Nessun flesso: concava verso l'alto per \(x>0\), verso il basso per \(x < 0\).

Grafico di \(f(x) = \dfrac{3x^2+1}{4x}\) con asintoti e punti stazionari.

e) Punti a coordinate intere interni alla regione

Cerchiamo i punti \(P(x, y)\) con coordinate intere tali che \(f(x) < y < 5\):

\(x\)	\(f(x)\)	\(y\) interi interni	n°
1	\(1\)	2, 3, 4	3
2	\(\dfrac{13}{8}\)	2, 3, 4	3
3	\(\dfrac{7}{3}\)	3, 4	2
4	\(\dfrac{49}{16}\)	4	1
5	\(\dfrac{19}{5}\)	4	1
6	\(\dfrac{109}{24}\)	—	0

Totale punti interni: \(3 + 3 + 2 + 1 + 1 = \mathbf{10}\)

In blu i punti a coordinate intere interni alla regione compresa tra \(f\) e \(y=5\).

💬 Ti è stata utile questa risorsa?

✉️ Invia feedback

Il tuo parere è importante per migliorare la chiarezza di queste risorse.
(Si aprirà il tuo programma email)

← Archivio Compiti 📚 Versione Standard

🖨️ Stampa con soluzioni ✔️ Valida questo HTML5