Questionario – Esame di Stato 2026

Quesito 1

Cecilia mostra a Nicolò una variante del gioco "Cover the spot": disegna su un foglio un quadrato \(ABCD\) di lato \(\sqrt2\) dm e poi ritaglia tre cartoncini circolari di raggio \(\dfrac23\) dm. Lo scopo del gioco è quello di coprire, con i tre cerchi, la maggior parte possibile del quadrato. Cecilia posiziona inizialmente un cartoncino in modo che il centro sia sulla diagonale \(AC\) del quadrato e il bordo passi per \(A\). Prima di posizionare il secondo cartoncino, afferma che ha già coperto più della metà del quadrato, mentre Nicolò dice che non è così.

Chi ha ragione? Motivare la risposta.

Quesito 1. Cecilia mostra a Nicolò una variante del gioco "cover de spot": disegna su un foglio un quadrato A B C D di lato radice di 2 decimetri e poi ritaglia tre cartoncini circolari di raggio due terzi di decimetro. Lo scopo del gioco è coprire, con i tre cerchi, la maggior parte possibile del quadrato. Cecilia posiziona il primo cartoncino in modo che il centro sia sulla diagonale A C del quadrato e il bordo passi per il punto A. Prima di posizionare il secondo cartoncino, afferma di aver già coperto più della metà del quadrato, mentre Nicolò dice che non è così. Chi ha ragione? Motivare la risposta.

Soluzione del Quesito 1

Quadrato ABCD con cerchio centrato in G sulla diagonale AC, passante per A, che interseca i lati in F ed E

Legenda: G è il centro del cerchio (sulla diagonale AC, con AG = r); F ed E sono i punti in cui il cerchio interseca i lati AD e AB.

Passo 1 — Calcolo della diagonale

Il lato del quadrato è \(\overline{AB}=\sqrt2\) dm, quindi la diagonale misura:

\[ \overline{AC} = \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 \text{ dm} \]

Passo 2 — Posizione del cerchio

Il centro \(G\) del primo cartoncino sta sulla diagonale, a distanza \(\overline{AG}=r=\dfrac23\) dm da \(A\) (poiché il bordo passa per \(A\)). Il cerchio interseca i lati \(AD\) e \(AB\) rispettivamente in \(F\) ed \(E\). Per la simmetria della figura rispetto alla diagonale \(AC\) (bisettrice dell'angolo retto in \(A\)), il segmento \(FE\) passa per il centro \(G\) — è quindi un diametro — ed è perpendicolare alla diagonale \(AC\) in \(G\).

Passo 3 — Area coperta dal primo cartoncino

Il diametro \(FE\) divide il cerchio in due semicerchi: quello dalla parte opposta ad \(A\) sta interamente dentro il quadrato; quello dalla parte di \(A\) viene tagliato dai lati, e la parte che resta dentro il quadrato è esattamente il triangolo \(AFE\). Quindi:

\[ \text{Area}_{\text{coperta}} = \frac12\pi r^2 + \text{Area}(\triangle AFE) \]

Calcoliamo l'area del triangolo usando come base il diametro \(\overline{FE}=2r=\dfrac43\) e come altezza \(\overline{AG}=r=\dfrac23\):

\[ \text{Area}(\triangle AFE) = \frac{\overline{FE}\cdot\overline{AG}}{2} = \frac{\dfrac43\cdot\dfrac23}{2} = \frac49 \]

Quindi:

\[ \text{Area}_{\text{coperta}} = \frac12\pi\left(\frac23\right)^2 + \frac49 = \frac{2\pi+4}{9} \approx 1{,}14 \text{ dm}^2 \]

Passo 4 — Confronto con metà quadrato

L'area del quadrato è \(\overline{AB}^2=2\) dm², quindi metà quadrato vale 1 dm². Poiché \(1{,}14 > 1\), il primo cartoncino, da solo, copre già più della metà del quadrato.

✓ Ha ragione Cecilia.

Quesito 2

Si considerino, nello spazio tridimensionale, i punti \(A(2;-4;3)\), \(B(3;5;-1)\), \(C(-6;1;0)\), \(D(-1;4;8)\).

a) Verificare che \(A, B, C, D\) sono i vertici di un tetraedro regolare.

b) Determinare l'equazione del piano tangente in \(A\) alla superficie sferica passante per i punti \(A, B, C, D\).

Quesito 2. Si considerino, nello spazio tridimensionale, i punti A di coordinate 2, meno 4, 3; B di coordinate 3, 5, meno 1; C di coordinate meno 6, 1, 0; D di coordinate meno 1, 4, 8. Punto a: verificare che A, B, C, D sono i vertici di un tetraedro regolare. Punto b: determinare l'equazione del piano tangente in A alla superficie sferica passante per i punti A, B, C, D.

Soluzione del Quesito 2

Passo 1 — Verifica che gli spigoli sono uguali

Per dimostrare che \(ABCD\) è un tetraedro regolare basta verificare che tutti gli spigoli sono uguali. Calcoliamo i quadrati delle distanze tra ogni coppia di punti:

\[ \overline{AB}^2 = (3-2)^2+(5+4)^2+(-1-3)^2 = 98 \] \[ \overline{AC}^2 = (-6-2)^2+(1+4)^2+(0-3)^2 = 98 \] \[ \overline{AD}^2 = (-1-2)^2+(4+4)^2+(8-3)^2 = 98 \] \[ \overline{BC}^2 = (-6-3)^2+(1-5)^2+(0+1)^2 = 98 \] \[ \overline{BD}^2 = (-1-3)^2+(4-5)^2+(8+1)^2 = 98 \] \[ \overline{CD}^2 = (-1+6)^2+(4-1)^2+(8-0)^2 = 98 \]

Tutti gli spigoli sono uguali a \(\sqrt{98}=7\sqrt2\).

✓ \(ABCD\) è un tetraedro regolare di spigolo \(7\sqrt2\).

Passo 2 — Centro della sfera circoscritta

Essendo il tetraedro regolare, il centro \(O\) della sfera coincide con il baricentro dei quattro vertici:

\[ O = \left(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4};\,\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4};\,\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4}\right) \] \[ O = \left(-\frac12;\,\frac32;\,\frac52\right) \]

Passo 3 — Vettore normale e piano tangente

Il piano tangente alla sfera in \(A\) è perpendicolare al raggio \(\overrightarrow{AO}\), che funge da vettore normale:

\[ \overrightarrow{AO} = O-A = \left(-\frac52;\,\frac{11}{2};\,-\frac12\right) \]

Moltiplicando per 2 si ottiene il vettore normale \((-5;\,11;\,-1)\). L'equazione del piano per \(A\) con tale normale è:

\[ -5(x-2)+11(y+4)-1(z-3)=0 \]

✓ Equazione del piano tangente: \[ 5x - 11y + z - 57 = 0 \]

Quesito 3

Nel 1976, 50 anni fa, due scosse di terremoto, a maggio e a settembre, di magnitudo \(M_1=6{,}5\) e \(M_2=6{,}0\) della scala Richter, colpirono un vasto territorio a nord di Udine.

La magnitudo \(M\) di un terremoto, secondo la scala Richter, è data da \( M = \log_{10}\!\left(\dfrac{A}{A_0}\right) \), dove \(A\) rappresenta il massimo delle ampiezze registrate da un sismografo e \(A_0\) è un'ampiezza di riferimento.

Si determini il rapporto \(\dfrac{A_1}{A_2}\) tra le ampiezze prodotte dai due eventi sismici friulani.

Dalla legge empirica di Gutenberg-Richter \( \log_{10}\dfrac{E}{E_0} = 1{,}5M+4{,}8 \), dove \(E\) è l'energia liberata dal terremoto ed \(E_0\) un'energia di riferimento, si determini la variazione percentuale dell'energia liberata tra il primo e il secondo terremoto.

Quesito 3. Nel 1976, 50 anni fa, due scosse di terremoto, a maggio e a settembre, di magnitudo 6 virgola 5 e 6 virgola 0 della scala Richter, colpirono un vasto territorio a nord di Udine. La magnitudo M di un terremoto, secondo la scala Richter, è data dal logaritmo in base 10 del rapporto tra A e A con zero, dove A rappresenta il massimo delle ampiezze registrate da un sismografo e A con zero è un'ampiezza di riferimento. Si determini il rapporto tra le ampiezze A 1 e A 2 prodotte dai due eventi sismici friulani. Dalla legge empirica di Gutenberg-Richter, secondo cui il logaritmo in base 10 del rapporto tra E ed E con zero è uguale a 1 virgola 5 per M più 4 virgola 8, dove E è l'energia liberata dal terremoto ed E con zero un'energia di riferimento, si determini la variazione percentuale dell'energia liberata tra il primo e il secondo terremoto.

Soluzione del Quesito 3

Passo 1 — Rapporto tra le ampiezze

Dalla definizione di magnitudo, per i due terremoti si ha \(\frac{A_1}{A_0}=10^{M_1}\) e \(\frac{A_2}{A_0}=10^{M_2}\). Dividendo membro a membro:

\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{10^{M_1}}{10^{M_2}} = 10^{M_1-M_2} = 10^{0{,}5} \]

✓ \(\dfrac{A_1}{A_2} = \sqrt{10} \approx 3{,}16\)

Passo 2 — Energie liberate

Applicando la legge di Gutenberg-Richter a entrambi i terremoti:

\[ \log_{10}\frac{E_1}{E_0} = 1{,}5\cdot6{,}5+4{,}8 = 14{,}55 \qquad \log_{10}\frac{E_2}{E_0} = 1{,}5\cdot6{,}0+4{,}8 = 13{,}8 \]

Quindi, sottraendo gli esponenti come al passo precedente:

\[ \frac{E_1}{E_2} = 10^{0{,}75} \approx 5{,}623 \]

Passo 3 — Variazione percentuale

La variazione percentuale dell'energia tra il primo e il secondo terremoto è:

\[ \frac{E_2-E_1}{E_1}\cdot100 = \left(\frac{E_2}{E_1}-1\right)\cdot100 = \left(\frac{1}{10^{0{,}75}}-1\right)\cdot100 \approx -82{,}2\% \]

✓ L'energia liberata dal secondo terremoto è stata circa l'82,2% in meno rispetto al primo (variazione percentuale ≈ -82,2%).

Quesito 4

Si consideri la funzione \( F(x) = \displaystyle\int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}\,dt + \int_0^{\frac1x} \dfrac{1}{1+t^2}\,dt \) (con \(x>0\)).

Dimostrare che la funzione \(F(x)\) è una funzione costante e calcolarne il valore.

Quesito 4. Si consideri la funzione effe di ics, definita come somma di due integrali: l'integrale da 0 a ics di 1 fratto 1 più ti quadrato, di ti, più l'integrale da 0 a 1 fratto ics di 1 fratto 1 più ti quadrato, di ti, con ics maggiore di 0. Dimostrare che la funzione effe di ics è una funzione costante e calcolarne il valore.

Soluzione del Quesito 4

Passo 1 — Derivata di F(x)

Per \(x>0\) entrambi gli integrali sono ben definiti, perché l'integrando \(\dfrac{1}{1+t^2}\) è continuo su tutto \(\mathbb{R}\). Deriviamo \(F\) usando il teorema fondamentale del calcolo integrale e, per il secondo termine, la regola di derivazione delle funzioni composte:

\[ F'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+\left(\frac1x\right)^2}\cdot D\!\left(\frac1x\right) \]

Ricordando che \(D\!\left(\dfrac1x\right)=-\dfrac{1}{x^2}\), il secondo addendo diventa:

\[ \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{1+x^2} \]

Quindi:

\[ F'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0 \quad \text{per ogni } x>0 \]

Passo 2 — Conclusione sulla costanza

Poiché \(F'(x)=0\) su tutto l'intervallo \(]0;+\infty[\), per il corollario del teorema di Lagrange (una funzione con derivata identicamente nulla su un intervallo è costante su quell'intervallo), \(F(x)\) è costante per \(x>0\).

Passo 3 — Calcolo del valore della costante

Essendo \(F\) costante, calcoliamo il valore scegliendo un punto comodo, ad esempio \(x=1\) (per cui \(\frac1x=1\) e i due integrali coincidono):

\[ F(1) = 2\int_0^1 \frac{1}{1+t^2}\,dt = 2\Big[\arctan(t)\Big]_0^1 = 2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \]

✓ \(F(x) = \dfrac{\pi}{2}\) per ogni \(x>0\).

Quesito 5

Determinare i valori dei parametri reali \(h, k\), con \(h\ne0\), in modo che la curva di equazione \( y = h\ln(x^2+k)^5 \) abbia le rette \(x=-\sqrt3\) e \(x=\sqrt3\) come asintoti verticali e le rette tangenti nei punti \(A\) e \(B\) di intersezione con l'asse delle ascisse si incontrino in \(C(0;-4)\).

Quesito 5. Determinare i valori dei parametri reali acca e cappa, con acca diverso da zero, in modo che la curva di equazione ipsilon uguale acca per logaritmo naturale di, ics quadrato più cappa, tutto elevato alla quinta, abbia le rette ics uguale meno radice di 3 e ics uguale radice di 3 come asintoti verticali, e le rette tangenti nei punti A e B di intersezione con l'asse delle ascisse si incontrino nel punto C di coordinate 0 e meno 4.

Soluzione del Quesito 5

Passo 1 — Determinazione di k

Perché ci siano asintoti verticali in \(x=\pm\sqrt3\), l'argomento del logaritmo \((x^2+k)^5\) deve annullarsi proprio in tali valori:

\[ (3+k)^5 = 0 \quad \Rightarrow \quad k=-3 \]

La curva diventa quindi \(y = h\ln(x^2-3)^5 = 5h\ln(x^2-3)\), con dominio \(x<-\sqrt3\) oppure \(x>\sqrt3\).

Passo 2 — Punti A e B (intersezioni con l'asse x)

\[ y=0 \;\Rightarrow\; (x^2-3)^5=1 \;\Rightarrow\; x^2-3=1 \;\Rightarrow\; x=\pm2 \]

Quindi \(A(-2;0)\) e \(B(2;0)\), entrambi nel dominio.

Passo 3 — Rette tangenti in A e B

Calcoliamo la derivata: \(y' = 5h\cdot\dfrac{2x}{x^2-3}\). Nei punti A e B:

\[ y'(-2) = -20h \qquad\qquad y'(2) = 20h \]

Le rette tangenti sono quindi:

\[ t_A:\;\; y = -20h(x+2) \qquad\qquad t_B:\;\; y = 20h(x-2) \]

Passo 4 — Passaggio per C(0;-4)

Sostituendo le coordinate di \(C\) in \(t_A\) (e verificando con \(t_B\)):

\[ -4 = -40h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1}{10} \]

✓ \(k = -3, \qquad h = \dfrac{1}{10}\)

Quesito 6

Determinare l'espressione del polinomio \(p(x)\) tale che il grafico della funzione \( f(x) = \dfrac{p(x)}{2x+1} \) passi per il punto \(P(1;0)\) e abbia per asintoto obliquo la retta di equazione \(y=3x-2\).

Quesito 6. Determinare l'espressione del polinomio p di ics tale che il grafico della funzione effe di ics, uguale a p di ics fratto 2 ics più 1, passi per il punto P di coordinate 1 e 0, e abbia per asintoto obliquo la retta di equazione ipsilon uguale 3 ics meno 2.

Soluzione del Quesito 6

Passo 1 — Grado e coefficiente direttivo di p(x)

Perché \(f\) abbia un asintoto obliquo, \(p(x)\) deve essere di secondo grado (un grado in più del denominatore). Poiché l'asintoto ha coefficiente angolare \(m=3\) e \(f(x)\sim\dfrac{p(x)}{2x}\) per \(x\to\infty\), il coefficiente di \(x^2\) deve essere \(2\cdot3=6\). Poniamo:

\[ p(x) = 6x^2+bx+c \]

Passo 2 — Passaggio per P(1;0)

Da \(f(1)=0\) segue \(p(1)=0\):

\[ 0 = 6+b+c \quad \Rightarrow \quad b+c=-6 \]

Passo 3 — Condizione sull'asintoto obliquo

Il termine noto dell'asintoto, \(q=-2\), si trova imponendo il limite del resto della divisione:

\[ \frac{(b-3)x+c}{2x+1} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\; \frac{b-3}{2} = -2 \quad \Rightarrow \quad b = -1 \]

Passo 4 — Determinazione di c

\[ c = -6-b = -6-(-1) = -5 \]

✓ \(p(x) = 6x^2 - x - 5\)

Quesito 7

Giuseppe, Lorenzo, Massimo e Vincenzo sono impegnati in una partita di scopone. All'inizio del gioco, a ciascun giocatore vengono casualmente distribuite 10 carte di un mazzo da 40 (diviso in 4 semi: bastoni, coppe, denari e spade).

a) Determinare la probabilità che le prime 3 carte distribuite a Massimo siano tutte e 3 di coppe.

b) Determinare la probabilità che, tra le 10 carte distribuite a Lorenzo, siano presenti i 3 assi di bastoni, spade e denari.

Quesito 7. Giuseppe, Lorenzo, Massimo e Vincenzo sono impegnati in una partita di scopone. All'inizio del gioco, a ciascun giocatore vengono casualmente distribuite 10 carte di un mazzo da 40, diviso in 4 semi: bastoni, coppe, denari e spade. Punto a: determinare la probabilità che le prime 3 carte distribuite a Massimo siano tutte e 3 di coppe. Punto b: determinare la probabilità che, tra le 10 carte distribuite a Lorenzo, siano presenti i 3 assi di bastoni, spade e denari.

Soluzione del Quesito 7

Passo 1 — a) Tre carte di coppe a Massimo

Si moltiplicano le probabilità successive: la prima carta di coppe (10 su 40), la seconda (9 rimaste su 39), la terza (8 rimaste su 38):

\[ P(\text{3 di coppe}) = \frac{10}{40}\cdot\frac{9}{39}\cdot\frac{8}{38} = \frac{3}{247} \approx 0{,}0121 \]

Passo 2 — b) I tre assi nella mano di Lorenzo

Il numero di mani possibili di 10 carte su 40 è \(\binom{40}{10}\). Le mani favorevoli contengono i 3 assi indicati e altre 7 carte scelte tra le restanti 37:

\[ P(\text{3 assi indicati}) = \frac{\binom{37}{7}}{\binom{40}{10}} = \frac{3}{247} \]

Il risultato coincide esattamente con quello del punto a).

✓ \(P(\text{a}) = P(\text{b}) = \dfrac{3}{247} \approx 0{,}0121\)

Quesito 8

A un torneo internazionale di pallavolo partecipano 16 squadre, che devono essere suddivise in 4 gironi (indicati con le lettere A, B, C, D) di 4 squadre ciascuno.

Le 16 squadre partecipanti sono inizialmente ripartite in 3 fasce, in base all'attuale ranking: 4 squadre di 1ª fascia, 4 di 2ª fascia e 8 squadre di 3ª fascia. Le 4 squadre di 1ª fascia vengono inserite, rispettivamente, nei gironi A, B, C, D, secondo l'ordine di ranking (senza alcun sorteggio). Le altre squadre di ogni girone vengono invece sorteggiate, in modo che in ciascuno di essi vi siano una squadra di 2ª fascia e due squadre di 3ª fascia.

Quante sono, complessivamente, le possibili composizioni dei gironi A, B, C, D?

Quesito 8. A un torneo internazionale di pallavolo partecipano 16 squadre, che devono essere suddivise in 4 gironi, indicati con le lettere A, B, C, D, di 4 squadre ciascuno. Le 16 squadre sono inizialmente ripartite in 3 fasce, in base al ranking: 4 squadre di prima fascia, 4 di seconda fascia e 8 squadre di terza fascia. Le 4 squadre di prima fascia vengono inserite, rispettivamente, nei gironi A, B, C, D, secondo l'ordine di ranking, senza alcun sorteggio. Le altre squadre di ogni girone vengono invece sorteggiate, in modo che in ciascuno di essi vi siano una squadra di seconda fascia e due squadre di terza fascia. Quante sono, complessivamente, le possibili composizioni dei gironi A, B, C, D?

Soluzione del Quesito 8

Passo 1 — Impostazione

Le 4 squadre di 1ª fascia sono già assegnate ai gironi senza sorteggio: questa parte non introduce scelte. Restano da distribuire, per sorteggio, le 4 squadre di 2ª fascia (una per girone) e le 8 di 3ª fascia (due per girone). Procediamo girone per girone, scegliendo via via tra le squadre ancora disponibili.

Passo 2 — Conteggio girone per girone

\[ \text{Girone A: } 4 \cdot \binom{8}{2} = 4\cdot28 = 112 \] \[ \text{Girone B: } 3 \cdot \binom{6}{2} = 3\cdot15 = 45 \] \[ \text{Girone C: } 2 \cdot \binom{4}{2} = 2\cdot6 = 12 \] \[ \text{Girone D: } 1 \cdot \binom{2}{2} = 1 \]

Passo 3 — Regola del prodotto

Il numero totale di composizioni si ottiene moltiplicando i risultati dei quattro gironi:

\[ 112 \cdot 45 \cdot 12 \cdot 1 = 60\,480 \]

✓ 60 480 possibili composizioni.

Liceo Scientifico – Esame di Stato 2026 – Questionario – Versione DSA